张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
rui@ustc.edu.cn |
类似单变量函数的链式法则。
设为中的区域,,为两个映射。若,则存在复合映射,
记,,则
定理 1.
设函数如前所述,则
证明:
设分别为中的区域,,为两个映射。若,则存在复合映射,
则有
写成矩阵形式,为
即有
注. 与单变量复合函数的链式法则是一致的
多元函数或多元向量值函数的Jacobi矩阵具有一元函数的导数的功能。利用Jacobi矩阵,可以使多元向量值函数的结论表述得更为简洁。
例 1. 证明:函数满足方程
这个方程,称为Laplace方程,满足这个方程的解称为调和函数。
例 2. 满足Laplace方程
例 3. 可微函数通过极坐标变换
可以看作的函数,证明:
例 4. 计算:
(1) 设,求
(2) 设,求
例4:
定理 2. (微分中值定理)
设在区域中可微。若连接和的线段包含在中,则存在,使得
若记,则二元函数的中值定理可以写成
反复运用复合函数求导的链式法则
例 5. 求复合函数的三个二阶偏导数。
例 6. 证明:函数满足方程
这个方程称为波动方程。对任意具有二阶导数的函数,都是方程的解。
对于一元函数,无论是自变量,还是中间变量,都有
这是一元微分的形式不变性。
对二元函数,无论是自变量,还是中间变量,同样有
若有,则
定理 3.
设为可微的二元函数,则
(1)
(2)
(3)
例 7. 设, ,
,求复合函数的全微分
例 8. 本节读完
8.