张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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定义 1.
函数列是指一列定义在中的函数。
(这里是一个实数子集。以后,指为一个区间。)
如果对于中的某个点,当时,数列收敛,则称是函数列的收敛点
全体收敛点构成的一个子集,称为该函数列的收敛域。
当在中变化时,极限值依变化。将此极限值记为函数,称为该函数列的极限函数;称函数列在中逐点收敛到,记为
例 1.
可以得到极限函数为
注. 函数列中的通项函数连续,但极限函数函数可能间断。
定义 2. (函数列的一致收敛)
设函数列和函数在上有定义。若对,存在一个仅与有关的正整数,s.t.
则称函数列在区间上一致收敛到
例 2. ,证明函数列在区间上一致收敛到
例 3. 证明函数列在上一致收敛
2.
例 4. 证明函数列在上一致收敛
例 5. 判定函数列的一致收敛性
(1)
(2)
17.
定义 3.
函数列定义在区间上,称为函数项级数
如果部分和函数列的收敛域为,且在中收敛到函数,则称为函数项级数的收敛域,并称在中逐点收敛于。
如果函数列在中一致收敛,则称函数项级数在中一致收敛
对于函数列,令
则函数项级数的部分和函数列为。 因此,函数项级数的收敛性及其性质与函数列的收敛性及其性质是完全对应的。
定理 1.
函数项级数在中一致收敛的充要条件为,对,存在一个仅与有关的正整数,使得当时,
推论 1. (必要条件)
函数项级数在中一致收敛,则其通项在中一致收敛到。
证明.
证明. 结论中取即得
例 6. 在无穷区间上的函数项级数
17.
推论 2.
函数项级数在中逐点收敛,其通项在右端点处左连续(或在处右连续),
并且数项级数(或)发散,
则函数项级数在内非一致收敛。
证明.
定理 2. (Weierstrass判别法)
函数项级数在中有定义。若存在一收敛的正项级数,使
则级数在中一致收敛
证明.
定理 3. (Dirichlet判别法)
乘积项级数在上一致收敛,若满足
(1) 级数的部分和函数列在上一致有界;
(2) 函数列对于每个都是单调的,且在上一致趋于。
定理 4. (Abel判别法)
乘积项级数在上一致收敛,若满足
(1) 级数在上一致收敛;
(2) 函数列对于每个都是单调的,且在上一致有界。
例 7. 判定函数列是否一致收敛
(1)
(2)
(3)
例 8. 函数列,在上是单调函数, 且和 均收敛, 则一致收敛
8.
例 9. 单调趋于,考察函数项级数和的一致收敛性
例 10. 收敛,考察函数项级数的一致收敛性
8.
定理 5. (逐项求极限)
若函数项级数在区间上一致收敛于,并且通项在上连续,
则和函数在上也连续
推论 3.
若逐点收敛的连续函数项级数的和函数在区间上不连续,
则在上非一致连续
例 11. 在中的连续性
例 12. 的和函数在上连续,但级数不一致收敛。
17.
定理 6. (逐项积分公式)
若函数项级数在有界闭区间上一致收敛于,并且通项在上连续,
则有逐项积分公式
证明.
定理 7. (逐项微分公式)
若函数项级数在有界闭区间上一致收敛于,其通项在上有连续的微分,
并且通项在上一致收敛,则和函数在上有连续的导数,并且有逐项求导公式
证明.
有限个连续函数的和函数也是连续函数
有限个可微函数的和函数也可微,且微分为各个函数的微分的和
有限个可积函数的和函数也可积,且积分为各个函数的积分的和
一致收敛级数的和函数的也具有同样的性质
例 13. , 的连续性?
例 14. 是否可以逐项积分?
例 15. 的导数?
例 16. 在上不一致收敛,但可以积分
17.
定理 8.
设连续,且函数项级数在开区间中一致收敛于,
如果对每个,存在有限,
则存在,且
例 17.
17.