实数与函数

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

实数

微积分是研究实数域上函数的微分与积分等性质的学科。

它的主要研究手段是极限。

微积分中的一切概念，如极限、连续、微分以及积分等都是建立在实数的基础这上的。

有理数

定义 1.
可以表示为两个整数相除的数，称为有理数。

\[r=\dfrac{p}{q}, p,q\in Z \]
  • 利用分数的运算规则，我们很容易可以知道，有理数经过四则运算（$+,-,\times,/$）后，仍然为有理数。这种对四则运算封闭的数集可以称为数域。有时候称有理数集为有理数域。
  • 有理数可以表达成有限小数，或者无限循环小数。
    \[\begin{aligned} \frac1{10}= 0.1, \quad \frac1{3} = 0.\dot3 \end{aligned} \]

有理数是稠密的

定理 1.
两个有理数之间，有至少一个有理数

证明. $a$,$b$为有理数，不防设$a<b$，则$c=\dfrac{a+b}{2}$在$a$,$b$之间

可以证明，两个有理数之间，有无穷多个有理数。所以，有理数是稠密的

定理 2.
任意正的有理数$c$，都存在正整数$n$，使得$n>c$

证： $c=\dfrac{p}{q}$，则可以取 $n=p$

定理 3.
任意两个非零有理数$a$,$b$，都存在整数$n$，使得$na>b$

证：对$c=\dfrac{b}{a}$为有理数，取$n>c$，则有$na>b$

问题. 有理数够用了吗？

例 1. $\sqrt2$不是有理数。

解. 若$\sqrt2$是有理数，则设$\sqrt2=\dfrac{p}{q}$，其中$p$,$q$互素，则

\[2=\dfrac{p^2}{q^2} \]

所以

\[2 q^2=p^2 \]

可以看出，$p$为偶数，即$p=2k$，代入上式，化简后，可得

\[q^2=2 k^2 \]

所以$q$也是偶数。与$p$,$q$互素矛盾

将有理数集进行扩充的一种方法

  • 有理数： 有限小数，或无限循环小数
  • 无理数： 无限不循环小数（形象，但不好证明）

实数： 有理数和无理数统称为实数。

“$\sqrt2$不是有理数，所以是无理数”的说法还不够严密：

(1) 没有说明$\sqrt2$一定是实数。

(2) 没有办法证明它是无限不循环小数。

要想证明$\sqrt2$是实数，那么就需要知道构造出来的实数集有什么样的特性。

已知的将有理数集进行扩充的方法：

(1) 戴德金分割 (Dedeking cut)

(2) “有理基本序列”法-Contor and Heine

(3) “有界单调序列”法-Weierstrass

这些不同的扩充方法对应着实数集的不同的“公理”特性。

  • 实数的这些“公理”特性称为实数的完备性。这条性质使得实数集与有理数集有着本质上的区别。
  • 实数的完备性公理有5个，它们可以互相论证。 因此，可以以其中任何一个为出发点的“公理”

公理化方法研究数学。每一个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论， 而所有这样的推理链的共同出发点， 是一些基本定义和认为是不证自明的基本原理–公设或公理。

Hilbert在1899年第一次明确提出公理系统的原则：

  1. 相容性： 公理出发不能推出矛盾
  2. 独立性： 公理不能是其它公理的逻辑推论
  3. 完备性： 所有的定理都可以由公理推出

Euclid在公元前300年已经使用了公理化方法。他写的《几何原本》是数学史上的第一座理论丰碑。

实数的完备性是实数的一个重要性质：

  • 它保证实数可以毫无缝隙地铺满整个数轴。
  • 是整个微积分概念的基础，它使得微积分的极限运算得以在实数域上实施。

实数的完备性有很多等价形式，我们选择以“确界原理”作为出发点。

从现在开始，假定已经从有理数集$\mathbb{Q}$扩充到了实数集$\mathbb{R}$。

不做特别说明的话，数$a$指的是实数$a$，数集$A$指的是实数集$A$

确界原理

定义 2. (上界)
实数集中的非空集合$A$和实数$M$，若满足

\[x\leq M, \quad \forall x\in A \]

