7. 场论

多变量函数的积分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

场论

场的概念

定义 1.
场：一个物理量在空间的分布称为该物理量的场

场分为数量场和向量场。

数量场对应$V$上的三元函数$u=u(M) , M\in V$

向量场对应$V$上的向量值函数$\vec v=\vec v(M), M\in V$

数量场的梯度

$u(M)$是$V$中的数量场，$M_0$是$V$中的一点，$L$是从$M_0$出发的一条射线，它的方向用$\vec l$来表示。则$u$沿方向$\vec l$的变化为

\[\frac{u(M)-u(M_0)}{|M_0M|} \]

当$M$沿$L$移向$M_0$的极限存在，就称这相极限是数量场$u$在$M_0$处沿方向$\vec l$的方向导数，记为 $\frac{\partial u}{\partial \vec l}|_{M_0}$，即

\[\frac{\partial u}{\partial \vec l}|_{M_0}=\lim_{M\to M_0}\frac{u(M)-u(M_0)}{|M_0M|} \]

$\frac{\partial u}{\partial x}$是$u$沿$x$轴正向的方向导数。

定理 1.
数量场$u$在点$M_0$处可微，则$u$沿任何方向的方向导数都存在，且有

\[\left.\frac{\partial u}{\partial \vec l}\right|_{M_0}=\left.\left(\frac{\partial u}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial u}{\partial y}\cos\beta+\frac{\partial u}{\partial z}\cos\zeta\right)\right|_{M_0} \]

其中$cos\alpha$, $\cos\beta$, $\cos\zeta$是$\vec l$的方向余弦

注.

\[\frac{\partial u}{\partial \vec l}=(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})\cdot(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\zeta) \]

注. 平面上的数量场$u(x,y)$同样有

\[\frac{\partial u}{\partial \vec l}=(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y})\cdot(\cos\alpha, \cos\beta) \]

证明.

定义 2.
数量场$u$在点$M$处的梯度(gradient)是一个向量，记为$\mbox{grad}\ u$或$\nabla u$，它的大小是数量场$u$在点$M$处所有方向导数的最大值，它的方向是取到这个最大值所沿的方向

设$\vec l^0=(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\zeta)$是$\vec l$的单位向量， $\vec g=(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})$，则

\[\frac{\partial u}{\partial \vec l}=\vec g\cdot\vec l^0=|g|\cos\theta \]

其中$\theta$是$\vec g$与$\vec l$的夹角。显然$\theta=0$时，方向导数取最大值。 所以

\[\mathop{grad} u=(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}) \]

梯度，是数量场到向量场的映射，

  • $\mathop{grad}(c_1u_1+c_2u_2)=c_1\mathop{grad} u_1+c_2\mathop{grad} u_2$
  • $\mathop{grad}(u_1 u_2)=u_1\mathop{grad} u_2+u_2\mathop{grad} u_1$
  • $\mathop{grad} f(u)=f'(u)\mathop{grad} u$

物理意义： 大气沿着压强$p$减小最快的方向流动，也就是$-\mathop{grad} p$的方向；热量沿着温度$T$下降最快的方向$-\mathop{grad} T$传导。

几何意义： 曲面$u(x,y,z)=c$在$(x,y,z)$处的法向量为$(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z})$，它正好是数量场$u$在$(x,y,z)$处的梯度。这说明，数量场在一点的梯度垂直于该处的等值面，并指向数量场增加的方向。

chap7-grad-1 chap7-grad-2

例 1. 场$u=x^3+y^3+z^3-3xyz$的梯度，并给出梯度为$0$的区域。

1.

向量场的散度

物理背景： 某流体流过空间区域$G$，速度场为$\vec v$。$S$是$G$中的封闭曲面，方向指向外侧，则流体通过曲面的通量为

\[N=\iint_S \vec v\cdot\vec ndS \]

表示单位时间内流体从$S$内部向外流出的流量。在任意点$M$的附近围绕$M$作封闭曲面$S$，把通过$S$的流量与$S$所围成的区域$V$的体积$|V|$相比较，并考虑当$V$无限收缩于点$M$时的极限

\[\lim_{V\to M}\frac{1}{|V|}\iint_S \vec v\cdot \vec n dS \]

