平面与直线

空间解析几何

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

平面与直线

平面方程

过定点$M_0(x_0, y_0, z_0)$并与非零向量$\vec n$垂直的平面是唯一确定的，

\begin{tikzpicture}[x=2cm, y=2cm, global scale=0.6] \coordinate (o) at (0,0) ; \coordinate (m0) at (55:1.1); \coordinate (m) at ($ (m0)+(-10:1) $); \path[name path=b1] (75:0.7) -- ++(-10:1.5); \fill[blue!50!white,opacity=0.60] (75:0.7) -- ++(-10:1.5) -- ++(65:0.8) -- ++(170:1.5) -- cycle; \draw[red, -latex] (45:1.5) -- +(80:0.6) node [above] {$\vec n$}; \draw[-latex] (m0) node[above] {$M_0$} -- (m) node[above] {$M$}; \path[name path=om0] (o) -- (m0); \path[name path=om1] (o) -- (m); \path[name intersections={of=b1 and om0}] (intersection-1) coordinate (ia); \draw[->, dashed] (ia) -- (m0); \draw (o) -- node[above]{$\vec r_0$} (ia); \path[name intersections={of=b1 and om1}] (intersection-1) coordinate (ia); \draw[->, dashed] (ia) -- (m); \draw (o) -- node[below]{$\vec r$} (ia); \draw[->] (0,0,0)--(2,0,0) node[below] {$y$}; \draw[->] (0,0,0)--(0,1.5,0) node[above] {$z$}; \draw[->] (0,0,0)--(0,0,1) node[below right] {$x$}; \end{tikzpicture}
  • 对平面上任意点$M(x,y,z)$, 有$\overrightarrow{MM_0}\perp\vec n$, 或$\overrightarrow{MM_0}\cdot\vec n=0$. 记$\vec r=\overrightarrow{OM}$， $\vec r_0=\overrightarrow{OM_0}$，则有
    \[(\vec r-\vec r_0)\cdot\vec n=0 \]
  • 若有点$\vec r$满足如上方程，则它一定在这个平面上。

称这个方程为平面的点法式方程，$\vec n$称为平面的法向量。

若$\vec n=(A,B,C)$，则点法式方程

\[(\vec r-\vec r_0)\cdot\vec n=0 \]

可以写成坐标形式

\[A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \]

 

记$D=-(A x_0+B y_0+C z_0)$，则平面方程可以写成

\[A x + B y +C z +D =0 \]

称上述方程为平面的一般方程。

例 1. 方程

\[6x-4y+3z-14=0 \]

表示了一个平面，则平面的法向量

\[\vec n=(6,-4,3) \]

平面上的任意一个点， 如

\[\begin{aligned} x_0=4,y_0=6, \Rightarrow z_0=\frac{14}3 \\ z_0=0,y_0=1, \Rightarrow x_0=3 \\ \end{aligned} \]

得到点法式方程

\[6(x-4)-4(y-6)+3(z-\frac{14}3)=0 \]

平面方程的一些特殊情形：

  1. $D=0$时， 方程退化为$Ax+By+Cz=0$。可以看到，平面过原点。
  2. $C=0$时， 方程为$Ax+By+D=0$，法向量$(A,B,0)$垂直于z轴，则平面平行于z轴。 同样，平面$Ax+Cz+D=0$平行于y轴，平面$By+Cz+D=0$平行于x轴。
  3. $A=B=0$时，方程为$Cz+D=0$，法向量$(0,0,C)$平行于z轴，此时平面平行于Oxy平面。 同理，平面$Ax+D=0$平行于Oyz平面，平面$By+D=0$平行于Ozx平面。

Geogebra演示

三点决定的平面

设平面过给定的三个点$P_1(x_1,y_1,z_1)$, $P_2(x_2, y_2,z_2)$, $P_3(x_3, y_3, z_3)$。

  • 因为$\overrightarrow{P_1P_2}$与$\overrightarrow{P_1P_3}$在平面上， 因此，$\overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3}$为法向量。
  • 则对平面上任意一点$P(x,y,z)$，有
    \[\overrightarrow{P_1P}\cdot(\overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3})=0 \]
    即有
    \[\left|\begin{matrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_3-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \\ \end{matrix}\right| =0 \]

若三个点在三个坐标轴上$(\alpha,0,0)$, $(0,\beta,0)$, $(0,0,\gamma)$，则有

\[\left|\begin{matrix} x-\alpha & y & z \\ -\alpha & \beta & 0 \\ -\alpha & 0 & \gamma \\ \end{matrix}\right| =0 \]

