二阶线性微分方程解的结构

微分方程

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

二阶线性微分方程解的结构

二阶线性微分方程的标准形式：

\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \]

其中$p(x),q(x),f(x)$在某区间上连续。对应的齐次方程为

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \]

线性相关与线性无关

定义 1. (线性相关与线性无关)
设$m$个函数$\phi_1(x),\phi_2(x),\cdots,\phi_m(x)$在区间$(a,b)$上有定义，如果存在一组不全为0的常数$c_1,c_2,\cdots,c_m$，使得线性组合

\[c_1\phi_1(x)+c_2\phi_2(x)+\cdots+c_m\phi_m(x)\equiv0,\forall x\in(a,b) \]

则称函数$\phi_1(x),\phi_2(x),\cdots,\phi_m(x)$在区间$(a,b)$上线性相关；否则，称它们在区间$(a,b)$上线性无关

例 1. (例5.4.1) 判定线性相关性

  1. 函数组 $1, \sin x$,$\cos x$ 在$\mathbb{R}$上
  2. 函数组 $1, \sin^2 x$,$\cos^2 x$ 在$\mathbb{R}$上

例 2. (例5.4.2) 函数组 $1,x,\cdots,x^m$在$\mathbb{R}$上是否线性相关？

例 3. $ y_1(x)=\begin{cases} x^2, & x>0 \\ 0, & x\leq 0\end{cases} $与 $y_2(x)=\begin{cases} 0, & >0 \\ x^2, &x\leq 0\end{cases}$是否线性相关？

1.

\[c_1+c_2\sin x+c_3\cos x=0 , \forall x\in\mathbb{R} \]

取$x=0,\frac{\pi}2,\pi$，则有

\[\begin{aligned} \begin{cases} c_1+c_3=0 \\ c_1+c_2=0 \\ c_1-c_3=0 \end{cases} \end{aligned} \]

可得，$c_1=c_2=c_3=0$，即线性无关

由

\[1-\sin^2x-\cos^2x=0 , \forall x \]

知$c_1=1, c_2=c_3=-1$满足条件，所以线性相关

2.

定理 1. (线性相关的必要条件)
函数$y_1(x), y_2(x)$在区间$(a,b)$上线性相关，则有

\[y_1(x)y'_2(x)-y_2(x)y'_1(x)\equiv0, \forall x\in(a,b) \]

定义 2.
称$\left|\begin{aligned} a & & b \\c & & d \end{aligned}\right|$ 为一个行列式，它的值为

\[\left|\begin{aligned} a & & b \\ c & & d \end{aligned}\right| =ad-bc \]

证明： 若有$c_1$，$c_2$满足

\[c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\equiv 0 \]

则有

\[c_1y'_1(x)+c_2y'_2(x)\equiv 0 \]

联立上面2式，则$c_1,c_2$有非$0$解，则

\[\left|\begin{aligned} y_1(x) & & y_2(x) \\ y'_1(x) & & y'_2(x) \end{aligned}\right|\equiv 0 \]

即

\[y_1(x)y'_2(x)-y_2(x)y'_1(x)\equiv0, \forall x\in(a,b) \]

定义 3. (朗斯基 (Wronski)行列式)
行列式

\[W[y_1,y_2](x)=\left|\begin{aligned} y_1(x) & & y_2(x) \\ y_1'(x) & & y'_2(x) \end{aligned}\right| =y_1(x)y'_2(x)-y_2(x)y'_1(x) \]

称为$y_1(x)$与$y_2(x)$的朗斯基 (Wronski)行列式

朗斯基 (Wronski)行列式为$0$是线性相关的必要条件，而不是充分条件。如

$ y_1(x)=\begin{cases} x^2, & x>0 \\ 0, & x\leq 0\end{cases} $与$y_2(x)=\begin{cases} 0, & >0 \\ x^2, &x\leq 0\end{cases}$

$x>0$时，

$\left|\begin{aligned} y_1(x) & & y_2(x) \\y_1'(x) & & y'_2(x) \end{aligned}\right|$ $=\left|\begin{aligned} x^2 & & 0 \\2x & & 0 \end{aligned}\right|=0$

$x<0$时，

$\left|\begin{aligned} y_1(x) & & y_2(x) \\y_1'(x) & & y'_2(x) \end{aligned}\right|$ $=\left|\begin{aligned}0 & & x^2 \\0 && 2x \end{aligned}\right|=0$

Liouville公式

定理 2. (Liouville公式)
函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是二阶齐次线性微分方程

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \]

在区间$(a,b)$上的两个解，则其朗斯基行列式为

\[W(x)=W(x_0)e^{-\int_{x_0}^xp(t)dt} \]

