导数的应用

单变量函数的微分

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

导数的应用

单调性与极值

定理 1.
$f(x)$在$(a,b)$可导，则

  1. 若$f'(x)>0, \forall x\in(a,b)$，则$f(x)$在$(a,b)$上严格单调增
  2. 若$f'(x)<0, \forall x \in (a,b)$， 则$f(x)$在$(a,b)$上严格单调减

例 1. (例3.6.1) 求函数 $f(x)=e^{-x^2}$ 的单调区间

证： $\forall x_1<x_2$，由微分中值定理，

\[f(x_1)-f(x_2)=f'(\xi)(x_1-x_2)<0 \]

即$f(x)$严格单调增

解： $f'(x)=-2xe^{-x^2}$

$x=0$， $f'(0)=0$

$x<0, f'(x)>0$，$f(x)$严格单调增

$x>0, f'(x)<0$，$f(x)$严格单调减

极值

对导数为$0$的点，有

1. 可能是极大值。$f(x)=-x^2$

\[\begin{cases} f'(x)<0, x>x_0 \\ f'(x)>0, x<x_0 \end{cases} \]

2. 可能是极小值。$f(x)=x^2$

\[\begin{cases} f'(x)>0, x>x_0 \\ f'(x)<0, x<x_0 \end{cases} \]

3. 可能不是极值点。$f(x)=x^3$

\[ f'(x)>0 , x\neq x_0 \]

例 2. $f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x+a}$，则

  • $a\geq\frac12$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$内严格单调减
  • $a<\frac12$时，$f(x)$在充分大后严格单调增

例 3. $f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}, x>0$ 单调增

例 4. (例3.6.3) $f(x)=(x-1)\sqrt[3]{x^2}$的极值点

解. $f'(x)=0$的点与导数不存在的点，均为可能的极值点

1.

\[\begin{aligned} f'(x) =&f(x)((\ln(1+\dfrac{1}{x}))(x+a))' \\ =&f(x)(\ln(1+\dfrac{1}{x})+\dfrac{1}{1+\frac{1}{x}}\dfrac{-1}{x^2}(x+a)) \\ =&f(x)\left(\ln(1+\dfrac{1}{x})-\dfrac{x+a}{x^2+x}\right) \end{aligned} \]

取$g(x)=\ln(1+\dfrac1x)-\dfrac{x+a}{x^2+x}$，则$f'(x)$与$g(x)$同号。

又$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)=0$， 且

\[\begin{aligned} g'(x) =&\dfrac{1}{1+\frac1x}\dfrac{-1}{x^2}-\dfrac{x^2+x-(x+a)(2x+1)}{(x^2+x)^2}\\ =&\dfrac{(2a-1)x+a}{(x^2+x)^2} \end{aligned} \]

可得，

  1. $a>\frac12, x>0$时，有$g'(x)>0$，则$g(x)$严格单调增，所以$g(x)<0$
  2. $a<\dfrac12$时，当$x$充分大，有$g'(x)<0$，此时$g(x)$严格单调减，所以$g(x)>0$，当$x$充分大

2. 取$g(x)=(\ln f(x))'=(x(\ln(x+1)-\ln x))'$，则$f'(x)$与$g(x)$同号。

\[g(x)=(\ln(x+1)-\ln x)-\dfrac{1}{1+x} \]

由$\ln(x+1)-\ln(x)=(\ln\xi)', \xi\in(x,x+1)$，知

\[g(x)=\dfrac{1}{\xi}-\dfrac1{1+x}>0, \xi\in(x,x+1) \]

所以，$f(x)$严格单调增

例 5. [习题] $f(x)=x-\sin x$单调增

例 6. [习题] $\sin x >\dfrac{2}\pi x, x\in(0,\dfrac\pi2)$

例 7. 若函数$f(x)$, $g(x)$为$n$阶可导函数，且满足

\[\begin{aligned} f^{(k)}(x_0)=g^{(k)}(x_0),& \quad k=0,1,\cdots,n-1 \\ f^{(n)}(x)>g^{(n)}(x),& \quad \forall x>x_0 \end{aligned} \]

则有

\[f(x) > g(x), \quad \forall x>x_0 \]

例 8. [习题] $\sin x>x-\dfrac{1}{6}x^3, x>0$

例 9. 证明： $(\sqrt{n})^{\sqrt{n+1}}>(\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}$, $n>8$

例 10. $e<a<b<e^2$，则

\[\ln^2b-\ln^2a>\dfrac{4(b-a)}{e^2} \]