即

\[(x-\alpha)\beta\gamma+y\alpha\gamma+z\beta\alpha=0 \]

整理后，有

\[\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}=1 \]

称为平面的截距式方程。$\alpha$, $\beta$, $\gamma$是平面在$x$轴, $y$轴, $z$轴的截距。 Geogebra演示

例 2. 求过点$P_0(3,2,1)$及$x$轴的平面

解. 平面的法向量$\vec n$与$\overrightarrow{OP_0}$及$(1,0,0)$垂直，因此

\[\vec n=(3,2,1)\times(1,0,0)=(0,1,-2) \]

方程（任取$x$轴的点，或$P_0$）

\[(x-x_0)\times0+(y-0)\times1+(z-0)\times(-2)=0 \]

解. 平面过$x$轴，因此方程可以写为

\[by+cz=0 \]

又点$P_0$在平面上，因此

\[2b+c=0 \]

取$b=1$，得到$c=-2$。因此，平面方程是

\[y-2z=0 \]

两平面的关系

设有两个平面

\[\begin{aligned} \pi_1: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ \pi_2: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \\ \end{aligned} \]

它们的法向量分别是$\vec n_1=(a_1, b_1, c_1)$和 $\vec n_2=(a_2, b_2, c_2)$。

两平面的关系? Geogebra演示

两平面的关系有如下情形：

  1. 两平面平行： 有$\vec n_1 // \vec n_2$。若同时有$\vec n_1=\lambda \vec n_2, d_1=\lambda d_2$，则两平面重合。
  2. 两平面相交： 两向量$\vec n_1$, $\vec n_2$的夹角$\theta$为两平面相交的二面角。 则有
    \[\cos\theta=\frac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|} \]
    特别，当$\vec n_1\perp\vec n_2$时，两平面也垂直。

例 3. 过$z$轴且与平面$x-2y+5=0$垂直的平面

解. 所求平面的法向$\vec n$如何求？

  1. $\vec n$与给定平面的法向量是垂直的。
  2. $\vec n$与$z$轴单位向量$(0,0,1)$是垂直的。

例 4. 与平面$3x+5y-7z+21=0$垂直,过点$P_1(8,-3,1)$ 和 $P_2 (4, 7, 2)$的平面

解. 所求平面的法向$\vec n$如何求？

  1. $\vec n$与给定平面的法向量是垂直的。
  2. $\vec n$与向量$\overrightarrow{P_1P_2}$是垂直的。

例 5. 求两平面$x-y+z=0$和 $x+y-z=0$的夹角

点到平面的距离

\begin{tikzpicture}[global scale=0.6] \coordinate[label=below:$P_1$] (p1) at (15:3.5); \coordinate[label=right:$P_0$] (p0) at ($ (p1)+(90:1) $); \coordinate[label=above:$\vec n$] (n) at ($ (p1)+(90:1.5) $); \coordinate[label=below:$P$] (p) at ($ (p1)-(10:2) $); \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at ($ (A)+(0:4) $); \coordinate (C) at ($ (B)+(45:2) $); \coordinate (D) at ($ (C)-(0:4) $); \draw (A)--(B)-- node[above left, near end]{$\pi$} (C) -- (D)--cycle; \draw[thick, -latex] (p1) -- (p0); \draw[->, blue] (p1) -- (n); \draw[thick, dotted] (p1)--(p); \draw[thick, -latex] (p) -- (p0); \end{tikzpicture}

给定平面

\[\pi: ax+by+cz+d=0 \]

以及平面外一点$P_0(x_0, y_0, z_0)$。 过$P_0$做平面$\pi$的垂线，垂足为$P_1$，则$|P_0P_1|$即为点$P_0$到平面$\pi$的距离。

在平面上任取点$P(x,y,z)$，则$|P_0P_1|$就是$\overrightarrow{PP_0}$到法向量$\vec n$ 上的投影。

\[|P_0P_1|=\left|\frac{\vec n}{|\vec n|}\cdot\overrightarrow{PP_0}\right| \]

因此

\[\begin{aligned} |P_0P_1|=&\left|\frac{\vec n}{|\vec n|}\cdot\overrightarrow{PP_0}\right| \\ =&\frac{|a(x_0-x)+b(y_0-y)+c(z_0-z)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{aligned} \]