其中$x_0$是$(a,b)$上的任意固定点

Liouville公式表明，$y_1(x),y_2(x)$的朗斯基行列式要么恒为$0$，要么不等于$0$。

证明：

\[\begin{aligned} W'(x)=(y_1y'_2-y'_1y_2)' \\ =y_1y''_2+y'_1y'_2-y'_1y'_2-y''_1y_2 \\ =-y_1(p(x)y'_2+q(x)y_2)+y_2(p(x)y'_1+q(x)y_1) \\ =p(x)(-y_1y'_2+y'_1y_2) \\ =-p(x)W(x) \end{aligned} \]

则有

\[\begin{aligned} \int_{x_0}^x\dfrac{dW}{W}=-\int_{x_0}^xp(x)dx \\ \ln|\dfrac{W(x)}{W(x_0)}=-\int_{x_0}^xp(x)dx \\ \end{aligned} \]
\[W(x)=W(x_0)e^{-\int_{x_0}^xp(x)dx} \]

或者

\[\begin{aligned} \dfrac{dW}{W}=-p(x)dx \\ W=Ce^{\int(-p(x))dx} , C\neq 0 \end{aligned} \]

刘维尔定理

定理 3. (刘维尔定理)
函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是二阶齐次线性微分方程

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \]

在区间$(a,b)$上的两个解，则$y_1(x)$与$y_2(x)$在区间$(a,b)$上线性无关的充要条件是朗斯基行列式处处不为$0$。

结合刘维尔定理和刘维尔公式，判断二阶齐次线性微分方程的两个特解线性无关，只需要判断其朗斯基行列式在一点处是否为$0$即可

证明： 只需要证：$y_1,y_2$线性无关，则$W(x)\neq0, \forall x\in(a,b)$

(反证) 设$\exists x_0\in(a,b)$，满足$W(x_0)=0$。

这样，如下的线性方程组

\[\begin{aligned} \begin{cases} c_1y_1(x_0)+c_2y_2(x_0)=0 \\ c_1y'_1(x_0)+c_2y'_2(x_0)=0 \end{cases} \end{aligned} \]

有非$0$解$c_1,c_2$。记$y(x)=c_1y_1+c_2y_2$，显然满足二阶线性微分方程，及

\[y(x_0)=0 , y'(x_0)=0 \]

这样，$y(x)$就为定解问题

\[\begin{aligned} \begin{cases} y''+p(x)y'+q(x)y=0 \\ y'(x_0)=0, y(x_0)=0 \end{cases} \end{aligned} \]

的解。同时$y\equiv0$是定解问题的解，这样

\[y(x)=c_1y_1+c_2y_2\equiv 0 \]

由$c_1,c_2$不全为$0$，则$y_1,y_2$线性相关。与条件矛盾。

齐次线性方程解的结构

定理 4. (基本解组的存在性)
二阶齐次线性微分方程存在2个线性无关的解$y_1(x)$与$y_2(x)$。且通解可以表示为

\[y=c_1y_1(x)+c_2y_2(x) , \forall c_1,c_2\in\mathbb{R} \]

定义 4.
称二阶齐次线性微分方程的2个线性无关的特解$y_1(x)$和$y_2(x)$为该方程的基本解组

二阶齐次线性方程的解的全体构成一个线性空间，称为解空间。

证明：

存在性：

设定解问题

\[\begin{aligned} \begin{cases} y''+p(x)y'+q(x)y=0 \\ y'(x_0)=0, y(x_0)=1 \end{cases} \end{aligned} \]

的解为$y_1(x)$

设定解问题

\[\begin{aligned} \begin{cases} y''+p(x)y'+q(x)y=0 \\ y'(x_0)=1, y(x_0)=0 \end{cases} \end{aligned} \]

的解为$y_2(x)$

则$y_1,y_2$的朗斯基行列式为

$W[y_1,y_2](x_0)=\left|\begin{aligned} y_1(x_0) && y_2(x_0 \\ y'_1(x_0) && y'_2(x_0) \end{aligned}\right|$ $=\left|\begin{aligned} 1 && 0 \\ 0 && 1 \end{aligned}\right|=1$

所以，$y_1,y_2$线性无关

通解表达：

$y(x)$为方程的任一通解，取$x_1\in(a,b)$，满足$y(x_1)\neq 0$， 则如下线性方程组

\[\begin{aligned} \begin{cases} c_1y_1(x_1)+c_2y_2(x_1)=y(x_1) \\ c_1y'_1(x_1)+c_2y'_2(x_1)=y'(x_1) \\ \end{cases} \end{aligned} \]

有非$0$解$c_1, c_2$。

又$\tilde{y}(x)=c_1y_1+c_2y_2$为微分方程的非$0$解，且满足

\[\tilde{y}(x_1)=y(x_1) ,\tilde{y}'(x_1)=y'(x_1) \]