例 11. $x>0, y>0, 0<\alpha<\beta$，则

\[(x^\alpha+y^\alpha)^\frac{1}{\alpha}>(x^\beta+y^\beta)^\frac{1}{\beta} \]

Proof: 令$f(t)=\frac{\ln t}{t}$，则

\[f'(t)=\frac{1-\ln t}{t^2} < 0, t>\sqrt{8} \]

所以，$f(t)$单调减，则$\sqrt{8}<x<y$时，有$f(x)>f(y)$，即

\[\frac{\ln x}{x}>\frac{\ln y}{y} , x^y>y^x \]

令$x=\sqrt{n}$, $y=\sqrt{n+1}$，即得。

1.

\[\ln^2b-\dfrac{4b}{e^2}>\ln^a-\dfrac{4a}{e^2} \]

令$y=g(x)=\ln^2x-\dfrac{4x}{e^2}$

2.

\[\dfrac{(x^\alpha+y^\alpha)^{\frac1{\alpha}}}{x}<\dfrac{(x^\beta+y^\beta)^{\frac1{\beta}}}{x} \]
\[\left(1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^\alpha\right)^{\frac1{\alpha}}<\left(1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^\beta\right)^{\frac1{\beta}} \]

取$g(t)=(1+u^t)^{\frac1{t}}, u>0, t>0$

函数$f(x)$满足$f'(x)\geq 0, x\in(a,b)$，且$f'(x)=0$只在离散的点或点列上成立， 则$f(x)$在$(a,b)$内是严格单调增的。

例 12. $f(x)=\begin{cases} e^{\sin\frac1x-\frac1x}, & x>0 \\ 0, &x=0 \end{cases}$ 是增函数

5. 可以得到，$\displaystyle\lim_{x\to0+}f(x)=0$

\[f'(x)=e^{\sin\frac1x-\frac1x}(1-\cos\dfrac1x)\dfrac1{x^2}\geq 0 \]

这个函数有无穷多个导数为$0$的点

\[x=\dfrac{1}{2k\pi},k=1,2,\cdots \]

还是严格单调增的函数

定理 2.
$f(x)$在$x_0$处满足$f'(x_0)=0, f''(x_0)\neq 0$，则

  1. 若$f''(x_0)>0$，则$x_0$是$f(x)$的极大值点
  2. 若$f''(x_0)<0$，则$x_0$是$f(x)$的极小值点

例 13. $f(x)=\begin{cases} x+x^2\sin\frac1x, & x\neq 0 \\ 0, &x=0 \end{cases}$ 有$f'(0)>0$，但在任何区间$(-\epsilon,\epsilon)$中并非增函数

证：

\[f''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x_0)}{x-x_0}<0 \]

则$\exists \delta>0$， 有

\[\dfrac{f'(x)}{x-x_0}<0, \forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta) \]

所以

\[\begin{aligned} f'(x)>0, x\in(x_0-\delta, x_0) \\ f'(x)<0, x\in(x_0, x_0+\delta) \end{aligned} \]

也就是，$x_0$是极大值点

闭区间$[a,b]$上连续函数的最大值或最小值， 落在$f'(x)=0$的点，导数不存在的点，及端点$a$和$b$中。

例 14. [习题] 若$0\leq x\leq 1$，$p>1$，则

\[\dfrac{1}{2^{p-1}}\leq x^p+(1-x)^p\leq 1 \]

3. $f(x)=x^p+(1-x)^p$在$[0,1]$内的极值点

$f'(x)=p(x^{p-1}-(1-x)^{p-1})$，则

  • $x>\dfrac12$时，$f'(x)>0$，函数增
  • $x<\dfrac12$时，$f'(x)<0$，函数减

所以，最小值点$x=\dfrac12$。最大值点在$1$或$0$中。

例 15. [复习题] $x^\alpha-\alpha x\leq 1-\alpha, \alpha\in(0,1), x>0$

例 16. $\sqrt{a_1a_2\cdots a_n}\leq\frac1n(a_1+a_2+\cdots+a_n) , \forall a_i\geq0$

例 17. $f(x)$在$[0,+\infty)$ 上二阶可导，$f''(x)<0,f(0)=0$，则有：

\[f(x_1+x_2)<f(x_1)+f(x_2) , \forall x_1,x_2>0 \]

4. 取$F(x)=f(x_1+x)-f(x_1)-f(x)$，则

\[F(0)=-f(0)=0, \quad F'(x)=f'(x_1+x)-f'(x) \]

