向量与坐标系

空间解析几何

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

向量

定义 1.
向量: 既有大小，又有方向的量。向量用一般用有向线段来表示。空间中以$A$为起点，$B$为终点的向量记为$\vec{AB}$；或简单记为$\vec a$，或$a$

反向量: $-\vec a$表示长度与$\vec a$相同，但方向相反的向量。 $-\vec a$与$\vec a$互为反向量

模: 向量的长度，记为$|\vec a|$

向量相等: 大小、方向都相同 （起点与终点可以不同）

单位向量: 模长为$1$的向量

零向量 : 模长为$0$的向量。起点与终点重合，没有方向

平行: 方向相同或相反的两个向量称为平行向量。记为 $\vec a//\vec b$

垂直（正交）: 方向互相垂直的两个向量， 记为 $\vec{a} \perp \vec b$

夹角: 在$0$到$\pi$之间

\begin{tikzpicture}[global scale=0.9] \coordinate (o) at (0,0) ; \draw[-latex] (o) node[below]{$O$} -- (0:2) node[right] {$A$}; \draw (0:0.5) node[above right, blue]{$\phi$} to[out=90, in=-60] (30:0.5); \draw[-latex] (o) -- (30:2) node[right] {$B$}; \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[global scale=0.9] \coordinate (o) at (0,0) ; \draw[-latex] (o) node[above]{$O$} -- (0:2) node[right] {$A$}; \draw (0:0.5) to[out=-90, in=-60] node[below, blue]{$\phi$} (210:0.5); \draw[-latex] (o) -- (210:2) node[right] {$B$}; \end{tikzpicture}

向量的加法

对速度、力的合成法则加以抽象，就得到了向量加法:

平行四边形法则

\begin{tikzpicture}[global scale=0.9] \coordinate (o) at (0,0); \coordinate (a) at (0:2); \coordinate (b) at (45:1.8); \coordinate (c) at ($ (a)+(b) $); \draw[-latex] (o) node[below]{$O$} -- (a) node[below] {$A$}; %\draw (0:0.5) to[out=-90, in=-60] node[below, blue]{$\phi$} (210:0.5); \draw[-latex] (o) -- (b) node[above] {$B$}; \draw[-latex] (o) -- (c) node[above] {$C$}; \draw[dashed] (b) -- (c) -- (a); \end{tikzpicture}

$\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB}\quad$,

三角形法则

\begin{tikzpicture}[global scale=0.9] \coordinate (o) at (0,0); \coordinate (a) at (0:2); \coordinate (b) at (45:1.8); \coordinate (c) at ($ (a)+(b) $); \draw[-latex] (o) node[below]{$O$} -- (a) node[below] {$A$}; %\draw (0:0.5) to[out=-90, in=-60] node[below, blue]{$\phi$} (210:0.5); \draw[-latex, dashed] (o) -- (b) node[above] {$B$}; \draw[-latex] (o) -- (c) node[above] {$C$}; \draw[-latex] (a) -- (c) ; \end{tikzpicture}

$\quad\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{AC}$

加法的特性：

  1. $\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$
  2. $\vec a+(\vec b+\vec c)=(\vec a+\vec b)+\vec c$
  3. $\vec a+\vec 0=\vec a$
  4. $\vec a+(-\vec a)=0$

向量的减法：

\[\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b) \]

向量的数乘

数乘： 向量$\vec a$与实数$\lambda$的乘积$\lambda \vec a$表示一个向量， 它的模为$|\lambda||\vec a|$， 它的方向：$\lambda>0$时，指向$\vec a$的方向；$\lambda<0$时，指向$\vec a$的反方向；

数乘的特性：

  1. $1 \vec{a}=\vec a$
  2. $\lambda(\mu\vec a)=(\lambda \mu)\vec a$
  3. $(\lambda+\mu)\vec a=\lambda\vec a+\mu\vec a$
  4. $\lambda(\vec a+\vec b)=\lambda\vec a+\lambda \vec b$

$\vec a^{\circ}=\dfrac{\vec a}{|\vec a|}$表示与$a$同向的单位向量

加法与数乘运算，称为向量的线性运算。

向量的共线与共面

向量共线： 都平行与某条直线的向量，称为共线向量

向量共面： 都平行与某个平面的向量，称为共面向量

定理 1.
向量$\vec a$，$\vec b$共线，当且仅当，存在不全为$0$的数$\lambda, \mu$，满足

\[\lambda\vec a+\mu \vec b=\vec 0 \]

定理 2.
向量$\vec a$，$\vec b$，$\vec c$共面，当且仅当，存在不全为$0$的数$\lambda, \mu, \nu$，满足

\[\lambda \vec a+\mu \vec b+\nu \vec c=\vec 0 \]

1.证明: 设$\vec a$, $\vec b$共线，则$\vec a$与$\vec b$同向或反向。

  • 若$\vec b$与$\vec a$同向，则 $\displaystyle\vec b = \frac{|\vec b|}{|\vec a|}\vec a$， 从而 $|\vec a|\vec b-|\vec b|\vec a=0$
  • 若$\vec b$与$\vec a$反向，则 $\displaystyle\vec b = -\frac{|\vec b|}{|\vec a|}\vec a$， 从而 $|\vec a|\vec b+|\vec b|\vec a=0$

2.证明:

定义 2. (线性组合)
$a_1,a_2,\cdots,a_n$为向量，$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$为实数。 向量

\[a=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_na_n \]

