6. 空间中的曲线与曲面

多变量函数的微分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

空间中的曲线与曲面

参数曲线

映射

\[f(t)=(x(t),y(t),z(t)) , t\in[\alpha,\beta] \]

完全刻画了质点的运动轨迹。常写成向径式

\[\vec r(t)=(x(t),y(t),z(t)) , t\in[\alpha,\beta] \]

等价与方程组

\[\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases} , x\in[\alpha,\beta] \]

称为空间曲线的参数方程

空间曲线$L: \vec r=\vec r(t)$，若$x'(t)$, $y'(t)$, $z'(t)$在$[\alpha,\beta]$上连续，且不同时为$0$，则称$L$为光滑曲线。

若$L$自身不相交，即$\vec r(t_1)\neq\vec r(t_2), \forall t_1\neq t_2$，则称$L$为简单曲线或Jordan曲线。

若$L$首尾相接，即$\vec r(\alpha)=\vec r(\beta)$，则称$L$为闭曲线。

切线

$M_0=\vec r(t_0)$处的切线，为

\[\lim_{t \to t_0}\frac{\vec r(t)-\vec r(t_0)}{t-t_0} \]

记为$\vec r'(t_0)$，则

\[\vec r'(t_0)=(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0)) \]

曲线$L$在$M_0$处的切线方程

\[\frac{x-x(t_0)}{x'(t_0)}=\frac{y-y(t_0)}{y'(t_0)}=\frac{z-z(t_0)}{z'(t_0)} \]

法平面方程

\[x'(t_0)(x-x(t_0))+y'(t_0)(y-y(t_0))+z'(t_0)(z-z(t_0))=0 \]
\[\begin{aligned} r'(t_0)=\lim_{t\to t_0}\frac{(x(t)-x(t_0),y(t)-y(t_0),z(t)-z(t_0))}{t-t_0} \\ =(\lim_{t\to t_0}\frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0},\lim{t\to t_0}\frac{y(t)-y(t_0)}{t-t_0}, \lim_{t\to t_0}\frac{z(t)-z(t_0)}{t-t_0}) \\ =(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0)) \end{aligned} \]

$\vec r(t)$的微分为

\[d \vec r=(dx,dy,dz)=(x'(t)dt, y'(t)dt, z'(t)dt)=\vec r'(t) dt \]

空间弧长微元为

\[\begin{aligned} |d\vec r|=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} \\ =|\vec r'(t)|dt=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt \end{aligned} \]

这样，空间曲线弧长为

\[\int_{\alpha}^{\beta} |d\vec r|=\int_{\alpha}^{\beta}|\vec r'(t)|dt\ =\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}dt \]

空间曲面

$D$为$\mathbb{R}^2$中的区域，定义在$D$上的一个二元向量值函数

\[r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) , (u,v)\in D \]

确定了空间中的一个曲面。称为曲面的向径式方程。它等价于

\[\begin{cases} x=x(u,v) \\ y=y(u,v) \\ z=z(u,v) \end{cases} , (u,v)\in D \]

称为曲面的参数方程

固定一个$v$值，让$u$变化，则$r(u,v)$在曲面上画出一条曲线，称为$u$曲线。同样有$v$曲线。

uvcurve

例 1. 球面方程

\[\begin{cases} & x(\theta, \phi)=R\sin\theta\cos\phi , \\ & y(\theta, \phi)=R\sin\theta\sin\phi , \\ & z(\theta, \phi)=R\cos\theta \end{cases} \theta\in[0,\pi], \phi[0,2\pi] \]

当$\theta$固定时，得到纬线；当$\phi$固定时，得到经线。

sphere-coord

$u$曲线的切线方向

\[r'_u=\frac{\partial r}{\partial u}=(\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u}) \]

$v$曲线的切线方向

\[r'_v=\frac{\partial r}{\partial v}=(\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v}) \]