由$f''(x)<0$，则$f'(x)$严格单调减。所以

\[F'(x)<0, \quad \forall x>0 \]

所以$F(x_2)>F(0)=0$

凹凸性

定义 1. (凸函数)
 设$f(x)$在区间$I$上连续，若

\[f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}, \forall x_1,x_2\in I \]

则称$f(x)$为$I$上的凸函数

\begin{tikzpicture}[x=2cm, y=2cm, global scale=0.5] % 上面，用 x=2cm, y=2cm 来设置x,y方向的单位长度，缺省是1cm % \draw[very thin,color=gray] (-1.5,-1.2) grid (1.5,1.22); \path[name path=axis x] (-0.4,0) -- (2.8,0); \draw[->] (-0.4,0) -- (2.8,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-0.2) -- (0,2.0) node[right] {$y$}; %\draw[thick, name path=func] (-0.2,0.3) to[out=-45,in=195] (1,0.3) to[out=135,in=-45] (2,0.6) to (2.5,1.9); \draw[thick, name path=func] (-0.2,0.3) .. controls (1,0.3) and (2,0.6) .. (2.5,1.9); % 节点1处的切线 \coordinate (t0) at (0.5, 0); \coordinate (t1) at (2.234, 0); \coordinate (t2) at ($ (t0)!0.5!(t1) $); \path[name path=l1] (t0) -- ($ (t0)+(0,2.9) $); \path[name path=l2] (t1) -- ($ (t1)+(0,2.9) $); \path[name path=l3] (t2) -- ($ (t2)+(0,2.9) $); \path[name path=l4] ($ (t1)+(0.01,0) $) -- ($ (t1)+(0.01,2.9) $); % 画1处的切线 \path[name intersections={of=func and l1, name=o}]; \path[name intersections={of=func and l2, name=p}]; \coordinate (m) at (o-1); \coordinate (n) at (p-1); \fill (m) circle(1pt) node[above] {$M$}; \fill (n) circle(1pt) node[right] {$N$}; \draw[blue] (m)--(t0) node[below] {$x_1$}; \draw[blue] (n)--(t1) node[below] {$x_2$}; \draw[red, name path=mn] (m)--(n); \path[name intersections={of=mn and l3, name=q}]; \coordinate (mn) at (q-1); \draw[blue, dashed] (mn)--(t2) node[below] {$\frac{x_1+x_2}2$}; \path[name intersections={of=func and l3, name=q}]; \coordinate (fmn) at (q-1); \fill[blue] (mn) circle(2pt) node[above, blue] {$\frac{f(x_1)+f(x_2)}2$}; \fill (fmn) circle(2pt) node[below right] {$f(\frac{x_1+x_2}2)$}; \end{tikzpicture}

定理 3.
$f(x)$在区间$I$内可导，且$f'(x)$在$I$内严格单调增，则$f(x)$在$I$内是凸函数

定理 4.
$f(x)$在区间$I$内二阶可导，且$f''(x)>0, \forall x\in I$，则$f(x)$在$I$内是凸函数

解. $\forall x_1,x_2\in I$，取$x_0=\frac{x_1+x_2}2$。不防设$x_1<x_2$，则

\[\begin{aligned} \dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=f'(\xi_1), \xi_1\in(x_1,x_0) \\ \dfrac{f(x_0)-f(x_2)}{x_0-x_2}=f'(\xi_2), \xi_2\in(x_0,x_2) \end{aligned} \]

由$f'(x)$的单调性，

\[f(x_1)-f(x_0)<f(x_0)-f(x_2) \]

琴生(Jensen)不等式

1. $\forall x_1\neq x_2, 0<\lambda<1$，

\[f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)<\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) \]

2. $\forall x_i\neq x_j, \lambda_i>0, \displaystyle \sum_{i=1}^n\lambda_i=0$,

\[f\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i\right) <\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \]

3. $\forall x_1<x<x_2$,

\[\dfrac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}<\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\dfrac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x} \]

证：

1与3是等价的，只要取$x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$

2成立，则1成立。

1成立，到2成立，可以用归纳法

\[\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i=(\sum_{i=1}^n \lambda_i)(\dfrac{\lambda_i}{\sum_{i=1}^n\lambda_i}x_i)+\lambda_{n+1}x_{n+1} \]

剩下定义与1的等价性

证明：

显然，1成立，则取$\lambda=\frac12$，即可得到凸函数

当函数为凸函数时，先用向前向后归纳法，可以证明

\[f(\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n} \]