它表示点$M$处单位体积内产生的流量，称为$M$处的源密度。

定义 3.
$\vec v$是区域$G$上的向量场， $M$是$G$内一点。在$G$中围绕$M$作任意的闭曲面$S$，$V$是$S$围成的闭区域，其体积为$|V|$，$\vec n$是$S$外侧的单位法向量。如果区域$V$无限收缩于点$M$时，比值

\[\frac1{|V|}\iint_S\vec v\cdot\vec ndS \]

的极限存在，就称该极限为向量场$\vec v$在点$M$处的散度(Divergence)，记为$\mathop{div} \vec v$。

设向量场$\vec v=(P, Q, R)$，其中$P$, $Q$, $R$在空间区域$G$中有连续的一阶偏导数。则有

\[\mathop{div} \vec v=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \]

chap7-div

利用散度的定义，Gauss公式可以表示为

\[\iint_S\vec v\cdot\vec ndS=\iiint_V \mathop{div} \vec vdV \]

上式给出了高斯公式的物理学解释：单位时间流出闭曲面 $S$ 的流量等于区域 $V$ 内每一点源和汇的总和。有时，也称高斯公式为散度公式!

定义 4.
若有$\mathop{div} v=0$在整个区域$V$内每一点成立，则称$\vec v$为无源场。

对于无源场，若闭曲面$S$的内部均在$G$中，则有

\[\iint_S \vec v\cdot\vec n dS=0 \]

散度的运算规则：

  • $\mathop{div}(c_1\vec v_1+c_2+\vec v_2)=c_1\mathop{div} \vec v_1+c_2\mathop{div}\vec v_2$
  • $\mathop{div}(u\vec v)=u\mathop{div}\vec v+\mathop{grad} u\cdot\vec v$，$u$为数量场

例 2. $u$为数量场，求$\mathop{div} \nabla u$

例 3. 向量场$\vec E=\frac{q\vec r}{r^3}$的散度。

2.

向量场的旋度

$\vec v$是区域$V$中的向量场，$M\in V$是任一点，$\vec n$为$M$处的单位向量。在$V$内过$M$作任意光滑的且与$\vec n$垂直的曲面元$S$，面积为$\Delta S$，边界为分段光滑的闭曲线$L$。取$L$的环形方向与$\vec n$组成右手系。当$S$无限缩于点$M$，而$\vec n$保持不变时，平均环量

\[\frac1{\Delta S}\oint_L\vec v\cdot\vec \tau ds \]

的极限存在，称这个极限为$\vec v$在点$M$处绕方向$\vec n$的涡量，记为$\Omega_n(M)$，并且把这些涡量的最大值以及取到最大值的方向所构成的一个向量称为向量场$\vec v$在点$M$的旋度，记为$(\mathop{rot} \vec v)_M$

chap7-vorticity

向量场的涡量

若$\vec v=(P,Q,R)$，且$P$, $Q$, $R$在空间区域$G$中有连续的一阶偏导数，则

\[\mathop{rot}\vec v=\left|{\begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{matrix} }\right| \]

Stokes公式又可以写为

\[\oint_L\vec v\cdot\vec\tau ds=\iint_S\mathop{rot}\vec v\cdot\vec n dS \]

当向量场$\vec v$在区域$V$内每一点的旋度为$0$，则称$\vec v$为无旋场。

在无旋场中，若$L$为定义域某曲面的边界，则

\[\oint_L \vec v\cdot\vec \tau ds=0 \]

旋度的运算规则：

  • $\mathop{rot}(c_1\vec v_1+c_2\vec v_2)=c_1\mathop{rot} \vec v_1+c_2\mathop{rot}\vec v_2$
  • $\mathop{rot}(u\vec v)=u\mathop{rot}\vec v+\mathop{grad} u\times\vec v$

例 4. $\vec r=(x,y,z)$，求$\mathop{rot}\vec r$, $\mathop{rot}(f(r)\vec r)$

例 5. $rot(\nabla u)$， $u$为数量场

4.

