6. 第二型曲面积分

多变量函数的积分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

第二型曲面积分

物理背景： $V$中流体每一点有速度$\vec v$，若有曲面$S\subset V$，则流过$S$的流体有多少？

曲面的定向

  • 曲面的两侧。取定一个法向量$\vec n$，连续走遍整个曲面，且不越过边界，这样就得到与这个法向量同侧的全体法向量；用$-\vec n$走遍整个$S$就可以得到另一侧。这样，把两侧分开

    dir-surface-1

  • Mobius带是单侧的曲面。只讨论双侧曲面

    mobius

  • 对双侧曲面，取定一侧为正侧，这种取定正侧的曲面，又称为定向曲面

    dir-surface-2

  • 显式曲面，参数曲面，可以利用法向量来定义双侧。
    1. 显式曲面$z=f(x,y)$，$(x,y)\in D$。则有单位法向量
      \[\vec n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) =\pm\frac1{\sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2}}(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1) \]
      取正号，则有$\cos\gamma>0$（表明与$z$轴的夹角为锐角），即为通常所说的曲面的上侧。取负号，就曲面的下侧。
    2. 参数曲面
      \[x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), (u,v)\in D \]
      有法向量
      \[\vec n=\pm(\frac{\partial (y,z)}{\partial(u,v)},\frac{\partial (z,x)}{\partial(u,v)},\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}) \]
      正号表示一侧，负号表示另一侧
  • 对于封闭曲面，通常把两侧分为内侧与外侧
  • 对于拼接的曲面$S$（由有限多块曲面拼接，任意两块至多只相交于边界上的一段曲线，任意三块或更多曲面至多只能相交于一点）。
    1. 第一块都应该是可定向的，当其中一块定义了正方向后，它的边界也定义好了方向，规则是： 在正侧沿边界正向走，曲面片在左手（此时，称曲面的定向与边界的定向是协调的）。
    2. 如果有两个曲面片有一段公共的边界，它们各自的定向使得在它们公共边界上的定向正好相反，那么这两块曲面片的定向也称为协调的。
    3. 把协调的曲面片的正向作为$S$的正向。

第二型曲面积分

$S$为双侧曲面，取定一侧为正，对应单位法向量

\[\vec n=(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) \]

设向量函数

\[\vec v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) \]

求单位时间从$S$的负侧流向正侧的流量。

将$S$分成小块$S_1$, $S_2$, $\cdots$, $S_n$，每块面积$\Delta S_i$。 取$M_i\in S_i$，有法向量$\vec n(M_i)$，速度$\vec v(M_i)$，则单位时间流量为

\[\vec v\cdot\vec n\Delta S_i \]

总流量的Riemann和

\[\sigma=\sum_{i=1}^n \vec v(M_i)\cdot\vec n(M_i)\Delta S_i \]

dir-surface-flow

电场的电通量，磁场的磁通量也可以一样计算

定义 1.
$\vec v(M)$定义在$\mathbb{R}^3$中区域$V$的一个向量场，$S$是$V$中一张光滑的指定了正侧的双侧曲面，$\vec n(M)$为$S$上指向正侧的单位法向量。 用任意分法将曲面分为$S_1$, $S_2$, $\cdots$, $S_n$，并记面积为$\Delta S_i$。取$M_i\in S_i$，做Riemann和

\[\sigma=\sum_{i=1}^n \vec v(M_i)\cdot\vec n(M_i)\Delta S_i \]

记$\lambda$为曲面块$S_i$的最大直径。 若$\lim\limits_{\lambda\to0}\sigma$存在，且与$M_i$, $S_i$的取法无关，则称这个极限为$\vec v$在$S$上的第二型曲面积分，记为

\[\iint_S \vec v \cdot \vec n dS \]

特性：

（1） 场的线性

\[\iint_S(c_1\vec v_1+c_2\vec v_2)\cdot\vec ndS=c_1\iint_S \vec v_1 \cdot \vec n dS+c_2\iint_S \vec v_2 \cdot \vec n dS \]

（2） 积分曲面的可加性， $S$由曲面$S_1$和$S_2$拼接而成，则

\[\iint_S\vec v\cdot\vec ndS=\iint_{S_1} \vec v \cdot \vec n dS+\iint_{S_2} \vec v \cdot \vec n dS \]