因为$P(x,y,z)$在平面上，因此有

\[ax+by+cz=-d \]

最终，点$P_0$到平面$\pi$的距离为

\[|P_0P_1|=\frac{|a x_0+b y_0+c z_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \]

点$P_0(x_0, y_0, z_0)$与平面$\pi: ax+by+cz+d=0$的关系：

  1. $P_0$在$\pi$的上半部分： $ax_0+by_0+cz_0+d>0$
  2. $P_0$在$\pi$的下半部分： $ax_0+by_0+cz_0+d<0$
  3. $P_0$在$\pi$上： $ax_0+by_0+cz_0+d=0$

直线方程

直线有两种定义方式：

  1. 过定点，并且沿给定的方向

    \begin{tikzpicture}[x=2cm, y=2cm, global scale=0.6] \coordinate[label=below:$O$] (o) at (0,0); \coordinate (v) at (20:1); \coordinate[label=left:$L$] (l) at (130:1); \coordinate (le) at ($ (l) + 3*(v) $); \coordinate[label=above:$P_0$] (m0) at ($ (l)+(v) $); \coordinate[label=above:$P$] (m) at ($ (m0)+1.5*(v) $); \coordinate (v0) at ($ (m0)+(105:0.5) $); \coordinate (v1) at ($ (v0)+(v) $); \draw[-latex, thick] (o) -- node[left]{$\vec r_0$} (m0); \draw[-latex, thick] (o) -- node[right]{$\vec r$} (m); \draw (l) -- (le); \draw[-latex] (v0) -- node[above] {$\vec v$} (v1); \end{tikzpicture}

  2. 两个不平行平面的交线。

点向式方程

直线$L$过已知点$P_0(x_0, y_0, z_0)$，且与非零向量（称为直线的方向向量） $\vec v=(l,m,n)$平行。

\begin{tikzpicture}[x=2cm, y=2cm, global scale=0.6] \coordinate[label=below:$O$] (o) at (0,0); \coordinate (v) at (20:1); \coordinate[label=left:$L$] (l) at (130:1); \coordinate (le) at ($ (l) + 3*(v) $); \coordinate[label=above:$P_0$] (m0) at ($ (l)+(v) $); \coordinate[label=above:$P$] (m) at ($ (m0)+1.5*(v) $); \coordinate (v0) at ($ (m0)+(105:0.5) $); \coordinate (v1) at ($ (v0)+(v) $); \draw[-latex, thick] (o) -- node[left]{$\vec r_0$} (m0); \draw[-latex, thick] (o) -- node[right]{$\vec r$} (m); \draw (l) -- (le); \draw[-latex] (v0) -- node[above] {$\vec v$} (v1); \end{tikzpicture}

则直线上任意一点$P(x,y,z)$， 有$\overrightarrow{PP_0}$与$\vec v$平行，即存在实数$t$满足

\[(x-x_0, y-y_0, z-z_0)=t(l,m,n) \]

或

\[\vec r-\vec r_0=l\vec v \]

其中$\vec r$表示向量$\overrightarrow{OP}$， $\vec r_0$表示向量$\overrightarrow{OP_0}$。

写成分量的形式，就是

\[\begin{cases} x=x_0+t l, \\ y=y_0+t m, \\ z=z_0+t n, \\ \end{cases} \quad t\in\mathbb{R} \]

称为直线$L$的参数方程。

消去参数$t$后，得到

\[\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n \]

称为直线$L$的点向式方程。

它可以看成是两个平面的交线。

\[\begin{aligned} \pi_1: \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}m \\ \pi_2: \frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n \\ \end{aligned} \]

其中$\pi_1$平行于$z$轴，$\pi_2$平行于$x$轴。

  • 如果方向向量有一个分量为$0$，如$l=0$，则直线方程应该理解为
    \[x-x_0=0, \frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n \]
  • 如果$l=0$, $m=0$，则方程为
    \[x-x_0=0, y-y_0=0 \]
    表示与$z$轴平行的直线
  • 若直线过两个定点$P_1(x_1, y_1, z_1)$, $P_2(x_2, y_2, z_2)$， 则方向向量为$\vec v=\overrightarrow{P_1P_2}$，因此方程为
    \[\vec r=\vec r_1+t(\vec r_2-\vec r_1) \]
    其中$\vec r$表示向量$\overrightarrow{OP}$， $\vec r_1$表示向量$\overrightarrow{OP_1}$， $\vec r_2$表示向量$\overrightarrow{OP_2}$。 或
    \[\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} \]