称为向量组$a_1,a_2,\cdots,a_n$的线性组合

定义 3. (线性相关)
存在不全为$0$的实数$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，满足

\[\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_na_n=\vec 0 \]

则称向量组$a_1,a_2,\cdots,a_n$线性相关。否则称为线性无关。

例 1. [例1.1.1] 对任意向量$\vec a,\vec b,\vec c$，证明：向量

\[\vec a+\vec b+\vec c, \vec a-\vec b-\vec c, \vec a+2\vec b+2\vec c \]

线性相关。

解. 设数$\lambda, \mu, \nu$满足

\[\lambda(\vec a+\vec b+\vec c)+\mu(\vec a-\vec b-\vec c) +\nu(\vec a+2\vec b+2\vec c)=\vec 0 \]

则有

\[\begin{aligned} & (\lambda+\mu+\nu)\vec a \\ +&(\lambda-\mu+2\nu)\vec b \\ +&(\lambda-\mu+2\nu)\vec c = \vec 0 \\ \end{aligned} \]

1.

\[\begin{aligned} &(\lambda+\mu+\nu) = 0 \\ &(\lambda-\mu+2\nu) = 0 \\ &(\lambda-\mu+2\nu) = 0 \\ \end{aligned} \]

如$\mu=2, \nu=4, \lambda=-6$

1个向量线性相关$\Leftrightarrow$ $a=0$

2个向量线性相关$\Leftrightarrow$2个向量共线

3个向量线性相关$\Leftrightarrow$3个向量共面

例 2. 空间3点$A,B,C$共线 $\Leftrightarrow$存在不全为$0$的实数$k_1,k_2,k_3$，对任意点$O$，满足

\[\begin{aligned} k_1\vec{OA}+k_2\vec{OB}+k_3\vec{OC} &=0 \\ k_1+k_2+k_3 &=0 \end{aligned} \]

2. 若$A,B,C$三点共线，则向量$\vec{AB}, \vec{BC}$共线，因此，存在不全为$0$的数 $\lambda, \mu$，满足

\[\lambda \vec{AB}+\mu \vec{BC} = \vec 0 \]

即

\[\lambda (\vec{OB}-\vec{OA})+\mu (\vec{OC}-\vec{OB}) = \vec 0 \]

得到

\[(\lambda-\mu)\vec{OB}-\lambda \vec{OA}+\mu \vec{OC} = \vec 0 \]

即

\[k_1= - \lambda, k_2= \lambda-\mu, k_3=\mu \]

例 3. 如图，三角形$ABC$中，$D,E$为相应边的中点，$G$为$AD$与$BE$的交点。证明

\[\vec{AG}=\dfrac23\vec{AD} \]
\begin{tikzpicture}[thick, x=2cm, y=2cm, global scale=0.6] \coordinate[label=left:$B$] (b) at (0,0) ; \coordinate[label=below:$C$] (c) at (0:2.8) ; \coordinate[label=above:$A$] (a) at (40:3.0) ; \coordinate[label=below:$D$] (d) at ($ 0.5*(b)+0.5*(c) $) ; \coordinate[label=right:$E$] (e) at ($ 0.5*(a)+0.5*(c) $) ; \draw (b) -- (a); \draw (b) -- (c); \draw (a) -- (c); \draw[name path=ad] (a) -- (d); \draw[name path=be] (b) -- (e); \path[name intersections={of=ad and be}] (intersection-1) coordinate (g); \draw (g) node[below right] {G}; \end{tikzpicture}

解. 3. 设$\vec{AG} = x \vec{AD}$。

  • 由$D$为$BC$的中点，则$\vec{AD} = \frac12(\vec{AB}+\vec{AC})$，从而
    \[\vec{AG}=x\vec{AD}=\frac{x}2(\vec{AB}+\vec{AC}) \]
  • 由$B,G,E$共线，则$\vec{BG}=y\vec{BE}$，从而
    \[\vec{AG}-\vec{AB}=y(\vec{AE}-\vec{AB})=y(\frac12\vec{AC}-\vec{AB}) \]

将$\vec{AG}$代入，得到

\[\frac{x}2(\vec{AB}+\vec{AC})-\vec{AB} =\frac{y}2\vec{AC}-y\vec{AB} \]
\[(\frac{x}2+y-1)\vec{AB} +(\frac{x}2 - \frac{y}2)\vec{AC} =0 \]

由$\vec{AB}$, $\vec{AC}$不共线，则

\[\begin{cases} \frac{x}2+y-1 = 0 \\ \frac{x}2 = \frac{y}2 \end{cases} \]

解得$x=y=\frac23$

数量积

作用于物体上的力$\vec F$，使物体位移$\vec s$。 若力与位移有夹角$\theta$ 则力所做的功为

\[W = |\vec F| |\vec s| \cos\theta \]
\begin{tikzpicture}[x=4cm, y=4cm, global scale=0.8] % 上面，用 x=2cm, y=2cm 来设置x,y方向的单位长度，缺省是1cm %\fill[fill=yellow!80!black] (0.8,0)--(0.8,0.7225)--(0.9,0.7225)--(0.9,0); \draw (-0.3,-0.1) -- (0.8, -0.1); \draw (-0.2, -0.1) -- (-0.2, 0.1) -- (0.2, 0.1) -- (0.2, -0.1) --cycle; \draw[->, name path=F] (0,0) -- (30:0.7) node[right] {$\vec F$}; \draw[->, name path=s] (0,0) -- (0:0.6) node[right] {$\vec s$}; \draw (0:0.1) node[above right, blue]{$\theta$} to[out=90, in=-60] (30:0.1); \end{tikzpicture}