若$x(u,v)$, $y(u,v)$， $z(u,v)$均为$C^1$函数，若$D$中处处有$r'_u\times r'_v\neq 0$，称曲面为光滑曲面

切平面

曲面过$M_0$, 由$r'_u(u_0,v_0)$与$r'_v(u_0,v_0)$张成的平面,称为曲面在$M_0$处的切平面，它的法向量是

\[n(u_0,v_0)=r'_u(u_0,v_0)\times r'_v(u_0,v_0) \]

利用Jacobi行列式的记号，也有

\[n(u_0,v_0)=(\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)},\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}) \]

tangent-plane

tangent-plane-full

任取曲面上过$M_0$ 点的光滑曲线$L$，则$L$的原像为平面区域$D$中，过$(u_0,u_0)$的一条曲线。设这条曲线有参数方程

\[u=u(t), v=v(t) \]

其中$u_0=u(t_0)$, $v_0=v(t_0)$。则$L$具有参数方程

\[\begin{aligned} x=x(u(t),v(t)) \\ y=y(u(t),v(t)) \\ z=z(u(t),v(t)) \end{aligned} \]

$L$在$M_0$处的切向量为

\[\tau=(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0)) \]
\[\begin{aligned} \tau =(x'_u u'(t_0)+x'_v v'(t_0),y'_u u'(t_0)+y'_v v'(t_0),z'_u u'(t_0)+z'_v v'(t_0)) \\ =(x'_u ,y'_u ,z'_u) u'(t_0)+(x'_v ,y'_v ,z'_v) v'(t_0) \\ =r'_u(u_0,v_0) u'(t_0)+r'_v(u_0,v_0) v'(t_0) \end{aligned} \]

这个表明，曲面上过$M_0$的任何一条曲线的切向量为$r'_u(u_0,v_0)$与$r'_v(u_0,v_0)$的线性组合。因此在$r'_u(u_0,v_0)$与$r'_v(u_0,v_0)$张成的平面上

例 2. 曲面

\[z=f(x,y), (x,y)\in D \]

写成参数方程

\[r=r(x,y)=(x,y,f(x,y)) \]

所以

\[\begin{aligned} r'_x=(1,0,f'_x) \\ r'_y=(0,1,f'_y) \end{aligned} \]

可以得到切平面的法向量

\[\begin{aligned} \left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ 1 & 0 & f'_x \\ 0 & 1 & f'_y \end{array} \right|=(-f'_x,-f'_y,1) \end{aligned} \]

映射的微分

$r(u,v)$的微分为

\[\begin{aligned} d r=&(dx, dy, dz) \\ =&(\frac{\partial x}{\partial u} du+\frac{\partial x}{\partial v} dv,\frac{\partial y}{\partial u} du+\frac{\partial y}{\partial v} dv,\frac{\partial z}{\partial u} du+\frac{\partial z}{\partial v} dv) \\ =&(\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u})du+(\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v})dv \\ =&r'_u du+r'_v dv \end{aligned} \]

面积微元

area-diff

设$(u,v)\in D$，$M=r(u,v)$。给变量$u$,$v$一个小的增量$du$,$dv$。则映射的像为曲边四边形$MNPQ$。$MN'=r'_udu$为圆弧$\overset{\frown}{MN}$的近似。 $MQ'=r'_vdu$为圆弧$\overset{\frown}{MQ}$的近似。

函数的增量与微分分别为

\[\begin{aligned} \vec{MP}=&r(u+du,v+dv)-r(u,v)=\Delta r, \\ \vec{MP'}=&r'_udu+r'_vdv=dr \end{aligned} \]

则可得到

\[|\Delta r-dr|=o(\rho) , \rho=\sqrt{dx^2+dy^2} \]

这样，曲边四边形$MNPQ$可以用切平面的平行四边形$MN'P'Q'$来近似，而后者的面积为

\[|r'_udu\times r'_vdv|=|r'_u\times r'_v|dudv \]

这就是面积微元

\[\begin{aligned} \Delta r=&(\Delta x, \Delta y, \Delta z) \\ =&(x'_udu+x'_vdv+o(\rho),y'_udu+y'_vdv+o(\rho), \\ &z'_udu+z'_vdv+o(\rho)) \\ =&r'_udu+r'_vdv+(o(\rho),o(\rho),o(\rho)) \\ =&dr+(o(\rho),o(\rho),o(\rho)) \end{aligned} \]

