3. 第一型曲线和曲面积分

多变量函数的积分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

第一型曲线和曲面积分

曲线的弧长

定义 1.
$L$是$\mathbb{R}^3$中的一条曲线，在$L$上依次从起点$A$到终点$B$取分点

\[A=P_0, P_1,\cdots, P_n=B \]

称为对曲线$L$的一个分割，记为$T$。 用线段连接$T$中的每相邻两点得到$L$的$n$条弦$P_{i-1}P_i$，这$n$条弦组成$L$的一条内接折线

chap7-3-curve

记

\[\|T\|=\max_{1\leq i\leq n}|P_{i-1}P_i| , s(T)=\sum_{i=1}^n|P_{i-1}P_i| \]

分别表示最长弦的长度与折线的总长度。

若

\[\lim_{\|T\|\to0}s(T)=s \]

则称$L$是可求长的，并将极限$s$称为$L$的弧长。即对$\forall \epsilon>0$, $\exists \delta>0$, 当$\|T\|<\delta$时，满足

\[|s(T)-s|<\epsilon, \]

定理 1.
$\mathbb{R}^3$中的曲线$L$有参数方程

\[\begin{cases} & x=x(t) \\ & y=y(t) \\ & z=z(t) \end{cases} , t\in[\alpha,\beta] \]

或$r=r(t), t\in[\alpha,\beta]$。若$L$为光滑曲线（即$x(t)$, $y(t)$, $z(t)$均有连续的导数，且不全为$0$），则$L$是可求长的，且弧长为

\[s=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2} dt \]

1

证明.

注. $L$的起点$P_0=(x(\alpha),y(\alpha),z(\alpha))$到动点$P(t)=(x(t),y(t),z(t))$的弧长为

\[s(t)=\int_\alpha^t \sqrt{(x'(\tau))^2+(y'(\tau))^2+(z'(\tau))^2}d\tau \]

因为$L$是光滑的，则$s(t)$可导，且

\[\frac{ds}{dt}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2} \]

则有

\[\begin{aligned} ds=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt \\ =\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2} \end{aligned} \]

称为弧长微元

注. 曲线$r=r(t)$中，$r(t)$到$r(t+dt)$的折线段可以由$r(t)$处的切线$r'(t)dt$来近似，即有

\[\begin{aligned} |r(t+dt)-r(t)|\approx & |r'(t)dt| \\ |r'(t)dt|=&\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt \end{aligned} \]

这样，所有折线段求和的极限就是

\[\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2} dt \]

而弧长微元$ds$就是函数$r(t)$的微分$dr$的模，即

\[ds=|dr|=|r'(t)|dt \]

通过对微元的分析，也可以得到弧长公式。相比于定理，这样的处理简单得多。用类似的方法，来讨论曲面面积

注. 当$L$光滑时，则

\[\frac{ds}{dt}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}>0 \]

所以，$s$是$t$的增函数。这样，存在反函数$t=t(s)$，且有

\[\dfrac{dt}{dx}=\frac1{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}} \]

将$t=t(s)$代入曲线方程

\[r=r(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x(t(s)) \\ y(t(s)) \\ z(t(s)) \end{pmatrix} =r(s) \]

方程$r=r(s), 0\leq s\leq s_0$（$s_0$为$L$的弧长）以弧长$s$为参数，称为曲线$L$的自然方程

由

\[\frac{dr}{ds}=\frac{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt}{\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt}=1 \]

有，在自然方程下，$r(s)$对$s$的微商是单位向量，是曲线$L$在点$r(s)$处的单位切向量，并指向弧长增加的方向。

若这个切向量的方程余弦为$(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$，则有

\[\frac{dx}{ds}=\cos\alpha, \frac{dy}{ds}=\cos\beta, \frac{dz}{ds}=\cos\gamma \]

例 1. 求螺旋线

\[\begin{cases} & x=R\cos t \\ & y=R\sin t \\ & z=kt \end{cases} , t\in[0,2\pi] \]

的弧长。

1.