定义 4. (数量积)
2个向量$\vec a,\vec b$的数量积为一个数，值为向量的模与两向量夹角余弦的乘积， 记为$\vec a\cdot \vec b$

\[\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\theta \]

数量积也常称为内积。

  1. $\vec a\perp \vec b$ 当且仅当 $\vec a \cdot \vec b=0$
  2. $\vec a\cdot\vec a=\vec a^2=|\vec a|^2 \geq 0$，且等号成立当且仅当$\vec a=\vec 0$
  3. 几何上来看，$\vec b\cdot\vec a$就是向量$\vec b$在$\vec a$方向上的投影的(代数)长度与向量$\vec a$长度的乘积。
\begin{tikzpicture}[thick] \coordinate[label=left:$O$] (o) at (0,0) ; \coordinate (a) at (2,0.94) ; %\coordinate (b) at (0.6, 2.1); \coordinate[label=right:$a$] (c) at (3.0,0); %\coordinate (a+b) at ($ (a)+(b) $) ; \draw[->] (o) -- node[ above, near end, sloped] {$b$} (a); \draw[->] (o) -- (c); \draw[dashed] (a)--(2,0); \end{tikzpicture}

数量积的特性

定理 3.
对向量$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$及数$\lambda$，有

\[\begin{aligned} \vec a\cdot\vec b & =\vec b\cdot\vec a \\ (\vec a+\vec b)\cdot\vec c&=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c \\ (\lambda\vec a)\cdot\vec b&=\lambda(\vec a\cdot\vec b) =\vec a\cdot(\lambda\vec b) \\ \end{aligned} \]

如图

\begin{tikzpicture}[thick] \coordinate[label=left:$O$] (o) at (0,0) ; \coordinate (a) at (2,0.74) ; \coordinate (b) at (0.6, 2.1); \coordinate[label=right:$c$] (c) at (3.0,0); \coordinate (a+b) at ($ (a)+(b) $) ; \draw[->] (o) -- node[ below, near end] {$a$} (a); \draw[->] (a) -- node[ above, near start] {$b$} (a+b); \draw[->] (o) -- node[ above, sloped] {$a+b$} (a+b); \draw[->] (o) -- (c); \draw[dashed] (a)--(2,0); \draw[dashed] (a+b) -- (2.6,0); \end{tikzpicture}

例 4. 对向量$\vec a$, $\vec b$，有

\[\begin{aligned} |\vec a+\vec b|^2 =&(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b) =\vec a\cdot(\vec a+\vec b)+\vec b\cdot(\vec a+\vec b) \\ =&\vec a\cdot \vec a+\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a+\vec b\cdot\vec b \\ =&|\vec a|^2+2\vec a\cdot \vec b+|\vec b|^2 \\ =&|\vec a|^2+2|\vec a| | \vec b| \cos\theta +|\vec b|^2 \\ \leq &|\vec a|^2+2|\vec a| | \vec b| +|\vec b|^2 =(|\vec a|+|\vec b|)^2 \end{aligned} \]

即向量长度的三角不等式

\[|\vec a+\vec b| \leq |\vec a|+|\vec b| \]

例 5. 四面体$OABC$中，$OA\perp BC$，$OB\perp AC$，则有$OC\perp AB$

解. 记$\vec{OA}=\vec a$, $\vec{OB}=\vec b$, $\vec{OC}=\vec c$，则有

\[\vec a \cdot(\vec c-\vec b)=0, \quad \vec b\cdot(\vec c-\vec a)=0 \]

则有

\[\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c \]

从而

\[\vec c\cdot(\vec a-\vec b)=0 \]

即$OC\perp AB$

向量积

刚体以等角速度$\omega$绕定轴转动，$O$为转动轴上的一个定点，$M$为刚体上一个点， 到轴的距离为$R$。则$M$点的速度$\vec v$与点$M$和轴确定的平面垂直，大小为$\omega R$。

记$\vec r=\vec{OM}$。 在转动轴上引一向量$\vec\omega$，称为角速度向量，它的模为$\omega$，方向与转动方向组成右手系， 记$\vec\omega$与$\vec r$之间的夹角为$\theta$，则$M$点的速度$\vec v$的大小为

\[|\vec v|=\omega R = |\vec\omega| |\vec r|\sin\theta \]

同时，$\vec\omega$, $\vec r$, $\vec v$组成右手系。
\begin{tikzpicture}[x=4cm, y=4cm, global scale=0.8, partial ellipse/.style args={#1:#2:#3}{ insert path={+ (#1:#3) arc (#1:#2:#3)} }, ] % 上面，用 x=2cm, y=2cm 来设置x,y方向的单位长度，缺省是1cm \coordinate (n) at (90:0.7); \coordinate (m) at (60:0.6); \coordinate (o) at (0:0); \coordinate (ro) at (m-|o); \draw (90:0.3) -- (n); \draw[dashed] (m) -- node{$R$} (ro); \draw[blue] (ro) ellipse (0.3 and 0.1); %\draw[->] (ro) arc (0:180:0.1); \draw[ -latex] (ro) [partial ellipse=30:150:0.3 and 0.1]; \draw[->, name path=F] (0,0) -- (90:0.3) node[left] {$\vec \omega$}; \draw[-latex, name path=s] (0,0) -- node[below] {$\vec r$} (m) node[right] {$M$}; \draw (90:0.1) node[above right, blue]{$\theta$} to[out=0, in=-30] (60:0.1); \draw[->] (m) -- +(130:0.2) node[right] {$\vec v$}; \end{tikzpicture}