（3） 曲面的方向性。若$S^-$和$S^+$表示曲面的两侧，则

\[\iint_{S^-} \vec v \cdot \vec n dS=\iint_{S^+} \vec v \cdot \vec n dS \]
  • 记$d\vec S=\vec n dS$，模长为$dS$，方向与正法向量$\vec n$的方向一致，称为有向面积元。这样，第二型曲面积分又可以写为
    \[\iint_{S} \vec v \cdot \vec n dS=\iint_{S} \vec v \cdot d\vec S \]
  • 设$\vec v=(P,Q,R)$，正法向量
    \[\vec n=(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) \]
    则第二型积分可以写成
    \[\iint_{S} \vec v \cdot \vec n dS=\iint_S(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS \]
    记
    \[dydz=\cos\alpha dS, dzdx=\cos\beta dS, dxdy=\cos\gamma dS \]
    则得到第二型曲面积分的一个普遍使用的记法
    \[\iint_{S} \vec v \cdot \vec n dS=\iint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy \]
  • 若$S\perp z$轴，则
    \[\iint_{S} \vec v \cdot \vec n dS=\iint_S Rdxdy \]
  • 若$S$平行于$x$轴，则它在$Oyz$面上投影为线，面积为$0$，则有
    \[\iint_SPdydz=0 \]
    同样，若$S$平行于$y$轴，则
    \[\iint_SQdzdx=0 \]
    若$S$平行于$z$轴，则
    \[\iint_SRdxdy=0 \]
  • 若光滑曲面有参数方程
    \[\vec r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v)\in D \]
    则$S$的单位法向量为
    \[\vec n=\pm\frac{r'_u\times r'_v}{|r'_u\times r'_v|} \]
    其中符号的选择，应使得上式右边与曲面$S$的指定正侧一致。由
\[dS=|r'_u\times r'_v|dudv \]

则

\[\iint_S \vec v\cdot\vec ndS=\pm\iint_D \vec v\cdot(r'_u\times r'_v)dudv \]
\[\begin{aligned} \iint_S \vec v\cdot\vec ndS= & \pm\iint_D\left|{ \begin{matrix} P & Q & R \\ x'_u & y'_u & z'_u \\ x'_v & y'_v & z'_v \end{matrix} }\right|dudv \\ =& \pm\iint_D \left[P\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}+Q\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}+R\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right]dudv \end{aligned} \]
  • 对显式曲面$z=f(x,y), (x,y)\in D$， 有
    \[\iint_S\vec v\cdot \vec n dS=\pm\iint_D(-Pf'_x-Qf'_y+R)dxdy \]
    特别地，
    \[\iint_S Rdxdy=\pm\iint_DR(x,y,f(x,y))dxdy \]

例 1. $S$是顶点为$(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$的三角形的上侧，求

\[\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy \]

例 2. $S$为球$x^2+y^2+z^2=a^2$的外表面，求

\[\iint_S zdxdy \]

例 3. $S$为锥$x^2+y^2=z^2$, $0\leq z\leq h$的外表面，求

\[\iint_S (y-z)dydz+(z-x)dxdz+(x-y)dxdy \]

Gauss公式

定理 1.
$V$由分片光滑的双侧封闭曲面$S$围成。函数$P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$, $R(x,y,z)$在$V$中有一阶连续偏导数，则

\[\begin{aligned} \iint_S Pdydz+&Qdzdx+Rdxdy= \\ &\iiint_V(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz \end{aligned} \]

三维区域的体积，同样可以写成

\[\begin{aligned} V=&\iint_S xdydz=\iint_S ydzdx=\iint_S z dxdy \\ =&\frac13\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy \end{aligned} \]

证明. gauss-domain

例 4. $S$为球壳$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$，求

\[\iint_S x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy \]

例 5. $S$为立方体$0\leq x\leq a$, $0\leq y\leq a$, $0\leq z\leq a$的外表面，求

\[\iint_S x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy \]

例 6. $S$为球$x^2+y^2+z^2=a^2$外侧，求

\[\iint_S x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy \]

11.

例 7. $S$为某个三维体$V$的外表面，求

\[\iint_S xydydz+yzdzdx+zxdxdy \]

例 8. $S$为某个三维体$V$的外表面，求

\[\iint_S (y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy \]

Stokes 公式

定理 2.
$S$是以曲线$L$为边界的分片光滑的定向曲面。若$P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$, $R(x,y,z)$定义在某个含$S$的空间区域上，且有一阶连续偏导数，则

\[\begin{aligned} \oint_L Pdx+Qdy+Rdz & \\ =\iint\limits_S(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz&+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx \\ &+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \\ \end{aligned} \]

其中$L$的正方向与$S$的正向符合右手法则

写成矩阵形态，

\[\oint_L Pdx+Qdy+Rdz=\iint\limits_S \left|{\begin{matrix} \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \\ dydz & dzdx & dxdy \end{matrix}}\right| \]

证明.

例 9. $C$为平面

\[\begin{cases} & x^2+y^2+z^2=a^2 \\ & x+y+z=0 \end{cases} \]

$Oz$轴正向看，逆时针。求

\[\oint_C ydx+zdy+xdz \]

例 10. $C$为平面$x+y+z=\frac32a$切立方体$0\leq x\leq a$, $0\leq y\leq a$, $0\leq z\leq a$得到的曲线，求

\[\oint_C(y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy+(x^2-y^2)dz \]

11.

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谢谢

例 11. 本节读完

11.