1. 二重积分

多变量函数的积分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

二重积分

二重积分概念和性质

integ-2

将$Oxy$平面矩形区域$R$分割成互不重叠的小矩阵$R_{ij}$, 面积为$\Delta R_{ij}$，$i=1,\cdots,n$, $j=1,\cdots,m$。 在$R_{ij}$内任取一点$(x_{ij}^*, y^*_{ij})$， 则曲顶小柱体的近似体积为

\[f(x_{ij}^*, y^*_{ij})\Delta R_{ij} \]

所有这些近似小柱体的体积和为

\[\sigma=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m f(x^*_{ij},y^*_{ij})\Delta R_{ij} \]

当$R$越分越细时，$\sigma$的极限就是曲顶柱体的体积。

与一维不同的是，对于一般的平面区域$D$，分割方式是多种多样的。每个小块是否有面积，如何计算它们的面积，是建立二重积分的难点。

先从矩形区域开始

定义 1.
设$R=[a,b]\times[c,d]$，$f(x,y)$是$R$上的一个函数。作$[a,b]$和$[c,d]$的分割：

\[\begin{aligned} T_x: a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b, \\ T_y: c=y_0<y_1<\cdots<y_n=d \end{aligned} \]

两组平行直线将$R$分割成$n\times m$个二维子区间

\[R_{ij}=[x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j] \]

这样，就得到$R$的一个分割$T$，记为$T=T_x\times T_y$，$\|T\|=\max\{\|T_x\|,\|T_y\|\}$为分割$T$的宽度。

在$R_{ij}$中任取一点$M_{ij}(x^*_{ij}, y^*_{ij})$，用$M$表示这样一组取值，做Riemann和(或称为积分和)

\[S(f,T,M)=\sum_{i,j}f(M_{ij})\Delta R_{ij} \]

若存在实数$A$，使得$\forall \epsilon>0$, $\exists \delta>0$，当$\|T\|<\delta$时，满足

\[|S(f,T,M)-A|<\epsilon , \forall M_{ij}\in R_{ij} \]

则称二元函数$f(x,y)$在二维闭区间$R$上Riemann可积，而

\[A=\lim_{\|T\|\to0}\sum_{i,j}f(M_{ij})\Delta R_{ij} \]

为$f(x,y)$在$R$上的二重积分，记为

\[\iint\limits_Rf(x,y)dxdy , \mbox{或} \int_Rf \]

$f(x,y)$称为被积函数，$R$为积分区间，$f(x,y)dxdy$为被积表达式，$dxdy$为面积元。

定义 2.
$f(x,y)$是有界集$D$上的函数，取二维闭区间$R\supset D$，做$f(x,y)$的零延拓

\[f_D(x,y)=\begin{cases} f(x,y), & (x,y)\in D \\ 0 , & (x,y)\notin D \end{cases} \]

若$f_D(x,y)$在$R$上可积，则称$f(x,y)$在$D$上可积，并称$\iint\limits_Rf_D(x,y)dxdy$为$f(x,y)$在$D$上的二重积分，记为

\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy , \mbox{或} \int_Df \]

这样定义的二重积分与闭区间$R$的选取无关。

定义 3.
设$D$是有界的平面点集，如果$D$上取值为$1$的常值函数可积，则称$D$是有面积的，并称

\[\iint\limits_D1dxdy \]

为$D$的面积。

定理 1.
有界平面点集$D$是有面积的$\Leftrightarrow$$\partial D$的面积为$0$。

特别地，由有限条分段光滑曲线围成的区域或闭域是有面积的

以后，总假定积分区域$D$是由有限条分段光滑曲线围成的区域。

定理 2.
$D$是由有限条分段光滑曲线围成的区域，$f(x,y)$是$D$上的函数。

（1） 若$f(x,y)$在$D$上可积，则$f(x,y)$在$D$上有界；

（2） 若有界函数$f(x,y)$的不连续点分布在$D$中的有限条光滑曲线上，则$f(x,y)$在$D$上可积；

（3） 若有界函数$f(x,y)$，$g(x,y)$是$D$上的函数，且$f(x,y)\neq g(x,y)$的点分布在有限条光滑曲线上，则$f(x,y)$和$g(x,y)$在$D$上有相同的可积性。当它们可积时，有

\[\int_D f=\int_D g \]

