5. 多元函数的Taylor公式与极值

多变量函数的微分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

多元函数的Taylor公式与极值

二元函数的Taylor公式

定义 1. (凸区域)
平面区域$D$称为凸区域，如果$D$中任意两点的连线都包含在$D$中。

设$D\subset\mathbb{R}^2$为凸区域，$f(x,y)\in C^{n+1}(D)$，$M_0(x_0,y_0)$，$M(x_0+h,y_0+k)$为$D$中两点。 记

\[\phi(t)=f(x_0+th,y_0+tk) \]

则$\phi(t)\in C^{n+1}([0,1])$。由一元函数的Taylor公式，有

\[\phi(t)=\sum_{m=0}^n\frac{\phi^{(m)}(0)}{m!}t^m+\frac{\phi^{(n+1)}(\theta t)}{(n+1)!} t^{n+1} , \theta\in(0,1) \]

由复合函数的求导法则，有

\[\phi'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+th,y_0+tk)h+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+th,y_0+tk)k \]

因此

\[\phi'(0)=\left.\left(h\frac{\partial f}{\partial x}+k\frac{\partial f}{\partial y}\right)\right|_{M_0} \]

利用归纳法，可以得到

\[\begin{aligned} \phi''(0)=&\left.\left(h^2\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}+2hk\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}+k^2\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}\right)\right|_{M_0} \\ \phi^{(m)}(0)=&\left.\sum_{l=0}^mC_m^lh^lk^{m-l}\frac{\partial ^mf}{\partial x^l\partial y^{m-l}}\right|_{M_0} \end{aligned} \]

引入算符

\[ \mathcal{D}=h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y} \]

则有

\[\mathcal{D}^m=\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)^m =\sum_{l=0}^mC_m^lh^lk^{m-l}\frac{\partial ^mf}{\partial x^l\partial y^{m-l}} \]

这样，

\[\phi^{(m)}(0)=\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)^mf(x_0,y_0) \]

Taylor公式

定理 1. (Taylor公式)
设$D\subset\mathbb{R}^2$为凸区域，$f\in C^{n+1}(D)$。若$(x_0,y_0)$，$(x_0+h,y_0+k)\in D$，则存在$\theta\in(0,1)$，满足

\[f(x_0+h,y_0+k)=\sum_{m=0}^n\frac1{m!}\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)^mf(x_0,y_0)+R_n \]

其中

\[R_n=\frac{1}{(n+1)!}\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)^{n+1}f(x_0+\theta h,y_0+\theta k) \]

称为Lagrange余项。特别地，在$(0,0)$处展开的Taylor公式也叫MacLaurin公式。

带Peano余项的Taylor公式

定理 2.
设$D\subset\mathbb{R}^2$为凸区域，$f\in C^{n}(D)$。若$(x_0,y_0)$，$(x_0+h,y_0+k)\in D$，则有

\[f(x_0+h,y_0+k)=\sum_{m=0}^n\frac1{m!}\left(h\frac{\partial }{\partial x}+k\frac{\partial }{\partial y}\right)^mf(x_0,y_0)+R_n \]

其中$R_n=o(\rho^n), \rho=\sqrt{h^2+k^2}\to 0$。称为Peano余项公式。

特别地，有一阶展开公式

\[f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)k+R_1 \]

二阶展开公式

\[\begin{aligned} f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)h+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)k \\ +\frac12(Ah^2+2Bhk+Ck^2)+R_2 \end{aligned} \]

其中

\[A=\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}(x_0,y_0),B=\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0),C=\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0) \]

称矩阵

\[Hf(x_0,y_0)=\begin{pmatrix} \frac{\partial ^2f}{\partial x^2}(x_0,y_0) & \frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0) \\ \frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0) & \frac{\partial ^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0) \end{pmatrix} \]

为二元函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处的Hesse矩阵。

显然，$Ah^2+2Bhk+Ck^2$为对称矩阵$Hf(x_0,y_0)$确定的二次型。

例 1. $f(x,y)=e^x\cos y$的MacLaurin公式展开到二次项

例 2. $\frac{\cos x}{\cos y}$的MacLaurin公式展开到二次项

例 3. $\arctan\frac{1+x+y}{1-x+y}$的MacLaurin公式展开到二次项

例 4. $f(x,y)=x^y$在$(1,1)$处展开到二次项

例2

chap6-5-ex2

例3

chap6-5-ex3

多元函数的极值

一元时候，利用一阶导数与二阶导数，可以研究函数的极值。多元函数的时候是类似的。

定义 2.
$f(x,y)$为区域$D\subset\mathbb{R}^2$上的二元函数，$(x_0,y_0)\in D$。若存在$(x_0,y_0)$的邻域$U$，使得

\[f(x,y)\geq f(x_0,y_0), \forall (x,y)\in U \]

则称$(x_0,y_0)$为函数$f$的一个极小值点，$f(x_0,y_0)$称为$f$的一个极小值。类似可以定义极大值和极大值点。极小值点和极大值点统称为极值点。

定理 3.
若可微函数$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$取到极值，则

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=0 , \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)=0 \]

两个偏导数都为$0$的点，称为驻点。

极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。如$f(x,y)=xy$在$(0,0)$处。

chap6-5-ex-xy

定理 4.
$f(x,y)$为区域$D$上的$C^2$函数，$(x_0,y_0)\in D$为$f(x,y)$的驻点。记$\Delta=AC-B^2$，其中

\[A=\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}(x_0,y_0),B=\frac{\partial ^2f}{\partial x\partial y}(x_0,y_0),C=\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}(x_0,y_0) \]