两平面交线

任意两个不平行的平面，交线$L$上的点同时满足两个方程，

\[\begin{cases} a_1 x+ b_1 y + c_1 z+ d_1=0 \\ a_2 x+ b_2 y + c_2 z+ d_2=0 \\ \end{cases} \]

这个方程称为直线的一般方程。

它的方向向量与两个平面的法向量都垂直，即

\[\vec v=\vec n_1\times\vec n_2=(a_1, b_1, c_1)\times(a_2, b_2, c_2) \]

再解出直线上的任意一个点$P_0$，就可以得到点向式的方程。

例 6. 将直线方程 $\begin{cases}2x-3y+z-5=0 \\ 3x+y-2z-2=0\end{cases}$ 化为点向式方程

解. 两个平面方程的法向量为

\[\vec n_1 = (2,-3, 1), \vec n_2=(3,1,-2) \]

因此，直线的方向向量为

\[\vec v=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} \]

取直线上任意一个点, 如令$z=0$，有

\[\begin{cases} 2x-3y-5=0 \\ 3x+y-2=0 \end{cases} \]

两直线的位置关系

给定两条直线

\[\begin{aligned} L_1: \vec r=\vec r_1+t \vec v_1, r_1=(x_1, y_1, z_1), \vec v_1=(l_1, m_1, n_1) \\ L_2: \vec r=\vec r_2+t \vec v_2, r_2=(x_2, y_2, z_2), \vec v_2=(l_2, m_2, n_2) \\ \end{aligned} \]

它们的位置关系可分为“共面”和“异面”。

\begin{tikzpicture} [global scale=0.7] \coordinate[label=left:$l_2$] (l2) at (0,0); \coordinate (v2) at (10:1.8); \coordinate (d) at ($ (l2)+(v2) $); \coordinate[label=above:$M_2(\vec r_2)$] (r2) at ($ (l2)+2*(v2) $); \coordinate[label=above:$\vec v_2$] (v22) at ($ (l2)+3*(v2) $); \coordinate[label=left:$l_1$] (l1) at (1,-1); \coordinate (v1) at (-35:1.3); \coordinate (b) at ($ (l1)+(v1) $); \coordinate[label=below left:$M_1(\vec r_1)$] (r1) at ($ (l1)+2*(v1) $); \coordinate[label=right:$\vec v_1$] (v11) at ($ (l1)+3*(v1) $); \coordinate (l21) at ($ (b)-(v2) $); \coordinate (r21) at ($ (b)+(v2) $); \coordinate (v21) at ($ (b)+2*(v2) $); \draw[thick] (l2)--(d)--(r2); \draw[thick, ->] (r2)--(v22); \draw[thick] (l1)--(b)--(r1); \draw[thick, ->] (r1)--(v11); \draw[red] (d)--(b); \draw[thick] (r1)--(r2); \draw[dashed] (l21)--(b)--(v21); \draw[dashed] (r1)--(r21)--(r2); \end{tikzpicture}
  • 直线$L_1$, $L_2$共面，等价于向量$\vec v_1$, $\vec v_2$, $\vec r_1-\vec r_2$共面。 即有$(r_1-r_2)\cdot\vec v_1\times \vec v_2=0$，
    \[\left|\begin{matrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \\ \end{matrix}\right| =0 \]
  • 同理，异面的充要条件是
    \[\left|\begin{matrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \\ \end{matrix}\right| \neq 0 \]

例 7. 求一直线过点$(1,1,1)$，且与两直线相交。

\[L_1: \frac{x}{1}=\frac{y}2=\frac{z}3, \quad L_2: \frac{x-1}2=\frac{y+2}1=\frac{z-3}4 \]

解. 设所求直线$L$的方程为$\vec v=(l,m,n)$.