当$\lambda=\dfrac{m}{n}$为有理数时，由

\[\begin{aligned} f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)=&f(\dfrac{m}{n}x_2+(1-\dfrac{m}{n})x_2) \\ =&f(\dfrac{m x_1+(n-m)x_2}{n}) \\ =&f(\dfrac{x_1+\cdots+x_1+x_2+\cdots+x_2}{n}) \\ <&\dfrac{mf(x_1)+(n-m)f(x_2)}{n} \\ =&\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) \end{aligned} \]

最后，利用函数的连续性，可证对任意$\lambda\in(0,1)$成立。

定理 5.
当函数连续时，凸函数与1是等价的。

定理 6.
若函数$f$对任意的$0<\lambda<1$和$x_1\neq x_2$，满足

\[f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)<\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) \]

则函数$f$连续

证明：

由琴生不等式3，知

$\forall x_2>x_1>x_0$，有

\[\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}<\dfrac{f(x_2)-f(x_0)}{x_2-x_0} \]

所以$\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$单调减。又

\[\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}<\dfrac{f(a)-f(x_0)}{a-x_0}, a<x_0 \]

所以，函数$\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$单调减且有下界，则$\displaystyle\lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$存在有限，即$x_0$处的右导数存在，所以函数$f(x)$在$x_0$处右连续。

同理，可得函数在$x_0$处左连续。

这样，函数在$x_0$处连续。

例 18. $f(x)$在$[a,b]$上二阶可导，$f(a)=a$, $f(b)=b$, $f''(x)<0$，则 $f(x)>x, \forall x\in(a,b)$

例 19. 证明平均不等式。对$x_i>0, i=1,2,\cdots,n$，成立

\[\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\leq\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n} \]

解. 注意到函数$f(x)=\ln x$是凹的。

解. 2. 令$F(x)=f(x)-x$则

\[F'(x)=f'(x)-1 , F''(x)=f''(x)<0 \]

所以，$F(x)$在$(a,b)$内为凹函数。这样，有

\[F(\lambda a+(1-\lambda)b)>\lambda F(a)+(1-\lambda)F(b), \forall 0<\lambda<1 \]

又$F(a)=F(b)=0$，则有$F(x)>0, \forall x\in(a,b)$

解. 3. 取$f(x)=\ln x$。则$f''(x)=\dfrac{-1}{x^2}<0$， 因此，

\[f(\frac{x_1+\cdots+x_n}n)>\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}{n} \]

即

\[\ln \frac{x_1+\cdots+x_n}n > \frac1n \ln(x_1x_2\cdots x_n) =\ln\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n} \]

拐点

定义 2.
$f(x)$在含$x_0$的区间$I$上连续，若$x_0$是$f(x)$的凹凸区间的分界点，则称$x_0$是$f(x)$的拐点

可以看出，拐点在二阶导数为$0$的点，或二阶导数不存在的点

拐点与极值点

拐点 极值点
在$x_0$二阶可导，且为拐点，则$f''(x_0)=0$ 在$x_0$可导，且为极值点，则$f'(x_0)=0$
在$x_0$有$f''(x_0)=0$，未必为拐点。如$x^4$ 在$x_0$有$f'(x_0)=0$，未必为极值点。如$x^3$
在$x_0$二阶导数不存在，但可能是拐点 在$x_0$不可导，但可能是极值点

例 20. $f(x)=x^4$ (二阶导数为$0$的点，不是拐点。这是个凸函数)

渐近线

当曲线上的点沿曲线$y=f(x)$运动，与某条直线的距离趋于$0$，就称这条直线是$y=f(x)$的渐近线

  1. 若$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$，或$\displaystyle\lim_{x\to x_0-}f(x)=\infty$，或$\displaystyle\lim_{x\to x_0+}f(x)=\infty$，称$x=x_0$为$y=f(x)$的垂直渐近线
  2. 若$\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)=a$，或$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=a$，或$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=a$，称$y=a$为$y=f(x)$的水平渐近线
  3. 若有实数$a\neq0$，$f(x)$满足$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{x}=a$，$\displaystyle\lim_{x\to \infty}(f(x)-ax)=b$，则称$y=ax+b$为$f(x)$的斜渐近线

例 21. $f=\dfrac{1}{x}$

解. $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac1x=\infty$，则$x=0$是垂直渐近线。

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}\frac1x=0$，则$y=0$是水平渐近线。

例 22. $f(x)=\dfrac{(x-1)^3}{(x+1)^2}$

解. 2.