保守场与势函数

定义 5.
设$\vec v$为区域$V$的连续向量场，若$\vec v$沿任意闭路的环量为$0$，则称$\vec v$是区域$V$的保守场

由定义，可以得到如下定理

定理 2.
$\vec v$为$V$的连续向量场，则$\vec v$为区域$V$的保守场的充要条件为$\vec v$在$V$内的曲线积分与路径无关。

保守场$\vec v=(P,Q,R)$，$P$, $Q$, $R$在$V$中连续。则

\[\phi(x,y,z)=\int_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)}Pdx+Qdy+Rdz \]

有意义，表示沿任一条起点$(x_0,y_0,z_0)$到终点$(x,y,z)$的路径的第二型积分。

可以得到

\[\frac{\partial \phi}{\partial x}=P(x,y,z) , \frac{\partial \phi}{\partial y}=Q(x,y,z) , \frac{\partial \phi}{\partial z}=R(x,y,z) \]

即有

\[\mathop{grad}{\phi}=\vec v=(P,Q,R) \]

所以

\[\begin{aligned} \phi(x+\Delta x,y,z)-\phi(x,y,z) \\ =\int_{(x,y,z)}^{(x+\Delta x,y,z)}Pdx+Qdy+Rdz \\ \end{aligned} \]

$(x,y,z)$到$(x+\Delta x,y,z)$的直线上，$y$,$z$不变，有$dy=dz=0$，则有

\[\phi(x+\Delta x,y,z)-\phi(x,y,z)=\int_x^{x+\Delta x}Pdx \]

可得

\[\frac{\partial \phi}{\partial x}=P(x,y,z) \]

定义 6.
设$\vec v$是区域$V$上的向量场，如果存在$V$上的函数$\phi$，满足$\mathop{grad}\phi=\vec v$，则称$\vec v$是有势场或梯度场，$\phi$称为$\vec v$的一个势函数。

注. $\phi$为$\vec v$的势函数的充要条件是

\[d\phi=Pdx+Qdy+Rdz \]

注. 有势场的势函数不唯一。若$\phi$为$\vec v$的势函数，则$\vec v$的势函数为$\phi+c$，$c$为常数。

定理 3.
一个向量场为保守场的充要条件是它为有势场。

注. 设保守场$\vec v$有势函数$\phi$，则$\vec v$沿$L_{AB}$的曲线积分可以表示为

\[\begin{aligned} \int_{L_{AB}}\vec v\cdot d\vec r=\int_A^B\vec v\cdot d\vec r=\int_A^B Pdx+Qdy+Rdz \\ =\phi(B)-\phi(A) \end{aligned} \]

可以看做是Newton-Leibnitz公式的推广

注.

\[\phi(x,y,z)=\int_{x_0,y_0,z_0}^{x,y,z} Pdx+Qdy+Rdz \]

为一个势函数。像一种变上限积分

证明.

命题 1.
若$\vec v$为保守场，且各个分量有连续的一阶偏导数，则$\mathop{rot}\vec v=0$，即$\vec v$为无旋场。

注. 反过来不成立。即无旋场不一定是保守场

例 6.

\[\vec v=(-\frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0) \]

是其定义域$V=\mathbb{R}^3-\{z\mbox{轴}\}$内的无旋场，但不是保守场

证明.

定义 7.
设$V$是空间区域，若对于$V$中的任意一条简单闭曲线$L$，都存在以$L$为边界的且完全包含在$V$中的可定向曲面，则称$V$是曲面单连通的。

注. 即，$V$中任意一简单闭曲线$L$可以在$V$中连续地缩为一个点。

domain-simply-connected domain-simply-not-connected

曲面单连通区域 ， 非曲面单连通区域

无无旋场在很多情况下确实是保守场。

定理 4.
设$V$是曲面单连通区域，$\vec v$是$V$上的$C^1$向量场，则下述命题等价：

（1） $\vec v$是$V$中的保守场；

（2） $\vec v$是$V$中的有势场；

（3） $\vec v$是$V$中的无旋场；

例 7. 证明向量场

\[v=(yz(2x+y+z), xz(x+2y+z), xy(x+y+2z)) \]

是有势场，并求出它的一个势函数

例 8. 位于坐标原点的质量$m$的质点所产生的引力场

\[\vec a=-\frac{m}{r^3}\vec r \]

其中$\vec r=(x,y,z)$，$r=|\vec r|$。求它的势函数

例 9. 设$\vec v=f(r)\vec r$，其中$\vec r=(x,y,z)$，$r=|\vec r|$，$f(r)$为单值连续函数。求它的势函数

12.