所以有

\[|\Delta r-dr|=o(\rho) \]

隐函数表示的曲面与曲线

设$F(x,y,z)$为区域$D\subset\mathbb{R}^3$上的$C^1$函数。点$M_0(x_0,y_0,z_0)\in D$满足$F(x_0,y_0,z_0)=0$，且

\[(F'_x,F'_y,F'_z)|_{M_0}\neq 0 \]

根据隐函数存在定理，$F$在$M_0$附近确定了一个连续可微的二元函数，从而在$M_0$附近给出了一张曲面。把由方程

\[F(x,y,z)=0 \]

所确定的曲面称为隐式曲面

向量

\[n=(F'_x(M_0),F'_y(M_0),F'_z(M_0)) \]

为曲面在点$M_0$处的切向量

设曲线$\Gamma$

\[r=r(t)=(x(t),y(t),z(t)) , t\in[\alpha,\beta] \]

为曲面上过$M_0$的任一条光滑曲线，其中

\[x_0=x(t_0), y_0=y(t_0), z_0=z(t_0) \]

则，由$\Gamma$在曲面上，则有

\[F(x(t),y(t),z(t))=0 \]

对$t$求导后，有

\[F'_x(M_0)x(t_0)+F'_y(M_0)y(t_0)+F'_z(M_0)z(t_0)=0 \]

也就意味着，向量

\[n=(F'_x(M_0),F'_y(M_0),F'_z(M_0)) \]

与曲面上任一条过$M_0$的曲线的切向量

\[(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0)) \]

垂直

空间中的曲线可以表示为两个空间中的曲面的交线，

\[\begin{cases} & F(x,y,z)=0 , \\ & G(x,y,z)=0 \end{cases} , (x,y,z)\in D\subset \mathbb{R}^3 \]

若$M_0$为曲线上的点，则曲线在点$M_0$处的切线与两个曲面在$M_0$的切平面的法向量都垂直，

\[n=(F'_x,F'_y,F'_z)\times(G'_x,G'_y,G'_z)|_{M_0} \]

例 3. 如下的两个平面正交

\[\begin{aligned} \pi_1: x^2+y^2+z^2=ax \\ \pi_2: x^2+y^2+z^2=by \end{aligned} \]

例 4. 求曲线在点$(-2,1,6)$处的切线与法平面

\[\begin{cases} & 2x^2+3y^2+z^2=47 , \\ & x^2+2y^2=z \end{cases} \]

例 5. 证明：曲面$xyz=10$上任一点的切平面与三个坐标面构成的四面体的体积是一个常数

例3.

例 6. 证明曲面$xy=z^2$与$x^2+y^2+z^2=9$正交

例 7. 证明曲面$\displaystyle F\left(\frac{x-a}{z-c},{y-b}{z-c}\right)=0$的所有切平面都通过一个定点。

例 8. 证明曲面$\displaystyle F(ax-by, cx-bz)=0$ 的所有切平面与一直线平行

例 9. 求椭圆

\[\begin{cases} & x^2+y^2=1 \\ & x+y+z=1 \end{cases} \]

的长半轴与短半轴

例 10. 函数$f(x,y)$在整个平面上有一阶连续的偏导数，$f(0,1)=f(1,0)$。证明：在$x^2+y^2=1$上至少有两个不同的点满足

\[y\frac{\partial f}{\partial x}=x\frac{\partial f}{\partial y} \]

chap6-6-ex9 chap6-6-ex9-2

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谢谢

例 11. 本节读完

例11.

例 12. 证明曲面$zy=z^2$与曲面$x^2+y^2+z^2=9$正交

例 13. 证明曲面

\[F(\frac{x-a}{z-c},\frac{y-b}{z-c})=0 \]

的所有切平面通过一个定点

例 14. 证明曲面

\[F(ax-by, cx-bz)=0 \]

的所有切平面与一直线平行

例 15. 求椭圆

\[\begin{cases} & x^2+y^2=1 \\ & x+y+z=1 \end{cases} \]

的长半轴与短半轴