第一型曲线积分

把区间上的定积分推广到平面或空间曲线上的积分

$L$为$\mathbb{R}^3$上可求长曲线，其上分布密度为$f(x,y,z)$的物质，求总质量。

fig7-3-curve-intg

从$A$到$B$依次插入$A=A_0,A_1,\cdots,A_n=B$，将$L$分为$n$小段。记第$i$段弧长为$\Delta s_i$，在第$i$上任取一点$M_i$，则第$i$段的质量近似为$f(M_i)\Delta s_i$，所以总质量近似为

\[\sum_{i=1}^n f(M_i)\Delta s_i \]

这个Riemann和的极限就是$L$的总质量了。

定义 2.
$L$为$\mathbb{R}^3$上可求长曲线，$f(x,y,z)$定义在$L$上。用$A_0,A_1,\cdots,A_n$把$L$分为$n$段，第$i$段弧长为$\Delta s_i$， $M_i$为第$i$段上任一点，Riemann和

\[S(f,M)=\sum_{i=1}^nf(M_i)\Delta s_i \]

记$\lambda=\max \Delta s_i$，若极限

\[\lim_{\lambda\to 0}S(f,M) \]

存在，且与$M_i$的选取无关。则称此极限为$f(x,y,z)$在曲线$L$上的第一型积分，记为

\[\int_Lf(x,y,z)ds=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(M_i)\Delta s_i \]

定理 2.
光滑曲线$L$的参数方程

\[r(t)=\begin{cases} & x=x(t) \\ & y=y(t) \\ & z=z(t) \end{cases} t\in [\alpha,\beta] \]

$f(x,y,z)$为定义在$L$上的连续函数，则$f(x,y,z)$在曲线$L$上的第一型曲线积分存在，且

\[\begin{aligned} &\int_Lf(x,y,z)ds \\ &=\int_{\alpha}^{\beta}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt \end{aligned} \]

证明.

注. 对于平面曲线$y=y(x)$, $x\in[a,b]$，有

\[\int_Lf(x,y)ds=\int_a^b f(x,y(x))\sqrt{1+(y'(x))^2}dx \]

注. 极坐标下的平面曲线$r=r(\theta)$, $\theta\in[\alpha,\beta]$，有

\[\begin{cases} & x=r(\theta)\cos\theta \\ & y=r(\theta)\sin(\theta) \end{cases} \]

则

\[\int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(r,\theta)\sqrt{r(\theta)^2+(r'(\theta))^2}d\theta \]

例 2. 计算第一型曲线积分

\[\int_L\sqrt{x^2+y^2}ds \]

其中$L$为圆周$x^2+y^2=ax$, $a>0$

例 3. 计算

\[\int_L |y|ds \]

其中，$L$为双纽线 $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$

[#ex7-1-2].

例 4. 计算

\[\int_L (x^{\frac43}+y^{\frac43})ds \]

其中，$L$为内摆线 $x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}$

例 5. 计算

\[\int_L x^2ds \]

其中，$L$为圆周 $x^2+y^2+z^2=a^2$, $x+y+z=0$

5.

曲面面积

$S$为$\mathbb{R}^3$空间中的曲面，其参数方程为

\[r=r(u,v)=\begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix} , (u,v)\in D \]

若$S$光滑（$x(u,v),y(u,v),z(u,v)\in C^1$且$|r'_u\times r'_v|\neq0$）。前面已经得到面积微元为

\[|r'_u\times r'_v|dudv \]

则$S$的面积为

\[S=\iint\limits_D |r'_u\times r'_v|dudv \]

由

\[\begin{aligned} |r'_u\times r'_v|^2=(r'_u\times r'_v) \cdot (r'_u\times r'_v) \\ =(r'_u)^2(r'_v)^2-(r'_u\cdot r'_v)^2 \end{aligned} \]

记

\[\begin{aligned} E=(r'_u)^2=(x'_u)^2+(y'_u)^2+(z'_u)^2 \\ G=(r'_v)^2=(x'_v)^2+(y'_v)^2+(z'_v)^2 \\ F=r'_u \cdot r'_v =x'_u x'_v+ y'_u y'_v+ z'_u z'_v \end{aligned} \]

则

\[S=\iint\limits_D \sqrt{EG-F^2}dudv \]
\[ds=\sqrt{EG-F^2}dudv \]

