2. 三重积分

多变量函数的积分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

三重积分

三重积分的概念

在空间$\mathbb{R}^3$中的一个有界几何体$V$上分布着某种物质，已知这种物质的密度函数为$\rho(x,y,z)$，求这种物质在 $V$ 上的总质量!

int3d-weight

将几何体$V$分成互不重叠的小几何体$V_1$,$\cdots$,$V_n$，它们的体积为$\Delta V_1$, $\cdots$, $\Delta V_n$，其上的质量近似为$\rho(M_i)\Delta V_i$，其中$M_i$为$V_i$内任意一点。则总质量就是

\[\displaystyle\sum_{i=1}^n\rho(M_i)\Delta V_i \]

的极限。

三重积分的定义与二重积分类似。

定义 1.
设$f(x,y,z)$是定义在有界集$V$上的有界函数。令

\[f_V(x,y,z)=\begin{cases} f(x,y,z) , & (x,y,z)\in V, \\ 0 , & (x,y,z)\in V^c \end{cases} \]

取三维区间$R\supset V$。用平行于坐标平面的平面把区间$R$分割成若干三维区间$R_i$， $\lambda$是所有$R_i$ 直径的最大值。如果存在常数$A$，使得对于任意的分割和任意的取值$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\in R_i$，都有

\[\lim_{\lambda\to0}\sum_if_V(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta x_i\Delta y_i\Delta z_i=A \]

则称$f(x,y,z)$在$V$上可积，$A$称为$f(x,y,z)$在$V$上的积分

记为

\[\iiint\limits_Vf_V(x,y,z)dxdydx, \mbox{或} \int_V f \]
  • 如果有界集$V$上的常值函数$f(x,y,z)=1$在$V$上可积，则称$V$是有体积的，积分$\int_V 1$就是$V$的体积。
  • 可以证明：若$V$是由有限张光滑曲面围成的有界区域，则$V$是有体积的。

注. 今后，不作特殊说明，总假定积分域是由有限张光滑曲面围成的有界区域。

定理 1.
$V$是由有限张光滑曲面围成的有界区域，$f(x,y,z)$是$V$上的函数。

（1） 若$f(x,y,z)$在$V$上可积，则$f(x,y,z)$在$V$上有界；

（2） 若$f(x,y,z)$在$V$上有界，且$f(x,y,z)$的不连续点分布在有限张光滑曲面上，则$f(x,y,z)$在$V$上可积。

  • 三重积分与二重积分的性质完全一样。前面所列的关于二重积分的性质，对三重积分也成立。

三重积分的累次积分法

类似于二重积分的累次积分，三重积分的计算可以化为累次积分。对于三维区间$R=I_1\times I_2\times I_3$

\[\begin{aligned} \iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz &=\iint\limits_{I_1\times I_2}dxdy\int\limits_{I_3}f(x,y,z)dx \\ &=\int\limits_{I_1}dx\int\limits_{I_2}dy\int\limits_{I_3}f(x,y,z)dx \\ &=\int\limits_{I_1}dx\iint\limits_{I_2\times I_3}f(x,y,z)dx \\ \end{aligned} \]
  • 三重积分还有其他积分次序! 选择合适的累次积分次序是十分重要的!

定理 2.
设$V$为$\mathbb{R}^3$中的有界闭域，$f(x,y,z)$是$V$上的连续函数。

(1) (“切细条法”)设$V$在平面$Oxy$上的投影为平面区域$D$，而$V$是由曲面

\[z=z_1(x,y), z=z_2(x,y) , z_1(x,y)\leq z_2(x,y), (x,y)\in D \]

以及以$\partial D$为准线且平行于$z$轴的柱面围成的，则

\[\iiint_V f(x,y,z)dxdydz=\iint_D dxdy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)dz \]

int3d-region-type-I

(2) (“切薄片法”)设$V$在$z$轴上投影为区间$I$，过$I$上一点$(0,0,z)$与$z$轴垂直的平面与$V$相交的平面图形在平面$Oxy$上的投影为区域$D_z$，则

\[\iiint_V f(x,y,z)dxdydz=\int_I dz\iint_{D_z}f(x,y,z)dxdy \]

int3d-region-type-II

int3d-region-type-II

$V$由$x_1\leq x\leq x_2$, $y_1(x)\leq y \leq y_2(x)$, $z_1(x,y)\leq z\leq z_2(x,y)$，则

\[\begin{aligned} \iiint\limits_V f(x,y,z)dxdydz &=\int_{x_1}^{x_2}dx\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)dx \\ &=\int_{x_1}^{x_2}dx\iint\limits_{S(x)}f(x,y,z)dydz \end{aligned} \]

其中$S(X)$是平面$x=X$截$V$得到的截断面

例 1. $V$由$x+y+z=1$，$x=0$, $y=0$, $z=0$围成

\[\iiint\limits_Vf(x,y,z)dxdydz \]