无源场与向量势

$\vec v$为向量场，则

\[\mathop{div}(\mathop{rot}\vec v)=0 \]

定义 8.
区域$V$中散度处处为$0$的向量场称为无源场

如图建立一段细管，它的侧面由流线组成。 流管内流场的散度处处为零，由Gauss定理知，流出流管的总流量为零。可把上述的向量场划分成一道道的流管! 因为只有无源场才有这样的性质，所以无源场又称为管型场 !

chap7-flow

定义 9.
$\vec v$为$V$中向量场。若存在$V$中向量场$\vec\alpha$，使得

\[\mathop{rot}\vec\alpha=\vec v \]

则称$\vec\alpha$为$\vec v$的向量势，称$\vec v$为有向量势的场。

定义 10.
设$V$是空间区域，若$V$中任意闭曲面的内部都属于$V$，则称$V$是空间单连通的。

形象地说，空间单连通就是说$V$是实心的，而不能是空心的。

定理 5.
设$V$是空间单连通域，则下述命题等价：

（1） 向量场$\vec v$是区域$V$中的无源场

（2） 向量场$\vec v$是区域$V$中的有向量势的场

  • 势函数不唯一。两个势函数可以相差一个函数的梯度
  • 空间的单连通性很重要

证明.

例 10. $\vec r=(x,y,z)$, $r=|\vec r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，证明向量场$E=\frac{\vec r}{r^3}$在它的定义域中是无源场，但没有势函数

（定义域不是单连通的）

例 11. 证明向量场$\vec v=(xy+1, z, -yz)$是无源场，并求势函数

12.

Hamilton算子

算符

\[\begin{aligned} \nabla=\frac{\partial }{\partial x}\vec i+\frac{\partial }{\partial y}\vec j+\frac{\partial }{\partial z}\vec k \\ =(\frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y}, \frac{\partial }{\partial z}) \end{aligned} \]

称为Hamilton算符。

(1) 梯度： 数量场$u$

\[\nabla u=(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}) \]

(2) 散度： 向量场$\vec v=(P, Q, R)$

\[\nabla\cdot \vec v=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \]

(3) 旋度： 向量场$\vec v=(P, Q, R)$

\[\nabla\times \vec v=\left|{\begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \end{matrix}}\right| \]

(4) Laplace 算符：

\[\Delta=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2} \]

作用在数量场$u$上，有

\[\Delta u=\frac{\partial u^2}{\partial x^2}+\frac{\partial u^2}{\partial y^2}+\frac{\partial u^2}{\partial z^2} \]

方程$\Delta u=0$称为Laplace方程，方程的解称为调和函数

(5) 利用算符$\nabla$的微分和向量的双重特性，可以得到

  • $\nabla(u_1 u_2)=u_1\nabla u_2+u_2\nabla u_1$
  • $\nabla\cdot(u \vec v)=\vec v\cdot\nabla u+u(\nabla\cdot\vec v)$
  • $\nabla\times(u \vec v)=\nabla u\times\vec v+u(\nabla\times\vec v)$
  • $\nabla\times(\vec v_1\times\vec v_2)=\vec v_2\dot\nabla\times\vec v_1-\vec v_1\cdot\nabla\times\vec v_2$

(6) Gauss公式

\[\iint_S\vec v\times\vec ndS=\iiint_V\nabla\cdot\vec vdV \]

(7) Stokes公式

\[\oint_L\vec v\cdot\vec \tau ds=\iint_S(\nabla\times\vec v)\cdot\vec ndS \]

设$S$的单位法向量$\vec n=(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$，则

(1) 对数量场$u$，

\[\iint_{\partial V}u\vec n dS=\iint_V\nabla u dV \]

为向量形式的Gauss公式

(2) 对向量场$\vec v$，有

\[\iint_{\partial V}\vec n\times\vec vdS=\iiint_V\nabla\times\vec v dV \]

(3) 对数量场$u$，有

\[\int_{\partial S}u\vec \tau dl=\iint_S\vec n\times\nabla u dS \]

（1）

（2）

（3）

目录

本节读完

例 12.

12.