张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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由方程或方程组确定的函数关系,称为隐函数
例 1. 几个例子:
,可以显式解出
,可以显式得到
,没法得到,但可以知道每一个对应一个
, 不能表达为的函数,也不能表达为的函数,但局部上是可以的
利用方程定义函数时,有两个问题:
定义 1.
设在区域上有定义, 且。若存在的邻域,对于任一都有唯一的,使得,则由此对应关系确定的上的函数称为在的邻域中由方程所确定的隐函数。若对于任一都有唯一的,使得,则由此确定的上的函数也称为在的邻域中由方程所确定的隐函数。
例 2. 方程所确定的曲线,在附近不存在隐函数
定理 1. (隐函数定理)
设区域,。若在上有定义,且满足:
(a) 。即在上有连续的偏导数
(b)
(c)
则有如下结论:
(1) 方程在附近确定了隐函数
(2) 隐函数是的,且
若有,则
即
所以
例 3. ,求
例 4. 若,满足,求
更一般地,记
则
可以简单记为
由个方程组成的方程组,
记
则,可以简单记为 。 记
定理 2. (隐映射定理)
设为开集,映射 满足下列条件:
(1)
(2)
(3)
其中, , 则有下列结论:
(1) 方程组在附近确定了隐映射,;即存在的邻域及映射,使得是中满足的唯一元素();
(2) 隐映射 是的,且
例 5. 是由方程所确定的隐函数,求
例 6. 已知
求
例 7. 已知 ,求
例 5
例 6
例 7
在一维中,对于反函数的导数,有如下公式
其中,,
多元映射也是类似的。
定理 3. (逆映射定理)
设为开集,为映射,且,则存在的邻域,使得为一一映射,从而有逆映射,且对,有
其中且
一维中,由
两边对求导,由链式法则,有
则有
多变量也是类似。如, , ,且有
及
同样有
第一式对与求偏导,可以得到
写成矩阵形式为
第二式对与求偏导,可以得到
写成矩阵形式为
组合后,即有
即
例 8. (例6.4.5) 求极坐标变换的反变换的偏导数。即由
求
由定理知
则有
或者,则,两边对求导,有
又,两边对求导,有
两式联立,可解出
例 9. 本节读完
9.