定义 5. (向量积)
2个向量$\vec a,\vec b$的向量积记为$\vec a\times\vec b$，为一个向量。

  • 方向与$\vec a,\vec b$均垂直，且使$\vec a, \vec b , \vec a\times \vec b$构成右手系。
  • 模等于$\vec a, \vec b$为边构成的平行四边形的面积。即$|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta$, $\theta$为$\vec a, \vec b$的夹角
\begin{tikzpicture}[x=4cm, y=4cm, global scale=0.8] % 上面，用 x=2cm, y=2cm 来设置x,y方向的单位长度，缺省是1cm \draw[->, name path=F] (0,0) -- node[above]{$\vec b$} (45:0.4) node[above] {$B$}; \draw[->, name path=s] (0,0) -- node[below]{$\vec a$} (0:0.6) node[right] {$A$}; \draw (0:0.1) node[above right, blue]{$\theta$} to[out=90, in=-45] (45:0.1); \draw[dashed] (45:0.4) -- +(0:0.6) node[right]{$D$} -- (0:0.6); \draw[->] (0,0) node[below]{$O$} -- (90: 0.5) node[above] {$\vec a\times\vec b$}; \end{tikzpicture}

当$\vec a//\vec b$时，有$\vec a\times\vec b=0$。

即$\vec a, \vec b$均不为$0$时，仍可以有$\vec a\times\vec b=0$。

问题. 若$\vec a\times\vec c=\vec b\times\vec c$，其中$\vec c\neq 0$，是否一定有$\vec a=\vec b?$

向量积的特性

\[\begin{aligned} \vec a\times\vec b & =-\vec b\times\vec a \\ (\vec a+\vec b)\times\vec c&=\vec a\times\vec c+\vec b\times\vec c \\ (\lambda\vec a)\times\vec b&=\lambda(\vec a\times\vec b) =\vec a\times(\lambda\vec b) \\ \end{aligned} \]

如图，若$|\vec e|=1$，则$\vec a\times \vec e$可以这样来得到：

  1. 先做与$\vec e$垂直的面$S$。
  2. 向量$\vec a$在面$S$上投影为$\vec a_1$。若$\vec a$与$\vec e$的夹角为$\theta$，则$|\vec a_1|=|\vec a|\sin\theta$。
  3. $\vec a_1$绕$\vec e$做顺时针旋转$90^{\circ}$得到的向量为$\vec c$。则
  • $\vec c$与$\vec a_1$的长度一样，
  • $\vec c$与$\vec a_1$, $\vec e$均垂直。而$\vec a$与$\vec a_1$, $\vec e$共面，因而$\vec c$与$\vec a$, $\vec e$垂直。
  • $\vec a$, $\vec e$, $\vec c$满足右手系。

即有$\vec c=\vec a\times\vec e$。
\begin{tikzpicture}[x=1cm, y=1cm, global scale=0.5] \coordinate[label=left:$O$] (o) at (0,0) ; \coordinate[label=right:$a$] (a) at (2.2,1.3) ; \coordinate[label=right:$a_1$] (a1) at (2.2,0) ; \coordinate[label=above:$e$] (e) at (0, 2.5); \coordinate[label=below:$a\times e$] (axe) at (-115:1.9) ; \coordinate (s0) at (-135:3); \coordinate (s1) at ($ (s0)+(60:3.2) $); \coordinate (s2) at ($ (s1)+(0:5) $); \coordinate (s3) at ($ (s0)+(0:5) $); \draw[thick,->] (o) -- (a); \draw[blue,->] (o) -- (a1); \draw[thick,blue,->] (o) -- (axe); \draw[dashed] (a)--(a1); \draw[thick,->] (o) -- (e); \draw (s1)--(s0)-- node[near end, above ]{$S$} (s3)--(s2); \draw[dashed] (s1)--(s2); \draw[red] ($ 0.1*(axe) $)-- ++($ 0.1*(a1) $)--++($ -0.1*(axe) $); \end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture} \coordinate[label=left:$O$] (o) at (0,0) ; \coordinate[label=right:$a$] (a) at (2.2,1.3) ; \coordinate[label=left:$a+b$] (a+b) at (1.2,1.8) ; \coordinate[label=right:$a_1$] (a1) at (2.2,0) ; \coordinate[label=below:$(a+b)_1$] (ab1) at (1.2,-0.60) ; \coordinate[label=above:$e$] (e) at (0, 2.5); \coordinate[label=below:$a\times e$] (axe) at (-115:1.9) ; \coordinate (s0) at (-135:3); \coordinate (s1) at ($ (s0)+(60:3.2) $); \coordinate (s2) at ($ (s1)+(0:5) $); \coordinate (s3) at ($ (s0)+(0:5) $); \draw[thick,red,->] (o) -- (a); \draw[thick,red,->] (o) -- (a+b); \draw[thick,red,->] (a) -- node[above, black]{$b$} (a+b); \draw[blue,->] (o) -- (a1); \draw[blue,->] (o) -- (ab1); \draw[blue,->] (a1) -- node[below, black]{$b_1$} (ab1); \draw[thick,->] (o) -- (axe); \draw[dashed] (a)--(a1); \draw[dashed] (a+b)--(ab1); \draw[thick,->] (o) -- (e); \draw (s1)--(s0)-- node[near end, above ]{$S$} (s3)--(s2); \draw[dashed] (s1)--(s2); \draw[red] ($ 0.1*(axe) $)-- ++($ 0.1*(a1) $)--++($ -0.1*(axe) $); \end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[x=2cm, y=2cm, global scale=0.4] \coordinate[label=below:$O$] (o) at (0,0) ; \coordinate[label=right:$A$] (aa) at (2.5,0) ; \coordinate[label=above right:$B$] (bb) at (40:2.1) ; \coordinate[label=above:$C$] (cc) at (70:1.9) ; \coordinate (a) at (2,0) ; \coordinate (b) at (40:1.8) ; \coordinate[label=left:$C'$] (c) at (70:1.5) ; \coordinate[label=above:$P$] (p) at ($ (a)+(b)+(c) $); \coordinate[label=above:$P'$] (pp) at ($ (b)+(c) $); \draw[->, red] (o) -- node[below]{$\vec e_1$} (aa); \draw[->, red] (o) -- node[above, sloped]{$\vec e_2$} (bb); \draw[->, red] (o) -- node[above, sloped]{$\vec e_3$} (cc); \draw[->] (o) -- (p); \draw[dashed, thin] (c) -- (pp) -- (b); \draw[thin,->] (pp)--(p); \draw[thin,->] (o)--(pp); \end{tikzpicture}