则：

(1) 当$A>0$且$\Delta>0$时，$(x_0,y_0)$为严格极小值点；

(2) 当$A<0$且$\Delta>0$时，$(x_0,y_0)$为严格极大值点；

(3) 当$\Delta<0$时，$(x_0,y_0)$为不是极值点。

注. 当$\Delta=0$时，不能断定$(x_0,y_0)$是否是极值点。可以借助于更高阶的导数

证明：

例 5. $z=x^2-(y-1)^2$

例 6. $z=(x-y+1)^2$

例 7. $z=x^2y^3(6-x-y)$

例 8. $z=\sin x+\cos y+\cos(x-y) , x\in[0,\frac{\pi}2], y\in[0,\frac{\pi}2]$

例 9. (例6.5.5) $x^2+2xy+2y^2=1$所确定的$y=y(x)$的极值。

例 10. 求

$u=\sin(x)+\sin(y)+\sin(z)-\sin(x+y+z)$, $x\in[0,\pi]$, $y\in[0,\pi]$, $z\in[0,\pi]$的极值

9.

chap6-5-ex9

条件极值

记$\partial D$表示由方程

\[\phi(x,y)=0 \]

表示的隐式曲线。$f(x,y)$在$\partial D$上的极大值点$M_0(x_0,y_0)$是指$\phi(x_0,y_0)=0$，且在$M_0$的某个邻域中，凡是满足$\phi(x,y)=0$的点$M(x,y)$都满足

\[f(x,y)\leq f(x_0,y_0) \]

类似可以定义$f(x,y)$在$\partial D$上的极小值点。

这种极值称为条件极值。$f(x,y)$称为问题的目标函数，方程$\phi(x,y)=0$称为联系方程或约束条件。

若能够从$\phi(x,y)=0$解出$y=y(x)$，则极值问题变为求

\[z(x)=f(x,y(x)) \]

的极值。这是通常意义下的极值问题。当联系方程比较复杂时，如何做？

Lagrange乘数法

设$\phi(x,y)$为$C^1$函数，且$\phi'_x(x,y), \phi'_y(x,y)$中至少有一个不为$0$。假设$(x_0,y_0)$是一个条件极值点，不防设$\phi'_y(x_0,y_0)\neq0$。则存在定义在$x_0$附近的隐函数$y=y(x)$，且$x_0$为一元函数

\[g(x)=f(x,y(x)) \]

的极值点，因此有

\[g'(x_0)=f'_x(x_0,y_0)+f'_y(x_0,y_0)y'(x_0)=0 \]

由$\phi(x,y(x))=0$，知

\[\phi'_x(x_0,y_0)+\phi'_y(x_0,y_0)y'(x_0)=0 \]

可得

\[f'_x(x_0,y_0)=f'_y(x_0,y_0)\frac{\phi'_x(x_0,y_0)}{\phi'_y(x_0,y_0)} \]

令

\[\lambda=-\frac{f'_y(x_0,y_0)}{\phi'_y(x_0,y_0)} \]

则有

\[\begin{aligned} (f'_x+\lambda\phi'_x)|_{(x_0,y_0)}=0, \\ (f'_y+\lambda\phi'_y)|_{(x_0,y_0)}=0, \end{aligned} \]

引入辅助函数

\[F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\phi(x,y) \]

则辅助函数的极值点满足

\[\begin{aligned} F'_x(x,y,\lambda)=&f'_x(x,y)+\lambda\phi'_x(x,y)=0, \\ F'_y(x,y,\lambda)=&f'_y(x,y)+\lambda\phi'_y(x,y)=0, \\ F'_{\lambda}(x,y,\lambda)=&\phi(x,y)=0 \end{aligned} \]

因此，条件极值的点，就是辅助函数的驻点。这种方法称为Lagrange乘数法，$\lambda$称为Lagrange乘子

对于更一般的多维情况。考虑目标函数$f(x_1,\cdots,x_n)$在$m(<n)$个约束条件

\[\begin{cases} \phi_1(x_1,\cdots,x_n)=0 \\ \phi_1(x_1,\cdots,x_n)=0 \\ \cdots \\ \phi_m(x_1,\cdots,x_n)=0 \end{cases} \]

下的极值问题，可以作辅助函数

\[F(x_1,\cdots,x_n,\lambda_1,\cdots,\lambda_n)=f+\lambda_1\phi_1+\cdots+\lambda_m\phi_m \]

的极值点。在这些极值点中找条件极值点。

例 11. 求在约束条件$x+y=1$下，$z=xy$的极值

例 12. 求在约束条件$x+2y+3z=a$, $x>0$, $y>0$, $z>0$, $a>0$下，$u=xy^2z^3$的极值

例 13. 求在约束条件$x_1+x_2+\cdots+x_n=a$, $x_i>0$下，$x_1x_2\cdots x_n$的极值

例 14. 求在约束条件$\frac{x_1}{a_1}+\frac{x_2}{a_2}+\cdots+\frac{x_n}{a_n}=1$, $a_i>0$下，$x_1^2+x_2^2\cdots x_n^2$的极值

例 15. 求 $y=x^2$与$x-y-2=0$间的最短距离

例11

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谢谢

例 16. 本节读完

16.