例 2. $V$由$x^2+y^2+z^2=1$，$x\geq 0$, $y\geq 0$, $z\geq 0$围成

\[\iiint\limits_V xyzdxdydz \]

例 3. $V$由$x^2+y^2=z^2$，$z=1$围成

\[\iiint\limits_V \sqrt{x^2+y^2} dxdydz \]

int3d-ex-tetrahedron int3d-ex-tetrahedron-ii

chap7-2-ex2

chap7-2-ex3

变量代换

设变换

\[\vec r: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) \]

fig7-2-uvw fig7-2-xyz

\[dxdydz=|(r'_udu \times r'_v dv)\cdot r'_w dw| \]

定理 3.
变换$r$

\[\begin{aligned} r:V'\to V , \begin{cases} x=x(u,v,w) \\ y=y(u,v,w) \\ z=z(u,v,w) \end{cases} \end{aligned} \]

将$O'uvw$空间中的区域$V'$一一映射为$Oxyz$空间中的区域$V$， 且$\left|{\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}\right|\neq0$，则有

\[\iiint\limits_Vf(x,y,z)dxdydz=\iiint\limits_{V'}f(x,y,z)\left|{\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}}\right| dudvdw \]

球坐标变换

\[\begin{cases} & x=r\sin\theta\cos\phi \\ & y=r\sin\theta\sin\phi \\ & z=r\cos\theta \end{cases} \]

fig7-2-spherecoord

\[\left|{\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\phi,\theta)}}\right|=r^2\sin\theta \]
\[\begin{aligned} \left|{ \begin{matrix} \sin\theta\cos\phi & r\sin\theta(-\sin\phi) & r\cos\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\sin\phi \\ \cos\theta & 0 & -r\sin\theta \end{matrix} }\right| \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} =\cos\theta(-r^2\sin\theta\cos\theta\sin^2\phi-r^2\cos\theta\sin\theta\cos^2\phi) \\ -r\sin\theta(r\sin^2\theta\cos^2\phi+r\sin^2\theta\sin^2\phi) \\ =-r^2\sin\theta\cos^2\theta-\sin\theta\sin^2\theta =-r\sin\theta \end{aligned} \]

椭圆坐标

\[\begin{cases} & x=ar\cos^{\beta}\psi\cos^{\alpha}\phi \\ & y=br\cos^{\beta}\psi\sin^{\alpha}\phi \\ & z=cr\sin^{\beta}\phi \end{cases} \]

其中$a$, $b$, $c$, $\alpha$, $\beta$为常数。则

\[\left|{\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\psi,\phi)}}\right|=abcr^2\alpha\beta\cos^{\alpha-1}\phi\sin^{\alpha-1}\phi\cos^{2\beta-1}\psi\sin^{\beta-1}\psi \]

柱坐标变换(cylindrical coordinates)

\[\begin{cases} & x=r\cos\phi \\ & y=r\sin\phi \\ & z=z \end{cases} \]

int3d-cylindrical-coordinates

\[\left|{\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\phi,z)}}\right|=r \]
\[\begin{aligned} \left|{ \begin{matrix} \cos\phi & -r\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & r\cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} }\right|=r \end{aligned} \]

例 4. $V$为$x^2+y^2+z^2=z$， 求积分

\[\iiint\limits_V\sqrt{x^2+y^2+z^2}dxdydz \]

例 5. $V$为$x^2+y^2=2z$与$z=2$所围成的区域，求

\[\iiint\limits_V(x^2+y^2)dxdydz \]

例 6. $V$为$z=ay^2$, $z=by^2$, $y>0$, $(0<a<b)$，$z=\alpha x$, $z=\beta x$, $(0<\alpha<\beta)$, $z=h$所围成，求

\[\iiint\limits_V x^2 dxdydz \]

5.

chap7-ex-2-5

6.

chap7-ex-2-6

例 7. 求$F'(t)$，

(1) $F(t)=\iiint\limits_{x^2+y^2+z^2\leq t^2}f(x^2+y^2+z^2)dxdydz$

(2) $F(t)=\iiint\limits_{0\leq x\leq t, 0\leq y\leq t, 0\leq z\leq t}f(xyz)dxdydz$

例 8. 求$V$的体积

(1) $V: (x^2+y^2+z^2)^3=3xyz$

(2) $x^2+y^2+z^2=a^2$, $x^2+y^2+z^2=b^2$, $x^2+y^2=z^2$ , $z\geq 0$所围成，其中 $b>a>0$

(3) $V: (\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2})^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$

(4) $z=x^2+y^2$, $z=2x^2+2y^2$, $xy=a^2$, $xy=2a^2$, $x=2y$, $2x=y$, 所围成

8. (1)

chap7-2-ex8-1

(3)

chap7-2-ex8-3

(4)

chap7-2-ex8-4

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谢谢

例 9. 本节读完

9.