\[\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}=1 \]

另外，

\[\lim_{x\to\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to\infty}\dfrac{(x-1)^3-x(x+1)^2}{(x+1)^2}=-5 \]

所以，有斜的渐近线$y=x-5$。

对参数曲线$\begin{cases} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}$，有

  1. 若$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\psi(x)=a$存在有限，$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\phi(t)=\infty$，则有水平渐近线$y=a$
  2. 若$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\phi(x)=a$存在有限，$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\psi(t)=\infty$，则有垂直渐近线$x=a$
  3. 若$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\phi(t)=\infty$，$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\psi(t)=\infty$，则可能有斜渐近线$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\dfrac{\psi(t)}{\phi(t)}=a$，$\displaystyle\lim_{t\to t_0}(\psi(t)-a\phi(t))=b$，则称$y=ax+b$为$f(x)$的斜渐近线

函数作图

  1. 定义域、奇偶性、周期性、对称性
  2. 间断点、驻点、导数不存在的点
  3. 单调性、极值点
  4. 凹凸性区间、捌点
  5. 渐近线
  6. 与坐标轴的交点

例 23. $f(x)=\dfrac{x^4}{(1+x)^3}$

解. $x=0$是根。$x=-1$处是间断点（极限为$\infty$）。

  1. 斜渐近线$y=x-3$。$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=1$，且 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(f(x)-x)=-3$
  2. 垂直渐近线$x=-1$。
  3. 驻点：$x=0, -4$。由$f'(x)=\frac{x^3(x+4)}{(1+x)^4}$
  4. $x<-1$时，凸；$x>-1$时，凹。由$f''(x)=\frac{12x^2}{(1+x)^5}$
  5. $x=-4$时，取极大值；$x=0$时，取极小值。

例 24. (例3.6.13) 作图 $f(x)=(x+6)e^{\frac{1}{x}}$

解. 1. 定义域$x\neq 0$，且

\[\lim_{x\to0+}(x+6)e^{\frac1x}=+\infty \]
\[\lim_{x\to0-}(x+6)e^{\frac1x}=0 \]

$x=0$也是垂直渐近线

2. 渐近线

\[\lim_{x\to+\infty}(x+6)e^{\frac1x}=+\infty,\ \ \ \lim_{x\to-\infty}(x+6)e^{\frac1x}=-\infty, \]
\[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac{x+6}x e^{\frac1x}=1 \]
\[\lim_{x\to\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to\infty}(\frac{e^{\frac1x}-1}{\frac1x}+6)=7 \]

这样，有斜渐近线$y=x+7$

3. 驻点和拐点

\[f'(x)=e^{\frac1x}(1+(x+6)\frac{-1}{x^2})=e^{\frac1x}\frac{x^2-x-6}{x^2} \]
\[f''(x)=e^{\frac1x}\frac{13x+6}{x^4} \]

因此，可能有驻点$x=-2$, $x=3$。 可能有拐点$x=\frac{-6}{13}$

区间 $(-\infty,2)$ $(2,\frac{-6}{13})$ $(\frac{-6}{13},0)$ $(0,3)$ $(3,+\infty)$
$f'(x)$ $>0$ 增 $<0$ 减 $<0$ 减 $<0$ 减 $>0$ 增
$f''(x)$ $<0$ 凹 $<0$ 凹 $>0$ 凸 $>0$ 凸 $>0$ 凸

$-\frac{6}{13}$是拐点，$-2$是极大值点，$3$是极小值点

\begin{tikzpicture} \begin{axis}[axis lines=middle,width=8cm, height={}, %axis equal=true, variable=t] \addplot[domain=-8:-0.001, samples=100, red] % 设置函数的定义域 {(t+6)*exp(1/t)}; % 输入显式函数 \addplot[domain=1:8, samples=100, red] % 设置函数的定义域 {(t+6)*exp(1/t)}; % 输入显式函数 %\addlegendentry{$(x+6)e^{\frac1x}$} \addplot[domain=-8:8, samples=10, blue] % 设置函数的定义域 {t+7}; % 输入显式函数 \newcommand\MU{exp(-0.5)*4.0} \addplot [sharp plot,green] coordinates { (-2,0) (-2, \MU) }; \renewcommand\MU{exp(-13/6.0)*(6-6.0/13)} \addplot [sharp plot,green] coordinates { (-6.0/13,0) (-6.0/13, \MU) }; \renewcommand\MU{exp(1.0/3)*(6+3)} \addplot [sharp plot,green] coordinates { (3,0) (3, \MU) }; \end{axis} \end{tikzpicture}