定理 3.
$D$是由有限条分段光滑曲线围成的区域，$f(x,y)$, $g(x,y)$是$D$上的可积函数。

  1. （线性）对任意常数$c_1$, $c_2$ 和$c_1f+c_2g$在$D$上可积，且

    \[\int_D(c_1f+c_2g)=c_1\int_Df+c_2\int_D g \]

  2. （乘积） $f(x,y)g(x,y)$在$D$上可积

  3. （保序性）若在$D$上$f(x,y)\geq g(x,y)$，则$\int_Df\geq\int_D g$

  4. （绝对可积性）$|f(x,y)|$在$D$上可积，且有

    \[|\int_D f|\leq \int_D|f| \]

定理 4.
$D_1$, $D_2$是由有限条分段光滑曲线围成的区域，且$D_1\cap D_2=\emptyset$。 函数$h(x,y)$在$D_1$, $D_2$上都可积。 则$h(x,y)$在$D_1\cup D_2$上可积，且

\[\int_{D_1\cup D_2}h=\int_{D_1}h+\int_{D_2}h \]

定理 5. (积分中值定理)
$f(x,y)$在闭域$\bar D$中连续，则存在$(x_0,y_0)\in D$, 使得

\[\int_{D}f=f(x_0,y_0)S_D \]

其中$S_D$是$D$的面积。

定理 6.
$D$是有面积的平面点集，$f(x,y)$为$D$上的函数，那么$f(x,y)$在$D$上可积 且积分等于$A$的充要条件是，对$\forall \epsilon>0$, $\exists \delta>0$， 将$D$侵害为有限个内部互不相交的有面积的小块 $D_1,D_2,\cdots,D_n$，记

\[\lambda_i=sup|M_i-N_i|, M_i,N_i\in D_i \]

为$D_i$的直径，只要分割的宽度$\lambda=\max_i\lambda_i$满足 $\lambda<\delta$，就有

\[|\sum_{i=1}^nf(x_i,y_j)\Delta D_i-A|<\epsilon \]

二重积分的累次积分法

函数$f(x,y)$在二维闭区间$R=[a,b]\times[c,d]$上可积。把二重积分看做是以 $R$为底、$z=f(x,y)$为顶的曲顶柱体的体积，则

\[A(x_0)=\int_c^df(x_0,y)dy \]

就是用平面$x=x_0$去截这个柱体得到的截面的面积。这样，柱体的体积也可以 用截面积的积分来表示

\[\begin{aligned} V=\iint\limits_Rf(x,y)dxdy=\int_a^bA(x)dx \\ =\int_a^b\left[\int_c^df(x,y)dy\right]dx \end{aligned} \]

int2d-dim-by-dim

定理 7. (Fubini定理)
函数$f(x,y)$在二维闭区间$R=[a,b]\times[c,d]$上可积。

  1. 如果对每个$y\in[c,d]$，$f(x,y)$作为$x$的函数在$[a,b]$上可积，记 $\phi(y)=\int_a^bf(x,y)dx$ 则$\phi(y)$在$[c,d]$上可积，且有
    \[\int_c^d\phi(y)dy=\int_c^d\left[\int_a^bf(x,y)dx\right]dy=\iint\limits_Rf(x,y)dxdy \]
  2. 如果对每个$x\in[a,b]$，$f(x,y)$作为$y$的函数在$[c,d]$上可积，记 $\psi(x)=\int_c^df(x,y)dy$ 则$\psi(x)$在$[a,b]$上可积，且有
    \[\int_a^b\psi(x)dx=\int_a^b\left[\int_c^df(x,y)dy\right]dx=\iint\limits_Rf(x,y)dxdy \]

证明：

int2d-fubini

  • $R=[a,A]\times[b,B]$，则

    \[\iint\limits_RX(x)Y(y)dxdy=\int_b^BY(y)dy \int_a^AX(x)dx \]