注. $S$为平面，则

\[r=r(u,v)=\begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ 0 \end{pmatrix} , (u,v)\in D \]

则

\[|r'_u\times r'_v|=\left|{\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right| \]
\[ds=\left|{\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right|dudv \]

注. $S$为显式曲面$s: z=f(x,y)$，则

\[r=r(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ f(x,y) \end{pmatrix} , (x,y)\in D \]

则

\[E=1^2+(z'_x)^2 , G=1^2+(z'_y)^2, F=z'_x z'_y \]

这样，

\[ds=\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy \]
\[S=\iint\limits_D \sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy \]

注. 隐式曲面， $F(x,y,z)=0$，且$F'_z\neq0$，则

\[z'_x=-\frac{F'_x}{F'_z} , z'_y=-\frac{F'_y}{F'_z} \]

则

\[s=\iint\limits_D\frac{\sqrt{(F'_x)^2+(F'_y)^2+(F'_z)^2}}{|F'_z|}dxdy \]

例 6. 求半径为$R$的球的表面积

6.

第一型曲面积分

定义 3.
$S\in\mathbb{R}^3$为一可求面积的曲面，$f(x,y,z)$定义在$S$上。将$S$任意分为$n$块小曲面$S_1,S_2,\cdots,S_n$，每块面积为$\Delta S_i$。$\forall M_i\in S_i$， Riemann和

\[R(M,f)=\sum_{i=1}^n f(M_i)\Delta S_i \]

记所有小曲面的最大半径为$\lambda$，若$\lim_{\lambda\to0}R(M,f)$存在，且与$M_i$的选取无关，则称$f(x,y,z)$在曲面$S$上的第一型曲面积分存在，记为

\[\iint\limits_S f(x,y,z)ds=\lim_{\lambda\to0}R(M,f) \]

定理 3.
$\mathbb{R}^3$中曲面$S$有参数方程

\[r(u,v)=\begin{cases} & x=x(u,v) \\ & y=y(u,v) \\ & z=z(u,v) \end{cases} , (u,v)\in D \]

$D$为$Ouv$平面的有界闭区域。若$f(x,y,z)$在$S$上连续，则$f(x,y,z)$在$S$上的第一型曲面积分存在，且

\[\begin{aligned} \iint\limits_S f(x,y,z)ds=\iint\limits_D f(x,y,z) |r'_u\times r'_v|dudv \\ =\iint\limits_D f(x,y,z) \sqrt{EG-F^2}dudv \\ \end{aligned} \]

注. 若$S$为显式曲面$z=f(x,y)$， $(x,y)\in D$，则

\[\begin{aligned} &\iint\limits_S f(x,y,z)ds \\ &=\iint\limits_D f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy \end{aligned} \]

例 7. 积分

\[\begin{aligned} \iint\limits_S (x^2+y^2+z^2)ds , \iint\limits_P (x^2+y^2+z^2)ds \\ \end{aligned} \]

其中$S: x^2+y^2+z^2=a^2$，为球面 ；

$P: x+y+z=a$在第一象限部分

例 8. 求积分

\[\iint\limits_S zds \]

$S$为曲面$x^2+z^2=2az$, $a>0$被曲面$z=\sqrt{x^2+y^2}$所割下的部分

8.

chap7-3-ex-8

例 9. 求积分

\[\iint\limits_S (xy+yz+zx)ds \]

$S$为曲面$z=\sqrt{x^2+y^2}$的锥面被$x^2+y^2=2ax$所割下的部分

例 10. 求摆线

\[\begin{cases} & x=a(t-\sin t) \\ & y=a(1-\cos t) \end{cases} , t\in[0,\pi] \]

的重心

9.

chap7-3-ex-9

[#ex7-3-10].

目录

本节读完

例 11. $S$为柱面$x^2+y^2=1$在$z=0$, $z=2$之间的部分，求

\[\iint_S\frac{y+z}{x^2+y^2+z^2}dS \]

例 12. $L$为连接点$A(-2,1)$与原点$O$的线段和圆周$x^2+y^2=-2y$第四象限的部分，求

\[\int_L \sqrt{x^2+y^2}ds \]

11.