曲率

曲率表示了曲线的弯曲程度。

  • 一条直线是没有弯曲的。当沿着直线走的时候，方向不会改变。
  • 沿着曲线从M点走到N点，方向发生了变化（也就是切线方向）。
    1. 若方向变化的角度相同，则MN之间的长度(曲线弧长)越大，则曲线的弯曲程度越小
    2. 若MN之间的长度相同，则方向变化越大，曲线的弯曲程度越大
\begin{tikzpicture}[x=2cm, y=2cm, global scale=1] % 上面，用 x=2cm, y=2cm 来设置x,y方向的单位长度，缺省是1cm % \draw[very thin,color=gray] (-1.5,-1.2) grid (1.5,1.22); \path[name path=axis x] (-0.4,0) -- (2.8,0); \draw[->] (-0.4,0) -- (2.8,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-0.2) -- (0,2.0) node[right] {$y$}; %\draw[thick, name path=func] (-0.2,0.3) to[out=-45,in=195] (1,0.3) to[out=135,in=-45] (2,0.6) to (2.5,1.9); \draw[thick, name path=func] (-0.2,0.3) .. controls (1,0.3) and (2,0.6) .. (2.5,1.9); % 节点1处的切线 \coordinate (t0) at (1.4, 0); \path[name path=l1] (t0) -- ($ (t0)+(0,2.9) $); \path[name path=l2] ($ (t0)+(0.01,0) $) -- ($ (t0)+(0.01,2.9) $); % 节点2处的切线 \coordinate (t1) at (2.234, 0); \path[name path=l3] (t1) -- ($ (t1)+(0,2.9) $); \path[name path=l4] ($ (t1)+(0.01,0) $) -- ($ (t1)+(0.01,2.9) $); % 画1处的切线 \path[name intersections={of=func and l1, name=o}]; \path[name intersections={of=func and l2, name=p}]; \draw[red, name path=tangent1] ($ (o-1)!-115!(p-1) $)--($ (o-1)!86!(p-1) $); % 画2处的切线 \path[name intersections={of=func and l3, name=q}]; \path[name intersections={of=func and l4, name=r}]; \draw[red, name path=tangent2] ($ (q-1)!-100!(r-1) $)--($ (q-1)!46!(r-1) $); % \coordinate (m) at (o-1); \coordinate (n) at (q-1); \fill (m) circle(1pt) node[above] {$M$}; \fill (n) circle(1pt) node[right] {$N$}; \node[above, blue] at ($ (m)!0.5!(n) $) {$\Delta S$}; \path[name intersections={of=tangent1 and axis x}]; \coordinate (p1) at (intersection-1); \draw ($ (p1)+(0:0.2) $) to[out=90, in=-60] node[right] {$\alpha$} ($ (p1)+(30:0.2) $); \path[name intersections={of=tangent2 and axis x}]; \coordinate (p2) at (intersection-1); \draw ($ (p2)+(0:0.2) $) to[out=90, in=-35] node[above right] {$\alpha+\Delta\alpha$} ($ (p2)+(55:0.2) $); \path[name intersections={of=tangent2 and tangent1}]; \coordinate (p3) at (intersection-1); \draw ($ (p3)+(30:0.2) $) to[out=120, in=-35] node[above right, blue] {$\Delta\alpha$} ($ (p3)+(55:0.2) $); \end{tikzpicture}

定义 3.
取$\Delta S$为弧长，$\Delta \alpha$为转过的角度差，则 $\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta S}$叫作平均曲率。

