1. 数项级数

无穷级数

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

数项级数

把无穷多个数或函数按自然数顺序而进行的无限次加法运算称为无穷级数，简称级数。

数项级数的基本概念

定义 1.
设有数列$a_1, a_2, \cdots, a_n,\cdots$，把它们依次相加，得到形式上的和式：

\[\sum_{n=1}^{\infty}=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots \]

称为数项级数，其中$a_n$称为级数的通项。数列前$n$项和

\[S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \]

称为级数的第$n$个部分和。如果$n\to+\infty$时，$S_n\to S$，则称级数收敛，$S$称为级数的和，记为$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=S$；如果$S_n$没有极限，则称级数发散。

例 1. 求

\[1-\frac12+\frac14-\frac18+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}}+\cdots \]

例 2. 求

\[\sum_{n=1}^{+\infty}q^n=1+q+\cdots+q^n+\cdots \]

例 3. 求

\[0.\dot1=0.1+0.01+0.001+\cdots \]

24.

定理 1.
级数收敛，则有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$

注.

  • 若$\{a_n\}$极限不为$0$，则级数不收敛。

    如： $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$, $\sum_{n=0}^{\infty}n\sin\frac1n$均不收敛

  • 若$\{a_n\}$极限为$0$，并不表明级数就收敛。

    如： $a_n=\ln(1+\frac1n)$

例 4. 求

\[\frac12+\frac3{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2n-1}{2^n}+\cdots \]

定理 2. (线性性)
两个级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$均收敛，则对任意两个常数$c_1$, $c_2$， $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(c_1a_n+c_2b_n)$也收敛，且有

\[\sum_{n=1}^{\infty}(c_1a_n+c_2b_n)=c_1\sum_{n=1}^{\infty}a_n+c_2\sum_{n=1}^{\infty}b_n \]

定理 3.
修改数项级数的有限项的值，或者增加、删除有限项，不会改变级数的敛散性

证明.

定理 4.
收敛级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的相邻有限项加括号以后，形成的新级数

\[(a_1+\cdots+a_{n_1})+(a_{n_1+1}+\cdots+a_{n_2})+\cdots \]

仍然收敛，且与原级数具有相同的值。

注.

  • 若加括号后的级数发散，则原级数一定发散
  • 若加括号后的级数收敛，原级数不一定收敛。如$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$发散，但
\[(1-1)+(1-1)+\cdots=0 \]

正项级数敛散性的判别法则

定义 2.
如果级数通项$a_n\geq 0, n=1,2,\cdots$，则称级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$为正项级数

显然，正项级数的部分和数列是单调增的。

定理 5. (正项级数的有界判别法)
正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛的充要条件是，其部分和数列$\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$有上界

例 5. 求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$

[#ex8-1-5].

定理 6. (正项级数的比较判别法)
设有两个正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$，如果从某项开始有$a_n\leq b_n$，则

（1） 若级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛

（2） 若级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$也发散

证明.

例 6. 考察$p$级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$的敛散性

例 7. 考察级数的敛散性

（1） $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1\cdot3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}+\cdots$

（2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a+(n-1)d}$

24.

例 8. 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a^2_n$，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b^2_n$均收敛，则

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_n b_n|$ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)^2$ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|a_n|}n$也收敛

8.

定理 7. (正项级数的比较判别法的极限形式)
设有两个正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$，如果$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=A$，则

（1） 当$0<A<+\infty$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$与级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$同敛散

（2） 当$A=\infty$且级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也发散

（3） 当$A=0$且级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛

证明.

例 9. 考察级数的敛散性

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln n}$

（2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n^2}$

（3） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+2}{\sqrt{n^5+1}}$

（4） $\displaystyle\lim_{n\to\infty} na_n=a>0$，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$

24.

定理 8. (Cauchy根值判别法)
设有正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, 有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{a_n}=q$，则

（1） 当$q<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛

（2） 当$q>1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散

证明.

定理 9. (d'Alembert比值判别法)
设有正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, 有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$，则

（1） 当$q<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛

（2） 当$q>1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散

证明.

例 10. 考察级数的敛散性

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$ （2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^nn!}{n^n}$

（3） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{(1+\frac1n)^n}$ （4） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n+\frac1n}}{(n+\frac1n)^n}$

注. $q=1$时，两种判别法的敛散性都是不一定的。

如 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$和$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n}$

10.

定理 10. (Cauchy积分判别法)
设$f(x)$是定义在无穷区间$[a,+\infty)$上的非负单调减的连续函数，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f(a+nT)$与无穷积分 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$同敛散，其中$T>0$。

证明.

例 11. 考察级数的敛散性

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n\ln^p n}$

（2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n\ln n(\ln\ln n)^p}$

（3） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{\ln^2(\sin\frac1n)}$

11.

定理 11.
设有正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$, 有$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq\frac{b_{n+1}}{b_n}$，

（1） 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛

（2） 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散

证明.

注. (1) 正项级数收敛判别的基本思想是看$a_n$趋向于$0$的速度

(2) 不存在收敛“最慢”的级数

定理 12. (Raabe判别法)
设有正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, 则

（1） 当$n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\geq\gamma>1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛

（2） 当$n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\leq 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散

证明.

