习题

多变量函数的微分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

二元函数的连续性

例 1. 设$f(x,y)=\begin{cases}\frac{e^{x-y}-1}{x-y}, & x>y \\1, & x=y \\\frac{\sin x-\sin y}{x-y}, & x<y\end{cases}$，讨论$f(x,y)$的连续性。

高阶偏导数

例 2. 设$f(x,y)$在整个平面上有连续的二阶偏导数，且 $f''_{xx}(x,y)=f''_{yy}(x,y)$。 已知$f(x,2x)=x^2$, $f'_x(x,2x)=x$， 试求$f''_{xx}(x,2x)$, $f''_{xy}(x,2x)$

微分

例 3. 设$u=f(x,y,z)$, $y=\phi(x,r)$, $z=h(x,y,r)$。 把$u$看成$x$,$r$的复合函数，求$\frac{\partial u}{\partial x}$

例 4. (复习题) 设$y=f(x,t)$，而$t$是由方程$F(x,y,t)=0$所确定的$x$,$y$的函数。 试求$y'(x)$

例 5. (习题) 函数$f(x,y)=\sin x+\sin y-\sin(x+y)$的极值

解. 先求驻点

\[\begin{aligned} f'_x = \cos x - \cos(x+y) =0\\ f'_y = \cos y - \cos(x+y) =0 \end{aligned} \]

由$f'_x=0$，得到

\[x+(x+y) = 2n\pi, x-(x+y)=2n\pi, n=0,\pm1,\pm2,\cdots \]

由$f'_y=0$，得到

\[y+(x+y) = 2n\pi, y-(x+y)=2n\pi, n=0,\pm1,\pm2,\cdots \]
% 一个习题 \begin{tikzpicture} [x=2cm, y=2cm, global scale=0.4] \draw[->, thick] (-0.5,0) -- (2.5,0) node[right] {$x$}; \draw[->, thick] (0,-0.5) -- (0,2.5) node[above] {$y$}; \fill[green, opacity=0.2] (0,0) -- (2,0) -- (0,2) -- cycle; \foreach \y in {-2, 0, 2}{ \draw[red] (-2, \y)--(2, \y); \draw[red] plot[domain=-2:2] ({0.5*(\y-\x)}, \x); \draw[blue] (\y, -2) -- (\y, 2); \draw[blue] plot[domain=-2:2] (\x, {0.5*(\y-\x)}); } \draw[blue] plot[domain=0:2] (\x, {0.5*(4-\x)}); \draw[red] plot[domain=0:2] ({0.5*(4-\x)}, \x); \draw[blue] plot[domain=-2:0] (\x, {0.5*(-4-\x)}); \draw[red] plot[domain=-2:0] ({0.5*(-4-\x)}, \x); % node \fill (2/3,2/3) circle(1pt) node[above right] {$(\frac23\pi, \frac23\pi)$}; \fill (2,0) circle(1pt) node[below right] {$2\pi$}; \fill (-2,0) circle(1pt) node[below left] {$-2\pi$}; \fill (0,2) circle(1pt) node[above left] {$2\pi$}; \fill (0,-2) circle(1pt) node[below left] {$-2\pi$}; \end{tikzpicture}

红色线为 $f'_x=0$的点集，

蓝色的线为 $f'_y=0$ 的点集。

条件极值

例 6. (复习题) 求平面$Ax+By+Cz=0$($A$, $B$,$C$都不为0)与柱面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$相交所成椭圆的面积。

例 7. 求椭圆

\[\begin{cases} & x^2+y^2=1 \\ & x+y+z=1 \end{cases} \]

的长半轴与短半轴

微分中值定理

例 8. 函数$f(x,y)$在整个平面上有一阶连续的偏导数，$f(0,1)=f(1,0)$。证明：在$x^2+y^2=1$上至少有两个不同的点满足

\[y\frac{\partial f}{\partial x}=x\frac{\partial f}{\partial y} \]

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