即，$\tilde{y}(x)$与$y(x)$满足同样的定解条件，则$\tilde{y}=y$。

所以，任一解$y(x)$可以表达成

\[y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x) \]

其中$c_1,c_2$不全为$0$。

又$c_1=c_2=0$时，$y(x)\equiv0$为方程的解。所以方程的所有解可以表达为

\[y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x) \]
  • 一般来说，没有求解方程通解的通用方法，特别是变系数的方程
  • 如果知道方程的一个解，则可以得到另一个解

定理 5.
设函数$y_1(x)$是二阶齐次线性微分方程

\[ y''+p(x)y'+q(x)y=0 \]

的一个非零解，则函数

\[y_2(x)=y_1(x)\int\dfrac1{y_1^2(x)}e^{-\int p(x)dx}dx \]

是另一个解，且与$y_1(x)$线性无关

5 证明： 令$z(x)=\dfrac{y(x)}{y_1(x)}$，即$y(x)=z(x)y_1(x)$代入微分方程，有

\[z''+(p(x)+2\dfrac{y'_1(x)}{y_1(x)})z'=0 \]

用降价法，可得到解为

\[z(x)=\int\dfrac1{y^2_1(x)}e^{-\int p(x)dx}dx \]

于是，函数

\[y(x)=y_1(x)\int\dfrac1{y_1^2(x)}e^{-\int p(x)dx}dx \]

例 4. (例5.4.3) $\sin x$，$\cos x$是齐次线性方程$y''+y=0$的基本解组

例 5. (例5.4.5) $y=\dfrac{\sin x}x$是方程

\[y''+\dfrac2xy'+y=0 \]

的一个特解，求方程的通解

例 6. 求方程的通解

\[xy''-y'=0 \]

4.

5.

二阶非齐次线性微分方程解的结构

\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \]

由叠加原理，非齐次线性方程的解为

\[y=y_h+y_p \]

其中$y_h$是对应齐次方程的通解，$y_p$是方程的一个特解。

如何求特解$y_p$？

定理 6. (常数变易法)
函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是二阶齐次线性微分方程

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \]

的两个线性无关解，则非齐次方程有特解

\[y_p(x)=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x) \]

其中

\[c_1(x)=-\int\dfrac{y_2(x)f(x)}{W(x)}dx, c_2(x)=\int\dfrac{y_1(x)f(x)}{W(x)}dx \]

这里，$W(x)$是$y_1(x)$与$y_2(x)$的朗斯基行列式

证： 假定函数

\[y(x)=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x) \]

为非齐次方程的解。先求一阶导数

\[y'=c_1(x)y'_1(x)+c'_1(x)y_1(x)+c_2(x)y'_2(x)+c'_2(x)y_2(x) \]

令

\[c'_1(x)y_1(x)+c'_2(x)y_2(x)\equiv0 \]

则可以得到二阶导数

\[y''=c'_1(x)y'_1(x)+c'_1(x)y''_1(x)+c'_2(x)y'_2(x)+c'_2(x)y''_2(x) \]

将$y',y''$代入非齐次方程，同时注意到$y_1,y_2$是齐次方程的解，化简后，有

\[c'_1(x)y'_1(x)+c'_2(x)y'_2(x)=f(x) \]

例 7. 求方程

\[(1+x^2)y''+2xy'-6x^2-2=0 \]

的泛定解。并给出满足定解条件

\[y(-1)=0, y'(-1)=0 \]

的解。

7.

\[y''+\dfrac{2x}{1+x^2}y'=\dfrac{6x^2+2}{1+x^2} \]

先看齐次方程

\[y''+\dfrac{2x}{1+x^2}y'=0 \]

令$p=y'$，有$p'=y''$

\[\begin{aligned} p'+\dfrac{2x}{1+x^2}p=0 \\ \dfrac{dp}{p}=\dfrac{-2x}{1+x^2}dx \\ p=y'=\dfrac{c_1}{1+x^2} , c_1\in\mathbb{R} \\ \end{aligned} \]
\[y=c_1\arctan(x)+c_2 , c_1,c_2\in\mathbb{R} \]

然后用常数变易法求特解。

$y_p(x)=c_1(x)\arctan(x)+c_2(x)$满足方程，则

\[\begin{aligned} \begin{cases} c'_1(x)\arctan(x)+c'_2(x)=0 \\ c'_1(x)\frac1{1+x^2}=\frac{6x^2+2}{1+x^2} \end{cases} \end{aligned} \]

可得

\[\begin{aligned} \begin{cases} c_1(x)=\int(6x^2+2)dx=2x^3+2x \\ c_2(x)=-\int(6x^2+2)\arctan(x)dx \end{cases} \end{aligned} \]

所以有特解$y_p(x)=x^2$

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