由$L$与$L_1$共面,有

\[\begin{vmatrix} 1-0 & 1-0 & 1-0 \\ 1 & 2 & 3 \\ l & m & n \end{vmatrix} =0 \]

由$L$与$L_2$共面，有

\[\begin{vmatrix} 1-1 & 1+2 & 1-3 \\ 2 & 1 & 4 \\ l & m & n \end{vmatrix} =0 \]

直线$L_1$与$L_2$的两个方向向量$\vec v_1$与$\vec v_2$所夹的锐角或直角$\theta$(，就是两直线的夹角，

\[\cos\theta=\frac{\vec v_1\cdot\vec v_2}{|\vec v_1|\cdot|\vec v_2|} \]
  • 当$\cos\theta=\pm1$时，$\vec v_1//\vec v_2$。可得，两直线平行的充要条件是
    \[\vec v_1//\vec v_2, \quad \frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2} \]
  • 当$\cos\theta=0$时，$\vec v_1\perp \vec v_2$。可得，两直线垂直的充要条件是
    \[\vec v_1\cdot\vec v_2=0, \quad l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0 \]

点到直线的距离

直线$L: \vec r= \vec r_0+t\vec v$和直线外一点$P_1(x_1, y_1, z_1)$，如何求点到直线的距离？

\begin{tikzpicture} [global scale=0.7] \coordinate[label=left:$L$] (l2) at (0,0); \coordinate (v2) at (10:1.8); \coordinate[label=above:$D$] (d) at ($ (l2)+(v2) $); \coordinate[label=above:$P_0$] (p0) at ($ (l2)+2*(v2) $); \coordinate[label=above:$\vec v$] (v22) at ($ (l2)+2.5*(v2) $); \coordinate (l1) at (1,-1); \coordinate (v1) at (-35:1.3); \coordinate[label=below:$P_1$] (p1) at ($ (l1)+(v1) $); \draw[thick] (l2)--(d)--(p0); \draw[thick, ->] (p0)--(v22); \draw[red] (d)-- node[left] {$d$} (p1); \draw[-latex] (p0)--(p1); \end{tikzpicture}

在$L$上任取一点$P_0(x_0, y_0, z_0)$，向量$\overrightarrow{P_0P_1}$与$\vec v$的夹角为$\theta$，则点到线的距离$d$为

\[d=|\overrightarrow{P_0P_1}|\sin(\theta) =\frac{|\vec v\times\overrightarrow{P_0P_1}|}{|v|} \]

异面直线间的距离

\begin{tikzpicture} [global scale=0.7] \coordinate[label=left:$l_2$] (l2) at (0,0); \coordinate (v2) at (10:1.8); \coordinate[label=above:$D$] (d) at ($ (l2)+(v2) $); \coordinate[label=above:$P_2$] (r2) at ($ (l2)+2*(v2) $); \coordinate[label=above:$\vec v_2$] (v22) at ($ (l2)+3*(v2) $); \coordinate[label=left:$l_1$] (l1) at (1,-1); \coordinate (v1) at (-35:1.3); \coordinate[label=below:$B$] (b) at ($ (l1)+(v1) $); \coordinate[label=below:$P_1$] (r1) at ($ (l1)+2*(v1) $); \coordinate[label=right:$\vec v_1$] (v11) at ($ (l1)+3*(v1) $); \coordinate (l21) at ($ (b)-(v2) $); \coordinate[label=above right:$P'_2$] (r21) at ($ (b)+(v2) $); \coordinate (v21) at ($ (b)+2*(v2) $); \draw[thick] (l2)--(d)--(r2); \draw[thick, ->] (r2)--(v22); \draw[thick] (l1)--(b)--(r1); \draw[thick, ->] (r1)--(v11); \draw[thick, red, dashed] (d)--(b); \draw[thick, blue] (r1)--(r2); \draw[dashed] (l21)--(b)--(v21); \draw[dashed] (r1)--(r21)--(r2); \end{tikzpicture}

当$l_1$, $l_2$异面时， $BD\perp l_2$, $BD\perp l_1$，称$BD$为公垂线，称$|BD|$为$l_1, l_2$的距离。

  • 在$L_1$, $L_2$上任取两点$P_1$, $P_2$
  • 可以看到，$|BD|$就是向量$\overrightarrow{P_1P_2}$在$\overrightarrow{BD}$方向上的投影的长度。

因此，有

\[|\overrightarrow{BD}| =\frac{|\vec v_1\times\vec v_2\cdot\overrightarrow{P_1P_2}|}{|\vec v_1\times\vec v_2|} \]

直线与平面的位置关系

给定直线和平面

\[\begin{aligned} L:&\ \vec r=\vec r_0+t\vec v, \quad \vec v=(l,m,n) \\ \pi:&\ (\vec r-\vec r_1)\cdot\vec n=0,\quad \vec n=(A,B,C) \end{aligned} \]