  • 若$F''_{xy}(x,y)=f(x,y)$，则

    \[\begin{aligned} \int_a^A\int_b^Bf(x,y)dxdy= \\ F(A,B)-F(a,B)-F(A,b)+F(a,a) \end{aligned} \]

证：

\[\iint\limits_RX(x)Y(y)dxdy= \]
\[\int_a^A\int_b^Bf(x,y)dxdy= \]

例8:解

例 1. $f(x)$为闭区间$[a,b]$上的连续函数，则有

\[(\int_a^bf(x)dx)^2\leq(b-a)\int_a^bf^2(x)dx \]

等号成立，当且仅当$f(x)$为常数

积分区域是曲边的情形

I型区域$D$是由曲线$y=\phi_1(x)$, $y=\phi_2(x)$和直线$x=a$, $x=b$围成 的区域，即

\[D=\{(x,y)|\phi_1(x)\leq y\leq\phi_2(x), a\leq x\leq b\} \]

int2d-region-type-I

定理 8.
I型区域$D$

\[D=\{(x,y)|\phi_1(x)\leq y\leq\phi_2(x), a\leq x\leq b\} \]

其中$\phi_1(x)$, $\phi_2(x)$为连续函数。$f(x,y)$在$D$上可积， 且对于$\forall x\in[a,b]$，积分 $\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy$ 存在，则

\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\int_a^b\left[\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy\right]dx \]

证明：

int2d-region-type-I-C

定理 9.
II型区域

\[D=\{(x,y)|\psi_1(y)\leq x\leq\psi_2(y), c\leq y\leq d\} \]

其中$\psi_1(y)$, $\psi_2(y)$为连续函数。$f(x,y)$在$D$上可积， 且对于$\forall y\in[c,d]$，积分 $\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx$ 存在，则

\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\int_c^d\left[\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx\right]dy \]

int2d-region-type-II

例 2. (例7.1.1) 计算二重积分

\[\iint\limits_D\frac1{(x+y)^2}dxdy , D=[3,4]\times[1,2] \]

例 3. (例7.1.3) 计算累次积分

\[\int_0^1dx\int_x^{\sqrt x}\frac{\sin y}y dy \]

例 4. 画出计算积分区域，改写计算顺序

\[\int_0^2dy\int_{\frac{y}2}^yf(x,y)dx+\int_2^4dy\int_{\frac{y}2}^2f(x,y)dx \]
\[\iint\limits_D\frac1{(x+y)^2}dxdy \]

例 5. 画出计算积分区域，改写计算顺序

\[\int_{-1}^0dy\int_{-2\sqrt{y+1}}^{2\sqrt{y+1}}f(x,y)dx+\int_0^8dy\int_{2\sqrt{1+y}}^{2-y}f(x,y)dx \]

例 6. (例7.1.5) 计算由两个圆柱面$x^2+y^2=a^2$与$x^2+z^2=a^2$所围成的立体的体积

int2d-ex-7-1-5 int2d-ex-7-1-5-2

\[\begin{aligned} V=8\iint\limits_{x^2+y^2\leq a^2, x\geq0, y\geq0}\sqrt{a^2-x^2}dxdy \\ =8\int_0^a\int_0^{\sqrt{a^2-x^2}}\sqrt{a^2-x^2}dy \\ =8\int_0^a(a^2-x^2)dx \end{aligned} \]

变量代换

例 7. 计算积分

\[\iint\limits_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy \]

其中$D$是以原点为圆心的单位圆盘$x^2+y^2\leq 1$

用累次积分来解

\[\begin{aligned} \iint\limits_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy=4\int_0^1dx\int_0^{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}dxdy \\ =2\int_0^1[y\sqrt{x^2+y^2}+x^2\ln(y+\sqrt{x^2+y^2})]|_0^{\sqrt{1-x^2}}dx \\ =2\int_0^1(\sqrt{1-x^2}+x^2\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}x)dx \end{aligned} \]