空间向量$\vec e_1$, $\vec e_2$, $\vec e_3$不共面(线性无关)， $\vec a$为任意向量。

  1. 取空间中一点$O$，作$\vec{OA}=\vec e_1$, 作$\vec{OB}=\vec e_2$, 作$\vec{OC}=\vec e_3$, 作$\vec{OP}=\vec a$,
  2. 过$P$作向量$\vec e_1$的平行线，交平面$OAB$为$P'$
  3. 过$P'$作$\vec e_2$的平行线，交$OC$于$C'$

利用向量的加法，可以得到

\[\vec{OP} = \vec{OC'}+\vec{C'P'}+\vec{P'P} \]

也就是，存在数$x_1,x_2,x_3$满足

\[\vec a =x_3 \vec e_3+x_2\vec e_2+x_1 \vec e_1 \]

若

\[\vec a =x_3 \vec e_3+x_2\vec e_2+x_1 \vec e_1 =y_3 \vec e_3+y_2\vec e_2+y_1 \vec e_1 \]

则

\[(x_3-y_3) \vec e_3+(x_2-y_2)\vec e_2+(x_1-y_1) \vec e_1=0 \]

由$\vec e_1$, $\vec e_2$, $\vec e_3$是线性无关的，则有

\[x_3-y_3=0, x_2-y_2=0, x_1-y_1=0 \]

也就是说，向量$\vec a$可以由向量组$\vec e_1$, $\vec e_2$, $\vec e_3$做线性表示，且系数唯一。

坐标系

定理 4.
设$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$为空间中三个不共面的向量，则对任意向量$\vec a$，有唯一的三元有序实数组$(x_1,x_2,x_3)$，满足

\[ \vec a=x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3 \]

定义 6. (基)
空间中任意3个有序的不共面的向量组$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$， 都称为空间的一组基。

定义 7. (坐标（仿射坐标）)
称$(x_1,x_2,x_3)$为向量$\vec a$在基$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$下的坐标, 或者仿射坐标。

定义 8. (坐标系)
原点$O$和一组基$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$合在一起，称为坐标系，记为$[O;\vec e_1,\vec e_2, \vec e_3]$

$O$称为坐标原点，$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$称为坐标向量， 称$\vec e_1$所在的轴为$x$轴， 称$\vec e_2$所在的轴为$y$轴， 称$\vec e_3$所在的轴为$z$轴， 合称为坐标轴；$Oxy$,$Oyz$,$Ozx$称为坐标面

在引入坐标系$[O;\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3]$后， 空间的点$P$，向量$\vec{OP}$，坐标$(x_1,x_2,x_3)$三者之间一一对应起来。

三个向量组成右手系, 还是左手系？

\begin{tikzpicture}[global scale=0.9] \coordinate (o) at (0,0) ; \coordinate[label=below:$a$] (a) at (2,0) ; \coordinate[label=above left:$b$] (b) at (30:1.8) ; \coordinate[label=above left:$c$] (c) at (60:1.6) ; \coordinate (axb) at (0, 2.0); \coordinate (d) at ($ (a)+(b) $); \coordinate (e) at ($ (a)+(b)+(c) $); \coordinate (f) at ($ (b)+(c) $); \coordinate (g) at ($ (a)+(c) $); \coordinate (h) at ($ (c|-o)+(0,0.2) $); \draw[->] (o) -- (a); \draw[->] (o) -- (b); \draw[->] (o) -- (c); \draw[->, dashed] (o) -- (axb) node[above] {$a\times b$}; \draw (90:0.5) node[above right, blue]{$\phi$} to[out=0, in=150] (60:0.5); \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[global scale=0.9] \coordinate (o) at (0,0) ; \coordinate[label=below:$a$] (a) at (2,0) ; \coordinate[label=above left:$b$] (b) at (30:1.8) ; \coordinate[label=above left:$c$] (c) at (240:1.6) ; \coordinate (axb) at (0, 2.0); \draw[->] (o) -- (a); \draw[->] (o) -- (b); \draw[->] (o) -- (c); \draw[->, dashed] (o) -- node[auto] {$a\times b$} (axb); \draw (90:0.5) to[out=180, in=150] node[above, blue]{$\phi$} (240:0.5); \end{tikzpicture}

