5. 第二型曲线积分与Green公式

多变量函数的积分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

第二型曲线积分与Green公式

第二型曲线与曲面积分与第一型的区别在于，曲线与曲面是有方向的。

定向曲线

定向曲线是一条通常的曲线但还带有前进的方向，有起点和终点。

$L$的方程

\[r=r(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} , t\in[\alpha,\beta] \]

$A=r(\alpha)$, $B=r(\beta)$。

  • 定向曲线$L_{AB}$，参数$t$由$\alpha$增加到$\beta$，习惯上称为正方向；
  • 定向曲线$L_{BA}$，参数$t$由$\beta$减少到$\alpha$，习惯上称为负方向。

若$L$为光滑曲线，$r'(t)$为$L$的切向量，则它指向$t$增加的方向。这样的话，

  • 单位切向量$\tau=\frac{r'(t)}{|r'(t)|}$指向$L$的正方向，
  • 单位切向量$\tau=-\frac{r'(t)}{|r'(t)|}$指向$L$的负方向，

若$L$是封闭曲线，习惯上，称逆时针方向为正方向。此时，$L$围成的区域在$L$行进方向的左边。

第二型曲线积分

空间域中有向量值函数$\vec F(M)$, $M\in V$，如：电场、力场。$L_{AB}\subset V$为光滑曲线。质点沿$AB$运动，求力$\vec F$对它做的功。

把$L_{AB}$分为$n$小段，记第$i$段弧长为$\Delta s_i$，在第$i$上任取一点$M_i$，则力$F$在第$i$段做的功近似为$f(M_i)\cdot\Delta r_i$，其中

\[\Delta \vec r_i=\overrightarrow{A_{i-1}A_{i}}=r_{i}-r_{i-1} \]

Riemann和为

\[\sum_{i=1}^n \vec F(M_i)\cdot\Delta \vec r_i \]

fig7-5-curve-integ2

定义 1.
$L_{AB}$为$\mathbb{R}^3$中定向曲线，$r$为$L$上点的向量，$\vec F=\vec F(M)$为$L$上的向量场。用分点$\{A_i\}$将$L_{AB}$分成$n$段。令$\Delta \vec r_i=r_{i}-r_{i-1}$，任取第$i$段弧上的点$M_i$，作Riemann和

\[S=\sum_{i=1}^n\vec F(M_i)\cdot\Delta \vec r_i \]

记第$i$段弧的长为$\Delta s_i$，若$\displaystyle\lambda=\max_{1\leq i\leq n}\Delta s_i\to 0$时，$S$的极限存在，且与分点$\{A_i\}$及取点$\{M_i\}$都无关，则称这个极限为$F$在定向曲线$L_{AB}$上的第二型曲线积分，记为

\[\int_{L_{AB}}\vec F\cdot d\vec r=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n\vec F(M_i)\cdot\Delta \vec r_i \]

式中，$d\vec r=(dx,dy,dz)$为向量值函数的微分。

当$L$为封闭曲线时，$\displaystyle \int_L\vec F\cdot d\vec r$称为向量场沿回路$L$的环量，记为$\displaystyle\oint_L\vec F\cdot d\vec r$。

设$\vec F=(P,Q,R)$，则

\[\vec F\cdot d\vec r=Pdx+Qdy+Rdz \]

这样，第二型曲线积分又可以记为

\[\int_{L_{AB}}\vec F\cdot d\vec r=\int_{L_{AB}} Pdx+Qdy+Rdz \]

若$Q=R=0$，则记为$\displaystyle \int_{L_{AB}}Pdx$

若$L$光滑，且有参数方程

\[\vec r(t)=\begin{cases} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{cases}, t\in[\alpha,\beta] \]

则$d\vec r=(x'(t),y'(t),z'(t))dt$。这样，有

\[\int_{L_{AB}}F\cdot dr=\int_{\alpha}^{\beta}\vec F(x(t),y(t),z(t))\cdot \vec r'(t) dt \]

记$L$上的单位切向量为

\[\vec \tau=\frac{\vec r'(t)}{|\vec r'(t)|} \]

与曲线$L$的方向一致。由$L$上的弧长微分$ds=|\vec r'(t)|dt$，则

\[\vec \tau=\frac{\vec r'(t)}{ds}{dt}=\frac{d\vec r}{ds} \]
\[d\vec r=\vec r'(t)dt=\vec \tau|\vec r'(t)|dt=\vec \tau ds \]

记$d\vec s=\vec \tau ds$(=$d\vec r$)，称为有向弧长微元。

由$d\vec r=\vec \tau ds$，有

\[\int_{L_{AB}}\vec F\cdot d\vec r=\int_{L_{AB}}\vec F\cdot\vec \tau ds \]
  • 第二型积分就是向量场关于曲线有向弧长元素投影的积分，而$\displaystyle\int_{L_{AB}}\vec F\cdot\vec \tau ds$就是函数$\vec F\cdot\vec \tau$在$L$上的第一型曲线积分。

性质

(1) 线性

\[\int_{L_{AB}}(c_1F_1+c_2F_2)\cdot dr=c_1\int_{L_{AB}}F_1\cdot dr+c_2\int_{L_{AB}}F_2\cdot dr \]