换用极坐标

设

\[D'=\{(r,\theta):r\in[0,1], \theta\in[0,2\pi)\} \]
\[D=\{(x,y): x^2+y^2\leq 1\} \]

极坐标变换 $\Phi: D'\to D$定义为

\[\Phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta) \]

对$D'$区域做平行于坐标轴的分割：

\[\begin{aligned} T_r: 0=r_0<r_1<\cdots<r_n=1 \\ T_\theta: 0=\theta_0<\theta_1<\cdots<\theta_m=2\pi \end{aligned} \]

则直线段$r=r_i$和$\theta=\theta_j$在映射$\Phi$处的像为$D$中的$\theta$曲线和$r$曲线。

这些曲线给出了$D$的一个分割$T: D_{ij}$, $i=1,\cdots,n$, $j=1,\cdots,m$，其中

\[D_{ij}=\Phi([r_{i-1},r_i]\times[\theta_{j-1},\theta_j]) \]

int2d-pole-cord

取

\[M_{ij}=\Phi(r_i,\theta_j)\in D_{ij} \]

则Riemann和$\displaystyle\sum_{ij}f(M_{ij})\Delta D_{ij}$的极限为$\iint\limits_Df(x,y)dxdy$

而$\Delta D_{ij}\approx r_i\Delta \theta_j \Delta r_i$，这样，有

\[\iint\limits_{D'} f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta=\iint\limits_Df(x,y)dxdy \]

一般的换元公式： $D$为$Oxy$平面上的有界区域，$f(x,y)$为$D$上的可积函数。

$D'$为$Ouv$平面上的区域，$\Phi: D'\to D$为一一的$C^1$映射，且$\mbox{det} J\Phi\neq0$，记为

\[\Phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v)) \]

则$f(x(u,v),y(u,v))$为$D'$上的可积函数

当$D'$上有分割，

\[\begin{aligned} T_u: a=u_0<u_1<\cdots<u_n=b \\ T_v: c=v_0<v_1<\cdots<v_n=d \end{aligned} \]

则映射到$D$上有分割$T: D_{ij}$，其中

\[D_{ij}=\Phi([u_i,u_{i+1}]\times[v_j,v_{j+1}]) \]

int2d-cord-map

平面区域$D$可以看做是特殊的曲面，其向径式方程是

\[\vec r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), 0) , (u,v)\in D' \]

则$\Delta u_i=u_{i+1}-u_i$, $\Delta v_j=v_{j+1}-v_j$充分小时，$\Delta D_{ij}\approx |r'_u\times r'_v|\Delta u_i\Delta v_j$，而

\[|r'_u\times r'_v|=\left| \left| \begin{aligned} & i & j && k \\ & \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} && 0 \\ &\frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} && 0 \end{aligned} \right| \right| =\left| \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right| \]

取$(x_{ij},y_{ij})=\Phi(u_i,v_j)=(x(u_i,v_j),y(u_i,v_j))$，则

\[\begin{aligned} &\sum_{i,j}f(x_{ij},y_{ij})\Delta D_{ij}\approx \\ &\sum_{ij}f(x(u_i,v_j),y(u_i,v_j))|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|_{(u_i,v_j)}\Delta u_i\Delta v_j \end{aligned} \]

上式的两边分别为积分

\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy , \iint\limits_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}|dudv \]

则

定理 10.
设$D$, $D'$为由分段光滑曲线围成的区域，$\Phi: D'\to D$， $\Phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v))$为$C^1$的一一映射，且 $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\neq0$。若$f(x,y)$为$D$上的可积函数，则

\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy= \iint\limits_{D'}f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv \]

  • 公式说明了区域$D$的面积元素$dxdy$与$D'$的面积元素$dudv$之间有如下关系：

    \[dxdy=\left|{\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right|dudv \]

  • 如果变换为极坐标变量，$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$，则

    \[\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}=\left|{\begin{aligned} & \cos\theta & -r\sin\theta \\ & \sin\theta & r\cos\theta \end{aligned}}\right|=r \]

    因此有

    \[\iint\limits_Df(x,y)dxdy= \iint\limits_{D'}f(r\cos\theta,r\sin\theta) r drd\theta \]