则称$M$为$A$的一个上界

例 2. 例

(1) $A=\{x\in\mathbb{Q} | x\leq 0\}$，有上界$0$, $1.2$, $\cdots$

(2) $A=\{x\in\mathbb{R} | x> 0\}$，没有上界

定义 3. (下界)
非空集合$A$和数$m$，若满足

\[x\geq m,\quad \forall x\in A \]

则称$m$为$A$的下界

定义 4.
既有上界，又有下界的集合称为有界集。也就是说，存在数$M$满足

\[|x|\leq M, \quad \forall x\in A \]

定义 5. (上确界)
非空实数集合$A$和实数$M$，若满足

  1. $M$为$A$的上界
  2. $\forall \varepsilon>0$，存在$x_0\in A$，有 $ x_0>M-\varepsilon $

则称$M$为$A$的上确界，记为

\[M=\sup\{A\} \]
  • 上确界是所有上界中的最小值。
  • 上确界可以不在集合中。
  • 若集合中有最大值，则这个最大值就是上确界。
    \[A=\{ x <0 \}, \quad B=\{ x\leq 0\} \]

定义 6. (下确界)
非空集合$A$和数$m$，若满足

  1. $m$为$A$的上界
  2. $\forall \varepsilon>0$，存在$x\in A$，有 $x<m+\varepsilon$

则称$m$为$A$的下确界，记为

\[m=\inf\{A\} \]

定理 4.
若$M$为$A$的上界，则$\sup\{A\}\leq M$。

也就是说，上确界是所有上界中最小的

定理 5.
确界若存在，则唯一。

定理 6.
若$A$是有限集，则$A$中有最大值和最小值，它们也是上确界和下确界。

例 3. 集合$X,Y$，定义

\[X+Y=\left\{x+y|x\in X, y\in Y\right\} \]

则有

\[\begin{aligned} \inf(X+Y)=&\inf(X)+\inf(Y) \\ \sup(X+Y)=&\sup(X)+\sup(Y) \end{aligned} \]

解. 证： 设$\inf(X)=m, \inf(Y)=n$，则

\[\begin{aligned} x\geq m ,& \forall x \in X \\ y\geq n ,& \forall y \in Y \end{aligned} \]

所以，$\forall c\in X+Y$, $c=x_0+y_0\geq m+n$，所以$m+n$是$X+Y$的下界。

又，$\color{blue}\forall \epsilon>0$,

  • $\exists x'\in X$, 满足 $ x'>m+\epsilon$,

  • $\exists y'\in Y$, 满足 $ y'>n+\epsilon$，

所以，存在$\color{blue}c'=x'+y'\in X+Y$, 有

\[\color{blue} c'>m+n+2 \epsilon \]

也就是说，$m+n$为下确界。

确界原理

公理： (确界原理)
非空有上（下）界的数集，一定有上（下）确界

  • 这个确界原理是Dekekin分割方法构造实数集时，自然满足的公理
  • 有理数集上不满足确界原理。如
    \[A=\{x\in\mathbb{Q} | x^2<2\} \]
    在有理数集中找不到上确界和下确界。

定理 7. (取整)
$\forall x\in \mathbb{R}$，一定存在唯一整数$m\in \mathbb Z$， 满足

\[m\leq x < m+1 \]

注. 记$m$为$[x]$，称为$x$的整数部分。则有

\[ \begin{aligned} \left[ x \right] \leq x < [x]+1, \quad x-1 < [x] \leq x \end{aligned} \]

推论 1. (阿基米德公理)
$\forall a,b>0, a,b\in \mathbb{R}$，存在$n\in \mathbb N$，满足 $na>b$

前面，我们证明了对有理数是成立的

解. 只需说明，存在整数$n$满足$n>\frac{b}a$

证： 取$A=\left\{n|n\leq x, n\in Z\right\}$，则$A$非空，且有界为$x$。所以$A$有上确界，记为$\alpha=\sup(A)$。