直线与平面的夹角定义为直线与它在平面上的投影线所形成的锐角。

\begin{tikzpicture}[global scale=0.7] \coordinate (A) at (195:3.0); \coordinate (B) at ($ (A)+(0:4) $); \coordinate (C) at ($ (B)+(45:2) $); \coordinate (D) at ($ (C)-(0:4) $); \coordinate (o) at (0,0); \coordinate[label=above:$\vec n$] (n) at ($ (o)+(90:1.5) $); \coordinate (v) at (30:1); \coordinate (pv) at (5:1); \coordinate (p1) at ($ (o)-1.5*(pv) $); \coordinate (p0) at ($ (o)+1.5*(pv) $); \coordinate (l1) at ($ (o)+2*(v) $); \coordinate (l0) at ($ (o)-2*(v) $); \draw (A)--(B)-- node[above left, near end]{$\pi$} (C) -- (D)--cycle; \draw[->, blue] (o) -- (n); \draw[->] (o) -- node[above, near end] {$\vec v$} (l1); \draw[dashed] (o) -- (l0); \draw (p0)--(p1); \draw (5:0.5) node[above right, blue]{$\phi$} to[out=85, in=-60] (30:0.5); \draw (90:0.55) node[above right, blue]{$\theta$} to[out=0, in=120] (30:0.55); \end{tikzpicture}
  • 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为$\theta$， 则直线与平面的夹角$\phi=\frac{\pi}2-\theta$或$-\frac{\pi}2+\theta$。 则有
    \[\sin\phi=\sin(\frac{\pi}2\pm\theta)=|\cos\theta| \]

得到，直线与平面的夹角$\phi$满足

\[\sin\phi=\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n|\cdot|\vec v|} \]
  1. 直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量平行，因此有
    \[\frac{l}A=\frac{m}B=\frac{n}C \]
  2. 直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，因此有
    \[\vec v\cdot\vec n=lA+mB+nC=0 \]

直线与平面相交时，设交点为$\vec p$，则它同时满足直线方程和平面方程

\[\begin{aligned} \pi: & \quad (\vec p-\vec r_1)\cdot\vec n=0, \\ L: &\quad \vec p=\vec r_0+t'\vec v \end{aligned} \]

例 8. 求直线$\displaystyle \frac{x-2}1=\frac{y-3}1=\frac{z-4}2$与平面 $2x-y+z-6=0$的交点。

解. 交点$P(x,y,z)$满足所有方程，因此有

\[\begin{cases} \frac{x-2}1=\frac{y-3}1=\frac{z-4}2, \\ 2x-y+z-6=0 \end{cases} \]

解这个方程组。

谢谢

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例 9. 谢

9.

所以有

\[(\vec r_0+t'v-\vec r_1)\cdot\vec n=0 \]

得到

\[t'=-\frac{(\vec r_0-\vec r_1)\cdot\vec n}{\vec v\cdot\vec n} \]

将$t'$代入直线方程，即可得到交点的向量$\vec p$。

在曲线上取两点$M$和$M'$，其横坐标分别为$x$与$x+dx$， 则两点的距离为

\begin{tikzpicture}[global scale=0.9] \coordinate (o) at (0,0) ; \draw[-latex] (o) node[below]{$O$} -- (0:2) node[right] {$A$}; \draw (0:0.5) node[above right, blue]{$\phi$} to[out=90, in=-60] (30:0.5); \draw[-latex] (o) -- (30:2) node[right] {$B$}; \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[global scale=0.9] \coordinate (o) at (0,0) ; \draw[-latex] (o) node[above]{$O$} -- (0:2) node[right] {$A$}; \draw (0:0.5) to[out=-90, in=-60] node[below, blue]{$\phi$} (210:0.5); \draw[-latex] (o) -- (210:2) node[right] {$B$}; \end{tikzpicture}
\usetikzlibrary{3d} \begin{tikzpicture} \begin{scope}[canvas is zy plane at x=0] \draw (0,0) circle (1cm); \draw (-1,0) -- (1,0) (0,-1) -- (0,1); \end{scope} \begin{scope}[canvas is zx plane at y=1] \draw (0,0) circle (1cm); \draw (-1,0) -- (1,0) (0,-1) -- (0,1); \end{scope} \begin{scope}[canvas is xy plane at z=0] \draw (0,0) circle (1cm); \draw (-1,0) -- (1,0) (0,-1) -- (0,1); \end{scope} \end{tikzpicture}