注. 关键在于，$D'$上的积分易于求解

例 8. 求

\[\iint\limits_{x^2+y^2\leq x}f(\frac{y}x)dxdy \]

例 9. 求

\[\iint\limits_{\pi^2\leq x^2+y^2\leq 4 \pi^2}\sin(\sqrt{x^2+y^2}) dxdy \]

例 10. (例7.1.10) 求

\[\iint\limits_{ x^2+y^2\leq R^2}e^{-(x^2+y^2)} dxdy , \int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx \]

例8:

例 11. 求

\[\iint\limits_D(x+y)dxdy \]

其中$D$由 $x^2+y^2=x+y$围成

例 12. 求

\[\iint\limits_D\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}} dxdy \]

其中$D$由 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$围成

例 13. 求

\[\iint\limits_{\Omega} f(x,y)dxdy \]

（1） $\Omega$由$\sqrt x+\sqrt y=\sqrt a$， $x=0$, $y=0$ 围成

（2） $\Omega$由$y=\frac1x$， $y=\frac2x$, $y=x+1$, $y=x-1$ 围成

（3） $\Omega$由$x+y=1$， $x=0$, $y=0$ 围成

13.

例 14. 求

\[\int_a^b dx\int_{\alpha x}^{\beta x} f(x,y)dy , 0<a<b , 0<\alpha<\beta \]

例 15. 求

\[\iint\limits_{|x|+|y|\leq1}f(x+y)dxdy \]

广义二重积分

定义 4.
(1) 设$f(x,y)$是定义在有界区域$D$及$\partial D$上的非负函数。在$\partial D$上的某些点的邻域中，$f(x,y)$无界（这种点叫作函数的瑕点）。假定$f(x,y)$在$D$内的任何闭区域上可积，做$D$中任一有界闭域列$\{D_n\}$，使得$D_n\subset D_{n+1}$及$\bigcup\limits_n^{\infty}D_n=D$，如果

\[\lim_{n\to\infty}\iint\limits_{D_n}f(x,y)dxdy \]

存在有限，且与闭域列$\{D_n\}$的取法无关，那么称瑕积分是收敛的，

并规定瑕积分的值为

\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\lim_{n\to\infty}\iint\limits_{D_n}f(x,y)dxdy \]

否则称$f(x,y)$在$D$上的瑕积分发散。

例 16. $D=[0,1]\times[0,1]$，

\[\iint\limits_D\frac{y}{\sqrt{x}}dxdy \]

定义 5.
(2) 设$f(x,y)$是定义在无界闭区域$D$上的非负函数， 且在$D$内的任意有界闭区域上可积。做$D$中任一有界闭域列$\{D_n\}$，使得$D_n\subset D_{n+1}$及$\bigcup\limits_n^{\infty}D_n=D$，如果

\[\lim_{n\to\infty}\iint\limits_{D_n}f(x,y)dxdy \]

存在有限，且与闭域列$\{D_n\}$的取法无关，那么称无穷积分是收敛的， 并规定无穷积分的值为

\[\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\lim_{n\to\infty}\iint\limits_{D_n}f(x,y)dxdy \]

否则称$f(x,y)$在$D$上的无穷积分发散。

例 17. (例7.1.16) $D$为第一象限，求

\[\iint\limits_D\frac1{(1+x+y)^3}dxdy \]

定义 6.
在$f(x,y)$可正可负的情形下，令

\[\begin{aligned} p(x,y)=\frac12[|f(x,y)|+f(x,y)] \\ q(x,y)=\frac12[|f(x,y)|-f(x,y)] \end{aligned} \]

若$p(x,y)$和$q(x,y)$在$D$上的瑕积分(或无穷积分)都收敛，则称$f(x,y)$在$D$上的瑕积分（或无穷积分）绝对收敛，并规定瑕积分（无穷积分）的值为

\[\iint\limits_Df(x,y)dx=\iint\limits_Dp(x,y)dx-\iint\limits_Dq(x,y)dx \]

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谢谢

例 18. 本节读完

18.