当向量$\vec c$与向量$\vec a\times \vec b$的夹角为锐角时，$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$为右手系(左边)

当向量$\vec c$与向量$\vec a\times \vec b$的夹角为钝角时，$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$为左手系(右边)

向量的运算

在坐标系$[O; \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3]$下，有向量$\vec a=(x_1,x_2,x_3)$，$\vec b=(y_1,y_2,y_3)$

加法：

\[\begin{aligned} \vec a+\vec b&= x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3 +y_1\vec e_1+y_2\vec e_2+y_3\vec e_3 \\ &=(x_1+y_1)\vec e_1+(x_2+y_2)\vec e_2+(x_3+y_3)\vec e_3 \\ &=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3) \end{aligned} \]

数乘：

\[\begin{aligned} \lambda \vec a&=\lambda(x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3) \\ &=\lambda x_1\vec e_1+\lambda x_2\vec e_2+\lambda x_3\vec e_3) \\ &=(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3) \end{aligned} \]

例 6. $A(x_1, x_2, x_3)$， $B(y_1, y_2, y_3)$为空间2点，若$P$在$AB$上，且

\[\vec{AP}=\lambda \vec{PB} \]

求$P$坐标

解. 设$P(z_1,z_2,z_3)$，则

\[\vec{AP}=\vec{OP}-\vec{OA}=(z_1-x_1, z_2-x_2, z_3-x_3) \]

因此，

\[(z_1-x_1,z_2-x_2,z_3-x_3) =\lambda(y_1-z_1,y_2-z_2,y_3-z_2) \]

即有

\[\begin{cases} z_1-x_1 = \lambda(y_1-z_1), \\ z_2-x_2 = \lambda(y_2-z_2), \\ z_3-x_3 = \lambda(y_3-z_3), \\ \end{cases} \]

得到

\[\begin{cases} z_1 = \frac{x_1 + \lambda y_1}{1+\lambda}, \\ z_2 = \frac{x_2 + \lambda y_2}{1+\lambda}, \\ z_3 = \frac{x_3 + \lambda y_3}{1+\lambda}, \\ \end{cases} \]

点乘(数量积)：

\[\begin{aligned} \vec a\cdot\vec b =&(x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3)\cdot (y_1\vec e_1+y_2\vec e_2+y_3\vec e_3) \\ =&x_1y_1(\vec e_1\cdot\vec e_1) +x_1y_2(\vec e_1\cdot\vec e_2) +x_1y_3(\vec e_1\cdot\vec e_3) \\ +&x_2y_1(\vec e_2\cdot\vec e_1) +x_2y_2(\vec e_2\cdot\vec e_2) +x_2y_3(\vec e_2\cdot\vec e_3) \\ +&x_3y_1(\vec e_3\cdot\vec e_1) +x_3y_2(\vec e_3\cdot\vec e_2) +x_3y_3(\vec e_3\cdot\vec e_3) \\ \end{aligned} \]

若有$\vec e_1\cdot\vec e_2=\vec e_1\cdot\vec e_3=\vec e_2\cdot\vec e_3=0$, 且$|\vec e_1|=|\vec e_2|=|\vec e_3|=1$，则

\[\begin{aligned} \vec a\cdot\vec b =&x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 \end{aligned} \]

直角坐标系

定义 9. (直角坐标系)
坐标系中的三个向量均为单位向量，且两两垂直。 一般用$\vec i, \vec j ,\vec k$表示这三个坐标向量， 相应的坐标轴为$x$轴，$y$轴，$z$轴。

若$\vec a=a_1\vec i+a_2\vec j+a_3\vec k$，则

\[|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \]

直角坐标系下的向量$\vec a=(a_1,a_2,a_3)$, $\vec b=(b_1,b_2,b_3)$，它们的夹角为$\theta$，则夹角余弦

\[\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} =\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}} \]

由$\cos^2\theta\leq 1$，易得Cauchy不等式

\[(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2\leq(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2) \]

定义 10. (方向余弦)
设向量$\vec a$与$\vec i ,\vec j, \vec k$夹角为$\alpha, \beta, \gamma$，则 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$称为方向余弦

对向量$\vec a=(a_1, a_2, a_3)$，有相应的方向余弦

\[\begin{aligned} &(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)= \\ &\left(\frac{a_1}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}, \frac{a_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}} \right) \end{aligned} \]

且$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$

例 7. (例1.2.4) $P(1,2,3)$，$Q(2,4,-1)$求$\vec{PQ}$的方向余弦

7. $\vec{PQ}=(1,2,-4)$, $|\vec{PQ}|=\sqrt{1^2+2^2+4^2}=\sqrt{21}$

方向余弦

\[(\dfrac1{\sqrt{21}},\dfrac2{\sqrt{21}},\dfrac{-4}{\sqrt{21}},) \]