下证：$\alpha$为整数。

（反证)：若$\alpha$不为整数，取$a\in A$，则$B=[a,\alpha)\cap A$非空，且$B$只含有有限个整数点。

记$b$为$B$的最大值，则$b$为$B$的上确界。

又，由$A$的上确界为$\alpha$，$[a,\alpha)$的上确界为$\alpha$，所以$B$的上确界为$\alpha$。

而$b$为整数，所以有$b<\alpha$，矛盾。

所以，$\alpha$为整数，记为$m$

若$x\geq m+1$，则$m+1\in A$，

则有$m+1\leq sup(A)=m$，矛盾。

所以， $x< m+1$

证： 取$x=\dfrac{b}{a}>0$，则

\[x=\dfrac{b}{a}<[x]+1=n \]

即有

\[b< na \]

证： 不防设$a< b$

  1. 若$b-a>1$，则$a<[a]+1\leq a+1<b$，取$k=[a]+1$为有理数
  2. 若$b-a<1$，则$\exists n$，有$n(b-a)>1$。存在$k$，有$na<k<nb$。即
    \[a<\dfrac{k}{n}<b \]

定理 8.
不同实数之间，有（无穷个）有理数。

解. 不防设$a< b$

  1. 若$b-a>1$，则$a<[a]+1\leq a+1<b$，取$k=[a]+1$为有理数
  2. 若$b-a<1$，则$\exists n$，有$n(b-a)>1$。存在$k$，有$na<k<nb$。即
    \[a<\dfrac{k}{n}<b \]

定理 9.
不同实数之间，有（无穷个）无理数。

不等式

不等式是证明很多定理与公式的工具。这些证明中蕴含着许多微积分学的技巧

  • 三角不等式： $||a|-|b||\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|$
  • 伯努利不等式： $x>-1$, $n\in N$，$(1+x)^n\geq 1+nx$
  • Cauchy不等式: $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2 \right)\left(\sum_{i=1}^n y_i^2 \right) $

等比公式: $a_i\neq0$,$a_i$同号，则有

\[\min_{i=1,\cdots,n}\left\{\dfrac{b_i}{a_i}\right\} \leq\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^na_i} \leq\max_{i=1,\cdots,n}\left\{\dfrac{b_i}{a_i}\right\} \]

  • Holder: $\displaystyle\frac1{p}+\frac1{q}=1, p,q>0$

    \[\sum_{i=1}^n x_iy_i\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{\frac{1}{p}}\left(\sum_{i=1}^n y_i^q \right)^{\frac{1}{q}} \]

  • Minkowski: $p >0$

    \[\left(\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)^p\right)^{\frac1 p} \leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{\frac{1}{p}}+\left(\sum_{i=1}^n y_i^p \right)^{\frac{1}{p}} \]

数学归纳法

要证明一个式子对任意的自然数都成立。

  1. 先证明式子对n=1成立。
  2. 假定式子对n=k成立，证明式子对n=k+1也成立。

例 4. 证明

\[\frac12\cdot\frac34\cdots\frac{2n-1}{2n}<\frac1{\sqrt{2n+1}} \]

Bernoulli不等式

定理 10. (推广的Bernoulli不等式)
当$x_i,i=1,2,\cdots,n$同号，且$x_i>-1$，则

(1)
\[(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\geq 1+x_1+x_2+\cdots+x_n \]

解. 用数学归纳，

  1. $n=1$时，$1+x_1\geq 1+x_1$。成立。
  2. 设$n=k$时成立。对$n=k+1$，有
    \[(1+x_1)\cdots(1+x_{k+1})\geq(1+x_1+\cdots+x_k)(1+x_{k+1}) \]
    (要求$x_{k+1}>-1$)
    \[\geq 1+x_1+\cdots+x_k+x_{k+1}+(x_1+\cdots+x_k)x_{k+1} \]
    \[\geq 1+x_1+\cdots+x_k+x_{k+1} \]
    (要求$x_i$同号)

例 5. 证明

\[\begin{aligned} (1+x)^n\geq 1+nx , x>-1, n>1 \\ (1+x)^{\frac1n}\leq 1+\frac1n{x} , x>-1, n>1 \end{aligned} \]

等号成立当且仅当$x=0$

例 6. 证明

\[\sqrt[n]{x}-1\leq\frac{x-1}{n}, x>0,n>1 \]

