2. Fourier积分与Fourier变换

Fourier分析

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

Fourier积分与Fourier变换

讨论定义在整个数轴上的非周期函数的展开问题

Fourier积分

用“有限逼近无限”的思想，来展开定义在整个数轴上的非周期函数。

$f(x)$在$\mathbb{R}$上绝对可积，在任何有限区间上逐段光滑。$f_l(x)$是$f(x)$在有限区间$(-l,l)$上的截取。则$f_l$可以展开成Fourier级数

\[f_l(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(n\omega x)+b_n\sin(n\omega x)) \]

其中

\[\begin{aligned} \omega=\frac{\pi}l , a_n=\frac1{l}\int_{-l}^{l}f(t)\cos(n\omega t)dt, \\ b_n=\frac1{l}\int_{-l}^{l}f(t)\sin(n\omega t)dt \end{aligned} \]

得到

\[f_l(x)=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(t)dt+\sum_{n=1}^{\infty}\frac1l\int_{-l}^{l}f(t)\cos(n\omega(x-t))dt \]

（1） 由$f(x)$在整个数轴上绝对可积，则

\[\left|\frac1{2l}\int_{-l}^lf(t)dt\right|\leq\frac1{2l}\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt \]

所以，有

\[\lim_{l\to\infty}\frac1{2l}\int_{-l}^lf(t)dt=0 \]

（2）

\[\begin{aligned} &\lim_{l\to\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac1l\int_{-l}^{l}f(t)\cos(n\omega(x-t))dt \\ =&\frac{1}{\pi}\int_0^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos(\lambda(x-t))dt\right]d\lambda \end{aligned} \]

这样，可以得到函数$f(x)$的Fourier积分表示

\[f(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos(\lambda(x-t))dt\right]d\lambda \]

令$\lambda_n=n\omega=\frac{n\pi}l$, $\Delta\lambda_n=\lambda_{n}-\lambda_{n-1}=\omega$，则

\[\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac1l\int_{-l}^{l}f(t)\cos(n\omega(x-t))dt \\ =\frac1{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\Delta\lambda_n\int_{-l}^{l}f(t)\cos(\lambda_n(x-t))dt \end{aligned} \]

记函数$\displaystyle g_l(\lambda)=\int_{-l}^{l}f(t)\cos(\lambda(x-t))dt$，则广义积分$\displaystyle\int_0^{+\infty}g_l(\lambda)d\lambda$的Riemann和形式为

\[\sum_{n=1}^{\infty}\Delta\lambda_n\int_{-l}^{l}f(t)\cos(\lambda_n(x-t))dt \]

当$l\to\infty$，$\Delta\lambda_n\to0$，且

\[g_l(\lambda)\to\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos\lambda(x-t)dt \]

或者写成

\[f(x)=\int_0^{+\infty}\left[A(\lambda)\cos(\lambda x)+B(\lambda)\sin(\lambda x)\right]d\lambda \]
\[\begin{aligned} A(\lambda)=\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos(\lambda t)dt \\ B(\lambda)=\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\sin(\lambda t)dt \\ \end{aligned} \]

称为Fourier积分

函数$f(x)$的部分Fourier积分为

\[S_\nu(x)=\int_0^{\nu}\left[A(\lambda)\cos(\lambda x)+B(\lambda)\sin(\lambda x)\right]d\lambda \]
  1. 在有限区间上的函数的Fourier级数中，$\cos(nx)$, $\sin(nx)$的$n$为自然数，即为离散的变量
  2. 在无限区间上的函数的Fourier积分中，$\cos(\lambda x)$, $\sin(\lambda x)$中，$\lambda$是在$[0,\infty)$上变化的任意实数

定理 1. (Fourier积分表示的收敛定理)
函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上绝对可积，在任何有限区间上逐段光滑，则对任意实数$x$, $f(x)$的Fourier积分表示必收敛于该点在左、右极限的平均值。即

\[\frac{1}{\pi}\int_0^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos(\lambda(x-t))dt\right]d\lambda =\frac{f(x+)+f(x-)}2 \]

证明. 略

注. 部分Fourier积分也有Gibbs现象。

例 1. (例10.2.2) 求函数

\[f(x)=\begin{cases} & 1, |x|\leq 1 \\ & 0, |x|>1 \end{cases} \]

的Fourier积分表示

  1. $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\cos(\lambda(x-t))dt$是关于$\lambda$的偶函数
  2. 利用Euler公式： $e^{ix}=\cos(x)+i\sin x$，可以得到$f(x)$的Fourier积分的复数表示
    \[f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda(x-t)}dt\right]d\lambda \]
    或者
    \[f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{i\lambda(x-t)}dt\right]d\lambda \]

Fourier变换的定义

设$f(x)$在$\mathbb{R}$上积且绝对可积，则$f(x)$的Fourier积分的复数表示为

\[f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{i\lambda x}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}dt\right]d\lambda \]

令(称$F(\lambda)$为函数$f(x)$的Fourier变换或像函数)

\[F(\lambda)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\lambda t}dt \]