若$\vec a=a_1\vec i+a_2\vec j+a_3\vec k$，$\vec b=b_1\vec i+b_2\vec j+b_3\vec k$，则它们的向量积为

\[\begin{aligned} \vec a\times\vec b =&(a_1\vec i+a_2\vec j+a_3\vec k)\times(b_1\vec i+b_2\vec j+b_3\vec k) \\ =&a_1b_1\vec i\times\vec i+a_1b_2\vec i\times\vec j+a_1b_3\vec i\times\vec k \\ &+a_2b_1\vec j\times\vec i+a_2b_2\vec j\times\vec j+a_2b_3\vec j\times\vec k \\ &+a_3b_1\vec k\times\vec i+a_3b_2\vec k\times\vec j+a_3b_3\vec k\times\vec k \\ \end{aligned} \]

注意到直角坐标系下，$\vec i,\vec j,\vec k$为两两垂直的单位向量，

若$\vec i$, $\vec j$, $\vec k$组成右手系，则有

\[\begin{aligned} &\vec i\times\vec i=\vec 0, &&\vec j\times\vec j=\vec 0, &&\vec k\times\vec k=\vec 0 \\ &\vec i\times\vec j=\vec k, &&\vec j\times\vec k=\vec i, &&\vec k\times\vec i=\vec j \\ &\vec j\times\vec i=-\vec k, &&\vec k\times\vec j=-\vec i, &&\vec i\times\vec k=-\vec j \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} &\vec a\times\vec b \\ =&(a_1b_2-a_2b_1)\vec i\times\vec j+(a_1b_3-a_3b_1)\vec i\times\vec k \\ &+(a_2b_3-a_3b_2)\vec j\times\vec k \\ =&(a_1b_2-a_2b_1)\vec k+(a_3b_1-a_1b_3)\vec j+(a_2b_3-a_3b_2)\vec i \end{aligned} \]

记为

\[\vec a\times\vec b =\left|\begin{matrix} \vec i && \vec j &&\vec k\\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \end{matrix}\right| \]

引入2阶和3阶行列式的概念。

2阶行列式为

\[\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} =a_1b_2-a_2b_1 \]

3阶行列式为

\[\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} =a_1\begin{vmatrix} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{vmatrix} -a_2\begin{vmatrix} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end{vmatrix} +a_3\begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{vmatrix} \]

可以得到，在右手系直角坐标系下，向量的向量积可以表示为

\[\begin{aligned} \vec a\times\vec b =&\left|\begin{matrix} \vec i && \vec j &&\vec k\\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \end{matrix}\right| \\ =&\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}\vec i -\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix}\vec j +\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}\vec k \end{aligned} \]

不做特别说明的话，向量的坐标系为直角坐标系，且$\vec i$, $\vec j$, $\vec k$满足右手系。

例 8. 求垂直于向量$\vec a=(-1,2,1)$和$\vec b=(1,0,3)$的单位向量

解. $\vec a\times \vec b$垂直于两个向量

例 9. 三角形$ABC$的3个顶点分别为$A(1,1,2), B(-2,0,3), C(2,4,5)$，求$S_{\bigtriangleup ABC}$和$BC$边上的高

解. 向量$\vec{AB}\times\vec{AC}$的模是三角形面积的2倍。

8

自己看着办

混合积

定义 11.
三个向量$\vec a, \vec b, \vec c$的混合积定义为$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$。这是一个数

\begin{tikzpicture}[global scale=0.9] \coordinate (o) at (0,0) ; \coordinate[label=below:$a$] (a) at (2,0) ; \coordinate[label=above left:$b$] (b) at (30:1.8) ; \coordinate[label=above left:$c$] (c) at (60:1.6) ; \coordinate (axb) at (0, 2.0); \coordinate (d) at ($ (a)+(b) $); \coordinate (e) at ($ (a)+(b)+(c) $); \coordinate (f) at ($ (b)+(c) $); \coordinate (g) at ($ (a)+(c) $); \coordinate (h) at ($ (c|-o)+(0,0.2) $); \draw[->] (o) -- (a); \draw[->, dashed] (o) -- (b); \draw[->] (o) -- (c); \draw[->] (o) -- node[auto] {$a\times b$} (axb); \draw[dashed] (d) -- (b) -- (f); \draw[thin] (c) -- (g) -- (a) (c) -- (f) -- (e) -- (d) -- (a) (g) -- (e); \draw (90:0.5) node[above right, blue]{$\phi$} to[out=0, in=150] (60:0.5); \draw[dashed, red] (c)-- node[right] {$h$} (h); \draw[dashed] (o)-- (h); \end{tikzpicture}

由$\vec a, \vec b, \vec c$组成的平行六面体的体积为

\[V=S\times h , S=|\vec a\times \vec b|, h=|c||\cos\phi| \]

其中$\phi$是向量$\vec a\times\vec b$与$\vec c$的夹角。所以有

\[V=|\vec a\times\vec b||c||\cos\phi|=|(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c| \]

混合积$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$表示的是向量$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$组成的平行六面体的代数体积。

  • 若夹角$\phi$为锐角，此时$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$组成右手系， $V=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$
  • 若夹角$\phi$为钝角，此时$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$组成左手系， $-V=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$

交换$\vec a,\vec b,\vec c$的顺序，若它们满足同一个手系法则，则相等， 即(与坐标系无关)

\[(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c= (\vec b\times\vec c)\cdot\vec a= (\vec c\times\vec a)\cdot\vec b \]
\[(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c= -(\vec b\times\vec a)\cdot\vec c \]

在(标准)直角坐标系下，

\[\vec a=(a_1,a_2,a_3), \vec b=(b_1,b_2,b_3), \vec c=(c_1,c_2,c_3) \]