$\displaystyle\lim_{\Delta S\to0}\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta S}$若存在，就表示点$M$的曲率，记为 $\displaystyle k=\lim_{\Delta S\to0}\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta S}$
\begin{tikzpicture}[x=2cm, y=2cm, global scale=0.7] % 上面，用 x=2cm, y=2cm 来设置x,y方向的单位长度，缺省是1cm % \draw[very thin,color=gray] (-1.5,-1.2) grid (1.5,1.22); \path[name path=axis x] (-0.4,0) -- (2.8,0); \draw[->] (-0.4,0) -- (2.8,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-0.2) -- (0,2.0) node[right] {$y$}; %\draw[thick, name path=func] (-0.2,0.3) to[out=-45,in=195] (1,0.3) to[out=135,in=-45] (2,0.6) to (2.5,1.9); \draw[thick, name path=func] (-0.2,0.3) .. controls (1,0.3) and (2,0.6) .. (2.5,1.9); % 节点1处的切线 \coordinate (t0) at (1.4, 0); \path[name path=l1] (t0) -- ($ (t0)+(0,2.9) $); \path[name path=l2] ($ (t0)+(0.01,0) $) -- ($ (t0)+(0.01,2.9) $); % 节点2处的切线 \coordinate (t1) at (2.234, 0); \path[name path=l3] (t1) -- ($ (t1)+(0,2.9) $); \path[name path=l4] ($ (t1)+(0.01,0) $) -- ($ (t1)+(0.01,2.9) $); % 画1处的切线 \path[name intersections={of=func and l1, name=o}]; \path[name intersections={of=func and l2, name=p}]; \draw[red, name path=tangent1] ($ (o-1)!-115!(p-1) $)--($ (o-1)!86!(p-1) $); % 画2处的切线 \path[name intersections={of=func and l3, name=q}]; \path[name intersections={of=func and l4, name=r}]; \draw[red, name path=tangent2] ($ (q-1)!-100!(r-1) $)--($ (q-1)!46!(r-1) $); % \coordinate (m) at (o-1); \coordinate (n) at (q-1); \fill (m) circle(1pt) node[above] {$M$}; \fill (n) circle(1pt) node[right] {$N$}; \node[above, blue] at ($ (m)!0.5!(n) $) {$\Delta S$}; \path[name intersections={of=tangent1 and axis x}]; \coordinate (p1) at (intersection-1); \draw ($ (p1)+(0:0.2) $) to[out=90, in=-60] node[right] {$\alpha$} ($ (p1)+(30:0.2) $); \path[name intersections={of=tangent2 and axis x}]; \coordinate (p2) at (intersection-1); \draw ($ (p2)+(0:0.2) $) to[out=90, in=-35] node[above right] {$\alpha+\Delta\alpha$} ($ (p2)+(55:0.2) $); \path[name intersections={of=tangent2 and tangent1}]; \coordinate (p3) at (intersection-1); \draw ($ (p3)+(30:0.2) $) to[out=120, in=-35] node[above right, blue] {$\Delta\alpha$} ($ (p3)+(55:0.2) $); \end{tikzpicture}

例 25. (例3.6.14) 求直线、以$R$为半径的圆周的曲率

解. 对于直线，$\Delta \alpha=0$。因此$k=0$

解. 对于圆，角度变化$\Delta \alpha$时，弧长变化为$R\Delta \alpha$，因此

\[k=\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\Delta \alpha}{\Delta S} =\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\Delta \alpha}{R\Delta \alpha} =\frac1R \]

设曲线为$y=f(x)$，且$f(x)$二阶可导。过$x$的切线与$x$轴的正向平角为$\alpha$，则有

\[\tan(\alpha)=y'(x) , \alpha=\arctan(y'(x)) \]

则

\[d\alpha=\frac1{1+(y'(x))^2}y''(x)dx \]

又，弧长微分为$ds=\sqrt{1+(y'(x))^2}dx$，代入曲率公式，有

\[k=\lim_{\Delta S\to0}|\frac{\Delta\alpha}{\Delta S}|=\lim_{\Delta x\to0}|\frac{\Delta\alpha}{\Delta S}| =|\frac{d\alpha}{d s}|=\frac{|y''(x)|}{(1+(y'(x))^2)^{\frac32}} \]

例 26. 在曲线$y=\ln x$上求曲率最大的点

解. 由$y'(x)=\frac1x$, $y''(x)=-\frac1{x^2}$，有

\[k=\frac{\frac1{x^2}}{(1+\frac1{x^2})^{\frac32}} =\frac{|x|}{(1+x^2)^{\frac32}} \]

可以求$f(x)=\frac{(1+x^2)^3}{x^2}$的最小值点。

\[f'(x)=\frac1{x^3}{2(1+x^2)^2(2x^2-1)} \]

因此，曲率最大的点是$x=\frac1{\sqrt 2}$。

例 27. 求极坐标形式下，曲线$r=r(\phi)$的曲率半径。

解. 化为直角坐标，有 $\displaystyle\begin{cases}x=r(\phi)\cos(\phi) \\y=r(\phi)\sin(\phi)\end{cases}$。 应用参数方程的求导规则，有

\[\frac{dy}{dx}=\frac{y'(\phi)}{x'(\phi)} =\frac{r'(\phi)\sin\phi+r(\phi)\cos\phi}{r'(\phi)\cos\phi-r(\phi)\sin(\phi)} =g(\phi) \]
\[\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{g'(\phi)}{x'(\phi)} =\frac{r^2(\phi)+2r'(\phi)r'(\phi)-r(\phi)r''(\phi)}{(r'(\phi)\cos\phi-r(\phi)\sin(\phi))^3} \]