则($f(x)$为$F(\lambda)$的Fourier逆变换或本函数)

\[f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\lambda)e^{i\lambda x}d\lambda \]

若$f(x)$为偶函数，则它的Fourier变换为

\[\begin{aligned} F(\lambda)=&\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)(\cos(\lambda t)+i\sin(i\lambda t)dt \\ =&2\int_0^{+\infty}f(t)\cos(\lambda t)dt \end{aligned} \]

记为$F_c(\lambda)$，称为Fourier余弦变换，它的Fourier逆变换为

\[f(x)=\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}F_c(\lambda)\cos(\lambda x)d\lambda \]

若$f(x)$为奇函数，则它的Fourier变换为

\[\begin{aligned} F(\lambda)=&\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)(\cos(\lambda t)+i\sin(i\lambda t)dt \\ =&2i\int_0^{+\infty}f(t)\sin(\lambda t)dt \end{aligned} \]

定义$ \displaystyle F_s(\lambda)=2\int_0^{+\infty}f(t)\sin(\lambda t)dt $ 称为Fourier正弦变换，它的Fourier逆变换为

\[f(x)=\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}F_s(\lambda)\sin(\lambda x)d\lambda \]

注. 对于定义在半无限区间$[0,+\infty)$上的函数，可以将它作奇或偶开拓，然后用Fourier余弦变换或Fourier正弦变换

     

例 2. (例10.2.5) 求函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt x}$, $x>0$的Fourier正弦变换和Fourier余弦变换

注. Forier积分收敛的条件可以放宽到：

  1. $f(x)$在任何有限区间上绝对可积
  2. 存在$M>0$，$f(x)$分别在$x>M$与$x<-M$上都是单调的， 且$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0$

2.

Fourier变换的性质

用$\mathcal{F}[f]=F[\lambda]$表示$f(x)$的Fourier变换，$\mathcal{F}^{-1}[F]=f(x)$表示$F(\lambda)$的Fourier逆变换。

（1）线性 $\mathcal{F}[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal{F}[f]+\beta\mathcal{F}[g]$

（2）频移特性 $\mathcal{F}[f(x)e^{-i\lambda_0 x}]=\mathcal{F}[f](\lambda+\lambda_0)$

（3）时移特性 $\mathcal{F}^{-1}[F(\lambda)e^{i x_0 \lambda}]=f(x+x_0)$

（4） 本函数微分 当$x\to+\infty$时，$f(x)$的极限为$0$，且$f'(x)$的Fourier变换存在，则

\[\mathcal{F}[f'(x)](\lambda)=i\lambda \mathcal{F}[f(x)](\lambda) \]

若$x\to+\infty$时，$f(x)$及其前$k-1$阶导数的极限为$0$，则

\[\mathcal{F}[f^{(k)}(x)](\lambda)=(i\lambda)^k \mathcal{F}[f(x)](\lambda) \]

（5） 像函数微分 $F'(\lambda)=\mathcal{F}[-ixf(x)](\lambda)$

（6） 卷积的Fourier变换 $\mathcal{F}[f*g]=\mathcal{F}[f]\cdot\mathcal{F}[g]$，其中卷积$f*g$定义为

\[f*g(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x-t)g(t)dt \]

（7） Parseval等式 $f(x)\in L^2(\mathbb{R})$，则有

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f^2(x)dx=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|F(\lambda)|^2d\lambda \]

例 3. $p$为正常数，$\displaystyle f_p(x)=\begin{cases} \frac1{2p} , |x|\leq p, \\ 0, |x|>p \end{cases} $，试求$f_p(x)$的Fourier变换及Fourier反演公式

例 4. 求$g(x)$满足积分方程

\[\int_0^{+\infty}g(t)\cos(xt)dt=\begin{cases} \cos x, |x|\leq\frac{\pi}2 \\ 0, |x|>\frac{\pi}2 \end{cases} \]

例 5. 证明

\[\int_0^{+\infty}\frac{\sin\alpha\cos(\alpha x)}{\alpha}d\alpha =\begin{cases} \frac{\pi}2, |x|<1, \\ \frac{\pi}4, |x|=1, \\ 0, |x|>1 \end{cases} \]

Fourier变换的应用

例 6. (解微分方程) 解微分方程

\[\begin{cases} & \frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{\partial ^2u}{\partial x^2} , x\in\mathbb{R}, t>0 \\ & u(x,0)=\phi(x) , x\in\mathbb{R} \end{cases} \]

其中$\phi(x)\in L^2(\mathbb{R})$

6.

目录

本章读完

例 7. $f(x)$是以$2\pi$为周期的函数，在$[-\pi,\pi]$上的表达式为

\[f(x)=\begin{cases} \pi+x , -\pi\leq x\leq 0, \\ \pi-x , 0<x<\pi \end{cases} \]

（1） 将$f(x)$展开成Fourier级数，并指出该Fourier级数的收敛性；

（2） 写出相应的Parseval等式；

（3） 求$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^2}$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$； $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^4}$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4}$；

7.