等号成立当且仅当$x=0$

调和-几何-算术平均值不等式

设$x_1,x_2,\cdots,x_n$是正数列，则 调和平均值 为

\[H=\left(\dfrac{x_1^{-1}+x_2^{-1}+\cdots+x_n^{-1}}{n}\right)^{-1}=\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}} \]

几何平均值为

\[G=\sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n} \]

算术平均值为

\[A=\frac1n(x_1+ x_2+\cdots +x_n) \]

平均值不等式

定理 11. (平均值不等式)
当$x_i$都为正数时，有$ H\leq G\leq A$，即

\[\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}} \leq\sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n} \leq\frac1n(x_1+ x_2+\cdots +x_n) \]

等号成立当且仅当$x_1=\cdots=x_n$。

证：

若$G\leq A$成立，则

\[\dfrac{1}{\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}}=\sqrt[n]{x_1^{-1}\cdots x_n^{-1}}\leq\dfrac{1}{n}(x_1^{-1}+\cdots+ x_n^{-1}) \]

即有$H\leq A$

下证$G\leq A$。我们用向前向后数学归纳法

  1. $n=2$时，不等式相当于$(\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})^2\leq 0$，因此成立。且等号成立当且仅当$x_1=x_2$
  2. 设$G\leq A$对$n$成立，则对于$2n$，有
\[\begin{aligned} \sqrt[2n]{x_1\cdots x_{2n}} &=\sqrt[n]{\sqrt{x_1 x_2}\cdots\sqrt{x_{2n-1}x_{2n}}} \\ & \leq\dfrac{1}{n}(\sqrt{x_1 x_2}+\cdots+\sqrt{x_{2n-1}x_{2n}}) \\ & \leq\dfrac{1}{n}(\dfrac{1}{2}(x_1+x_2)+\cdots+\dfrac{1}{2}(x_{2n-1}+x_{2n})) \\ & =\dfrac{1}{2n}(x_1+\cdots+x_{2n}) \end{aligned} \]

这样，对$n=2,4,\cdots,2^k,\cdots$，不等式成立。

下面，在$G\leq A$对$n$成立时，对$n-1$也成立。这就是“向后”的部分。

比较$n$时的不等式

\[\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\leq\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n} \]

和$n-1$时的不等式

\[\sqrt[n-1]{x_1\cdots x_{n-1}}\leq\dfrac{x_1+\cdots+x_{n-1}}{n-1} \]

取适当的$x_n$使得上两式的左边相等。也就是

\[\sqrt[n-1]{x_1\cdots x_{n-1}}=\sqrt[n]{x_1\cdots x_{n-1}x_n} \]

可以得到（记为$\bar x$）

\[x_n=\sqrt[n-1]{x_1\cdots x_{n-1}}=\bar x=\sqrt[n]{x_1\cdots x_{n-1}\bar x} \]

所以，当不等式对$n$成立，则

\[\bar x=\sqrt[n]{x_1\cdots x_{n-1}\bar x}\leq\dfrac{x_1+\cdots+x_{n-1}+\bar x}{n} \]

则有

\[\bar x\leq\dfrac{x_1+\cdots+x_{n-1}}{n-1} \]

即，不等式对$n-1$也成立。

本节读完

例 7. 谢谢

戴德金(Dedeking)分割

定义 7.
将有理数集$\mathbb{Q}$分为两个集合$A$,$A'$，满足：

  1. $A$, $A'$均非空
  2. $A\cup A'=\mathbb{Q}$
  3. $A$中所有元素比$A'$中的任一元素小

则称分割$A$,$A'$为$\mathbb{Q}$的戴德金分割，记为$A|A'$。 称$A$为下集，$A'$为上集。

例 8.  