得到

\[R=\frac1k =\frac{(r^2+r'^2)^{\frac32}}{|r^2+2r'^2-rr''|} \]

例 28. 求双纽线$r^2=a^2\cos2\phi$的曲率半径

解. 由方程可得

\[2rr'=-2a^2\sin(2\phi), \quad r'=-\frac{a^2\sin(2\phi)}{r} \]
\[r''=-\frac{r^4+a^4}{r^3} \]
\[r^2+2r'^2-rr''=\frac{3a^4}{r^2}, \quad (r^2+r'^2)^{\frac32}=\frac{a^6}{r^3} \]

得到$R=\frac{a^2}{3r}$

\[\begin{aligned} r'' =&\left(-\frac{a^2\sin(2\phi)}{r}\right)' =-a^2\left(\frac{\sin(2\phi)}{r}\right)' \\ =&-a^2\frac{2\cos(2\phi)r-\sin(2\phi)r'}{r^2} \\ =&-a^2\frac{2\cos(2\phi)r-\sin(2\phi)\frac{-a^2\sin(2\phi)}{r}}{r^2} \\ =&-a^2\frac{2r^2\cos(2\phi)+a^2\sin^2(2\phi)}{r^3} \\ =&-a^2\frac{2a^2\cos^2(2\phi)+a^2\sin^2(2\phi)}{r^3} \\ =&-\frac{a^2(a^2\cos^2(2\phi)+a^2)}{r^3} =-\frac{r^4+a^4}{r^3} \\ \end{aligned} \]

对于参数方程$\displaystyle\begin{cases} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}$, 可以得到曲率为

\[k=\frac{|\phi'(t)\psi''(t)-\phi''(t)\psi(t)|}{\left((\phi'(t))^2+(\psi'(t))^2\right)^{\frac32}} \]

定义 4.
设曲线为$y=f(x)$在点$A$处的曲率$k\neq0$。过$A$做曲线的法线，在法线上曲线凹的一侧取点$C$，使$|AC|=\frac1k$，以$C$为圆心，$|AC|$为半径的圆，称为曲线在点$A$的曲率圆 或 密切圆，它的半径称为曲率半径，圆心称为曲率中心。

在$A$点，曲率圆与曲线具有相同的切线、凹凸性和曲率。

目录

本节读完

例 29. Thanks

例 30. $\cos x>x-\dfrac12x^2, x>0$

例 31. $\tan x>x+\dfrac13x^3, x\in(0,\dfrac\pi 2)$

例 32. $\ln x\leq x-1 , x>0$

29.

定理： $f(x)$在$I$内二阶可导，若$f''(x)>0, \forall x\in I$，则$f(x)$在$I$内是凸函数。

例 33. (Holder不等式) $\forall a_i, b_i$不全为$0$非负数组, $\frac1p+\frac1q=1$, $p>1$, $q>1$

\[\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq(\sum_{i=1}^n a_i^p)^{\frac1p}(\sum_{i=1}^n b_i^q)^\frac1q \]

例 34. (Minkowski不等式) $\forall a_i, b_i$不全为$0$非负数组, $p>1$

\[(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p)^{\frac1p}\leq(\sum_{i=1}^n a_i^p)^{\frac1p}+(\sum_{i=1}^n b_i^p)^{\frac1p} \]

例 35. 设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内有界，且有连续导数，$|f(x)-f'(x)|\leq 1$,求证：

\[|f(x)|\leq 1 \]

Proof. 令$F(x)=e^{-x}(f(x)+1)$，则

\[F'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x)-1)\leq 0 \]

所以，$F(x)$单调减，则有

\[F(x)\geq\lim_{x\to+\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}e^{-x}(f(x)+1)=0 \]

即有

\[f(x)\geq -1 \]

另外，令$G(x)=e^{-x}(f(x)-1)$，则

\[G'(x)=e^{-x}(f'(x)-f(x)+1)\geq 0 \]

则$G(x)$单调增，所以

\[G(x)\leq \lim_{x\to+\infty}G(x)=0 \]

则有

\[f(x)\leq 1 \]