则

\[\vec a\times\vec b=\left|\begin{aligned} \vec i && \vec j &&\vec k\\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \end{aligned}\right| \\ =\left|\begin{aligned} a_2 && a_3 \\ b_2 && b_3 \end{aligned}\right|\vec i -\left|\begin{aligned} a_1 && a_3 \\ b_1 && b_3 \end{aligned}\right|\vec j +\left|\begin{aligned} a_1 && a_2 \\ b_1 && b_2 \end{aligned}\right|\vec k \]

所以

\[(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c =\left|\begin{aligned} a_2 && a_3 \\ b_2 && b_3 \end{aligned}\right|c_1 -\left|\begin{aligned} a_1 && a_3 \\ b_1 && b_3 \end{aligned}\right|c_2 +\left|\begin{aligned} a_1 && a_2 \\ b_1 && b_2 \end{aligned}\right|c_3 \\ =\left|\begin{aligned} c_1 && c_2 && c_3 \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \end{aligned}\right| \]

类似

\[(\vec b\times\vec c)\cdot\vec a =\left|\begin{matrix} a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \\ c_1 && c_2 && c_3 \\ \end{matrix}\right| \]
\[(\vec c\times\vec a)\cdot\vec b =\left|\begin{matrix} b_1 && b_2 && b_3 \\ c_1 && c_2 && c_3 \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ \end{matrix}\right| \]
\[(\vec c\times\vec b)\cdot\vec a =\left|\begin{matrix} a_1 && a_2 && a_3 \\ c_1 && c_2 && c_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \\ \end{matrix}\right| =-(\vec b\times\vec c)\cdot\vec a \]

总结，在右手系的直角坐标系下

\[\begin{aligned} \vec a\cdot(\vec b\times\vec c) =&(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c =\left|\begin{matrix} a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \\ c_1 && c_2 && c_3 \\ \end{matrix}\right| \\ =&(\vec b\times\vec c)\cdot\vec a =\left|\begin{matrix} b_1 && b_2 && b_3 \\ c_1 && c_2 && c_3 \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ \end{matrix}\right| \\ =&(\vec c\times\vec a)\cdot\vec b =\left|\begin{matrix} c_1 && c_2 && c_3 \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \\ \end{matrix}\right| \\ \end{aligned} \]

定理 5.
向量 $\vec a=(a_1, a_2, a_3),\vec b=(b_1, b_2, b_3),\vec c=(c_1, c_2, c_3)$ 共面，当且仅当，

\[\left|\begin{matrix} a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \\ c_1 && c_2 && c_3 \\ \end{matrix}\right|=0 \]

解. 利用混合积的几何意义易得

例 10. (例1.5.1)求$A(1,2,3)$，$B(2,1,4)$，$C(1,3,5)$，$D(3,2,1)$组成的四面体的体积

解. 四面体的体积是平行六面体的体积的六分之一。

二重向量积

定义 12.
三个向量$\vec a,\vec b,\vec c$的二重向量积为$(\vec a\times\vec b)\times\vec c$。这是个向量

定理 6.
对任意向量$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$，有

\[(\vec a\times\vec b)\times\vec c =(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec b\cdot\vec c)\vec a \]
\[\vec a\times\vec b=\left|\begin{aligned} \vec i && \vec j && \vec k \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \end{aligned}\right| =\left(\begin{aligned} a_2b_3-a_3b_2 \\ -a_1b_3+a_3b_1 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{aligned}\right) \]
\[(\vec a\times\vec b)\times\vec c =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_2b_3-a_3b_2 & -a_1b_3+a_3b_1 & a_1b_2-a_2b_1 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \]

与向量$(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec b\cdot\vec c)\vec a$做比较即可。

\[\begin{aligned} \vec a\times(\vec b\times\vec c) &=-(\vec b\times\vec c)\times\vec a \\ &=-((\vec b\cdot\vec a)\vec c-(\vec c\cdot\vec a)\vec b) \\ &=(\vec c\cdot\vec a)\vec b-(\vec b\cdot\vec a)\vec c \end{aligned} \]

一般情况下，二重向量积不满足结合律

\[(\vec a\times\vec b)\times\vec c \neq \vec a\times(\vec b\times\vec c) \]

例 11. 证明

\[(\vec a\times\vec b)\cdot(\vec c\times\vec d) =(\vec a\cdot\vec c)(\vec b\cdot\vec d) -(\vec a\cdot\vec d)(\vec b\cdot\vec c) \]

这样，$\vec a$, $\vec b$张成的平行四边形的面积可以表示为

\[\begin{aligned} (\vec a\times\vec b)\cdot(\vec a\times\vec b) =&(\vec a\cdot\vec a)(\vec b\cdot\vec b) -(\vec b\cdot\vec a)(\vec a\cdot\vec b) \\ =&{\vec a}^2{\vec b}^2-(\vec a\cdot\vec b)^2 \\ =&{|\vec a|}^2{|\vec b|}^2-(\vec a\cdot\vec b)^2 \\ \end{aligned} \]

解. 记$\vec e=\vec a\times\vec b$，则

\[\begin{aligned} \vec e\cdot(\vec c\times\vec d) =&(\vec c\times\vec d)\cdot\vec e =(\vec e\times\vec c)\cdot\vec d \\ =&((\vec a\times\vec b)\times\vec c)\cdot\vec d \\ =&((\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec b\cdot\vec c)\vec a)\cdot\vec d\\ \end{aligned} \]

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