定理 13. (Gauss判别法)
设有正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, 且有$\displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lambda+\frac{\mu}n+\frac{Q_n}{n^2}$，$|Q_n|\leq L$有界，$\lambda$, $\mu$为实数，则

（1） 当$\lambda>1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛

（2） 当$\lambda<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散

（3） 当$\lambda=1$, $\mu>1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛;

（4） 当$\lambda=1$, $\mu\leq 1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散

证明.

一般数项级数的敛散性

级数的各项可以是正数，也可以是负数

交错级数

若$a_n>0$，则级数

\[a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots+(-1)^{n-1}a_n+\cdots \]

称为交错级数

定理 14. (Leibniz判别法)
数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$单调递减趋于$0$，则交错级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$收敛。

例 12. (1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}n$ (2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$

24.

一般判别法

定理 15. (Cauchy收敛准则)
级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛的充要条件是，$\forall \epsilon>0$，存在正整数$N$，当$n>N$时，

\[|S_{n+p}-S_n|=|a_{n+1}+\cdots+a_{n+p}|<\epsilon , \forall p\in \mathbb{N} \]

例 13. 若$p=1,2,\cdots$，有

\[\lim_{n\to\infty}a_{n+1}+\cdots+a_{n+p}=0 \]

则$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是否收敛？

证明.

不一定，如$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$

例 14. 判定级数的敛散性

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{2^n}$

（2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)-\cos(n+1)x}n$

（3） $\displaystyle 1+\frac12-\frac13+\frac14+\frac15-\frac16$

14.

定理 16. (Weierstrass判别法)
级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$满足：$|a_n|\leq b_n$，并且级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。

证明.

例 15. （1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{2^n}$

（2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(n!)}{n!(n+1)}$

15.

引理 1.
设有两组实数$a_1, a_2,\cdots, a_n$和$b_1, b_2,\cdots, b_n$，记$a_i$的部分和$ S_k=\sum_{i=1}^ka_i$，则有

（1） $\displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_i=S_nb_n+\sum_{i=1}^{n-1}S_i(b_i-b_{i+1})$

（2） 当$\{b_i\}_{i=1}^n$为单调的，且$|S_k|\leq M$，则有

\[|\sum_{i=1}^na_ib_i|\leq M(|b_1|+2|b_n|) \]

特别地，若$b_1\geq b_2\geq\cdots\geq b_n\geq0$，则有

\[|\sum_{i=1}^na_ib_i|\leq Mb_1 \]

证明.

定理 17. (Dirichlet判别法)
乘积级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$收敛，若它满足

（1） 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的部分和数列$\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$有界；

（2） 数列$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$单调趋于零。

定理 18. (Abel判别法)
乘积级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$收敛，若它满足

（1） 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛；

（2） 数列$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$单调有界。

18

证明.

例 16. (1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac{\sin^2n}{n}$

(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac1{2n}$

(3) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos(2n)}{2n}$

(4) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos(nx)}{n^\alpha}$

(5) 若$a_n$单调减趋于$0$，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin(nx)$

24.

例 17. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，且

\[\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=1 \]

是否有 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛

17.

绝对收敛与条件收敛

对于一般级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，将其通项取绝对值后所得到的正项级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=|a_1|+\cdots+|a_n|+\cdots \]

称为级数的绝对值级数。若绝对值级数收敛，则称级数绝对收敛。

定理 19.
如果绝对值级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$收敛，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。

由Weierstrass定理，可证

定义 3.
若级数收敛，但其绝对值级数发散，则称级数称条件收敛

例 18. （1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$ （2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n^2}$

（3） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n n^2}{e^n}$ （4） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n \cos(n)}{n}$

例 19.

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p+\frac1n}} \]

例 20.

\[1+\frac{1}{3^p}-\frac1{2^p}+\frac1{5^p}+\frac1{7^p}-\frac1{4^p}+\cdots \]

24.

定理 20. (绝对收敛级数的交换律)
级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$绝对收敛，则任意交换级数的各项顺序后所得到的新的级数也绝对收敛，且其和不变。

定理 21.
级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$条件收敛，则无论取怎样的数$B$（有限或$\pm\infty$），都可以重排$a_n$中的项，使新的级数收敛到$B$。

证明.

记$a_n$的正部与负部为： $b_n=\frac{|a_n|+a_n}2, c_n=\frac{|a_n|-a_n}2$

推论 1.
级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$绝对收敛的充要条件是正部与负部对应的两个正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$和$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_n$均收敛

推论 2.
级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$条件收敛的充要条件是正部与负部对应的两个正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$和$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_n$均发散

例 21. (1) $1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\cdots$

(2) $1+\frac13-\frac12+\frac15+\frac17-\frac14+\cdots$

例 22. (1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\frac1n-\ln\frac{n+1}n)$

(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac1n$

(3) $1+\frac13+\cdots+\frac1{2p-1}-\frac12-\frac14-\cdots-\frac1{2q}+\cdots$

22.

级数

\[a_1b_1+(a_2b_1+a_1b_2)+\cdots+(a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_{n-1}b_1)+\cdots \]

称为级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$的Cauchy乘积

定理 22.
若级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$都绝对收敛，且收敛到$A$与$B$，则它们各项的乘积$a_ib_i$按任意顺序依次相加所得到的级数也绝对收敛，且其和为$AB$

证明.

例 23. (1) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}$

(2) $\displaystyle(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{q^n})^2$

(3) $\displaystyle(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}})^2$

24.

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例 24. 本节读完

24.