  1. $A=\{x\in Q:x<1\},A'=\{x \in Q:x\geq 1\}$
    $A$中没有最大，$A'$中有最小值

  2. $A=\{x\in Q:x\leq 1\},A'=\{x \in Q:x> 1\}$
    $A$中有最大值，$A'$中没有最小值

  3. $A=\{x\in Q:x^2<2 \mbox{ or } x<0\},A'=\{x \in Q:x>0 \mbox{ and } x^2>2\}$
    $A$中没有最大值，$A'$中没有最小值。（称这种分割为C型分割）

注. 不存在$A$中有最大值，同时$A'$中有最小值的情形

  1. 对$a\in A$，可以取到适当的$n$，使得$a+\dfrac{1}{n} \in A$。这样，可以证明$A$中无最大值

Note:

If $\max(A)=a_0$, $\min(A')=a'_0$, then exists $c\in Q$, and $a_0<c<a'_0$. then $c$ not in $A$, and $c$ not in $A'$

无理数的定义

定义 8. (无理数)
 每个有理数集的C型戴德金分割定义一个无理数。记为$\alpha=A|A'$

定义 9. (实数)
有理数与无理数并称为实数

可以看到，每个有理数集的戴德金分割对应到一个实数（有理数或者无理数）。

为一致起见，我们约定，对于有理数$r$的划分，把这个数放在$A'$中。

两个实数如何比较大小

  1. 有理数之间，按有理数的规则来比较大小

  2. 若两个实数，至少有一个为无理数。

    设$\alpha=A|A'$,$\beta=B|B'$，则

    1. 若$A\subset B$，且$A\neq B$, 则$\alpha<\beta$；（或者 $B'\subset A'$,且$B'\neq A'$）
    2. 若$B\subset A$, 且$A\neq B$，则$\alpha>\beta$；（或者 $A'\subset B'$,且$B'\neq A'$）
    3. 若$A=B$，则$\alpha=\beta$

定理 12. (有理数在实数中稠密)
 任意两个实数之间，有至少一个有理数

定理 13. (实数是完备的)
 对实数$R$的戴德金分割，$A$和$A'$满足

  1. $A$, $A'$均非空

  2. $A\cup A'=R$

  3. $A$中所有元素比$A'$中的任一元素小

则要么$A$中有最大数，要么$A'$中有最小数。

证： 设$\alpha=A|A'$，$\beta=B|B'$。不防设$\alpha<\beta$，则有$A\subset B$，且$A\neq B$，则一定存在$r\in B$,且$r\notin A$。这样，$\alpha<r<\beta$

证： 把$A$和$A'$中的有理数集记为$B$和$B'$，则$B|B'$为有理数集$Q$的一个戴德金分割。记$\beta=B|B'$，则$\beta$为实数，所以在$A$或者$A'$中。

若$\beta\in A$，则$\beta$为$A$中的最大数。（反证）

否则，设存在$\alpha \in A$，且$\alpha>\beta$。则存在$r\in Q$为有理数，有$\alpha>r>\beta$。由$r<\alpha$，则$r\in A$。所以$r\in B$。

由$\beta=B|B'$，应该有$r<\beta$。矛盾。

类似可以证明，若$\beta\in A'$，则$\beta$为$A'$中的最小值。

定理 14.
实数域上满足确界原理。

证明. 针对集合$A$有上界时候，做证明。

  1. 若$A$有最大值，则这个最大值就是上确界
  2. 若$A$中无最大值。记$B'$为$A$的所有上界组成的集合，$B$为其余的数组成的集合。

则$B|B'$为$\mathbb{R}$的一个戴德金分割，记$\alpha=B|B'$。

由$A\subset B$知，$A$中任意元素小于$\alpha$。这样，$\alpha\in B'$(由实数的完备性知，$\alpha$要么在$B$中，是$B$中最大的；要么在$B'$中，是$B'$中最小的)， 为$B'$中的最小数，

即$\alpha$为$A$的上确界。

实数的四则运算

加法： $\alpha,\beta\in R$,则有有理数$a,a',b,b'$，满足

\[a<\alpha<a' , b<\beta<b' \]

若有数$\gamma$，对所有满足上式的有理数$a,a',b,b'$都有

\[a+b<\gamma<b+b' \]

则，定义$\gamma=\alpha+\beta$。

类似，定义积为

\[ab<\gamma<a'b' \]

邻域

定义 10. (邻域)
称$(a-r,a+r)=\{x:|x-a|<r\}$为$a$的$r$邻域

定义 11. (去心邻域)
称$(a-r,a+r)=\{x:0<|x-a|<r\}$为$a$的$r$去心邻域