特别地，有

\[\int_{L_{AB}}F\cdot dr=\int_{L_{AB}}Pdx+\int_{L_{AB}}Qdy+\int_{L_{AB}}Rdz \]

(2) 积分曲线可加性 $L_{AC}$是由$L_{AB}$与$L_{BC}$连接而成，则

\[\int_{L_{AC}}F\cdot dr=\int_{L_{AB}}F\cdot dr+\int_{L_{BC}}F\cdot dr \]

(3) 方向性

\[\int_{L_{AB}}F\cdot dr=-\int_{L_{BA}}F\cdot dr \]

(4) 若

\[L:\begin{cases} & x=c \\ & y=y(t) \\ & z=z(t) \end{cases} \]

位于垂直于$x$轴的平面上，则

\[\int_LPdx=0 \]

物理上来说：若力与运动方向是垂直的，则做功为$0$

(5) 若$L$在$x$轴上，为$x$轴闭区间，则

\[\int_{L_{AB}}F\cdot dr=\int_a^b P(x,0,0)dx \]

(6) 若$L_{AB}: y=y(x), x\in[a,b]$，则

\[\int_{L_{AB}}Pdx=\int_a^b P(x,y(x)dx \]

例 1. $C$为$ y=x^2 , x\in[-1,1]$，求

\[\int_C (x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy \]

例 2. $O$为原点，$A=(1,2)$，求

\[\int_{OA} xdy-ydx \]

(1) $OA$为直线，$y=2x$

(2) $OA$为抛物线， $y=2x^2$

(3) $OA$为两段折线，$OB: y=0$和$BA: x=1$

1.

例 3. $C$的方程为

\[\begin{cases} & x^2+y^2+z^2=a^2 \\ & x^2+y^2=ax \end{cases} , z\geq0, a>0 \]

求曲线积分

\[\int_C y^2dx+z^2dy+x^2dz \]

3.

Green公式

定义 2.
$D$为平面区域，如果$D$中任意一条简单闭曲线（自身不相交，首尾相连）的内部都包含在$D$内，则称$D$为单连通区域，否则称为多连通区域

定理 1.
$D$是由分段光滑闭曲线$L$围成的平面单连通区域，函数$P(x,y)$, $Q(x,y)$在$D$上有一阶连续偏导数，则有

\[\oint_L Pdx+Qdy=\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \]

其中$L$的方向为：沿此方向行进时，区域$D$始终在左侧。习惯上称为正方向

证明.

green-domain-i

green-domain-ii

green-domain-iii

green-domain-iv

green-domain-v

Green公式对多连通域同样成立。此时，规定边界上的正方向为，沿边界走，区域在左侧。则有

\[\oint_{\partial D} Pdx+Qdy=\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \]

green-domain-multi

  • 在一定条件下，沿平面区域的边界的第二型曲线积分，可以转化成在这个区域上的二重积分

$D$的面积，可以写成

\[A=\iint_D dxdy=\oint_Lxdy=\oint_L(-y)dx \]

这样，有

推论 1.
设$D$是满足Green公式的平面区域，则其面积$A$为

\[A=\oint_Lxdy=-\oint_L y dx=\frac12\oint_L xdy-ydx \]

若$L$的参数方程为$x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in[\alpha,\beta]$，则

\[A=\frac12\left|{ \int_{\alpha}^{\beta} [x(t)y'(t)-y(t)x'(t)]dt }\right| \]

例 4. $C$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$沿逆时针方向，求

\[\oint_C (x+y)dx+(x-y)dy \]

例 5. $C$为圆$x^2+y^2=a^2$沿逆时针方向，求

\[\oint_C \frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2} \]

例 6.

\[\oint_C \sqrt{x^2+y^2}dx+y(xy+\ln(x+\sqrt{x^2+y^2}))dy \]

11.

例 7. 曲线$AmO$为点$A=(a,0)$到点$O=(0,0)$的上半圆周$x^2+y^2=ax$，求

\[\int_{AmO}(e^x\sin y-my)dx+(e^x\cos y-m)dy \]

7.

例 8. 求面积$A=\frac12\oint_c xdy-ydx$

(1) 椭圆

\[\begin{cases} & x=a\cos t\\ & y=b\sin t \end{cases} , t\in[0,2\pi] \]

(2) 星形线

\[\begin{cases} & x=a\cos^3 t\\ & y=b\sin^3 t \end{cases} , t\in[0,2\pi] \]

(3) 双纽线 $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$

11.

例 9. 求外摆线（$m<1$为外圆与内圆的半径比）的一拱与对应的圆弧所围成的图形的面积

\[\begin{cases} x=a[(1+m)\cos(mt)-m\cos(1+m)t] \\ y=a[(1+m)\sin(mt)-m\sin(1+m)t] \end{cases} \]

ex7-5-waibai

例 10. 求笛卡尔叶形线围成的面积

\[x^3+y^3=3axy \]

ex7-5-descartes

参数化，令$y=tx$，有

\[x=\frac{3at}{1+t^3}, y=\frac{3at^2}{1+t^3} \]

ex7-5-descartes-p

目录

例

例 11. 本节读完

11.

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