3. 幂级数与Taylor级数展开

无穷级数

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

幂级数与Taylor级数展开

定义 1.
幂级数，即通项为幂函数$a_n(x-x_0)^n$的函数项级数：

\[\begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots \\ +a_n(x-x_0)^n+\cdots \end{aligned} \]

其中实常数$a_0$, $a_1$, $\cdots$称为幂级数的系数，点$x_0$称为幂级数的中心。

令$y=x-x_0$，则级数变为$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n y^n$，这样，只需要考察$x_0=0$就可以了$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$

幂级数的收敛半径

定理 1. (Abel定理)
如果幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$在点$x_1$处收敛，则它在区间$(-|x_1|,|x_1|)$内绝对收敛；反之，若幂级数在$x_2$处发散， 则它在所有满足$|x|>|x_2|$的点$x$处发散。

由Abel定理知，任何一个幂级数的收敛区域一定是一个区间。

  • 幂级数仅在$x=0$处收敛，在任何非$0$处都发散，此时收敛区域就是$x=0$
  • 幂级数在任意一点都收敛，它的收敛区域是整个实轴$(-\infty,+\infty)$
  • 幂级数具有不为$0$的收敛点与发散点。记
    \[R=\sup\left\{|x|\left|\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n \ \mbox{convergence}\right.\right\}>0 \]
    则幂级数在区间$(-R,R)$上收敛，对所有$|x|>R$的$x$都发散。称$R$为收敛半径，区间$(-R,R)$为收敛区间。

定理 2. (收敛半径)
幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$的所有系数$a_n\neq 0$。

若极限$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\right|=L$，或$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L$，则

（1） 当$L>0$时，幂级数的收敛半径为$R=\frac1L$；

（2） 当$L=0$时，幂级数的收敛半径为$R=+\infty$;

（3） 当$L=\infty$时，幂级数的收敛半径为$R=0$

证明.

例 1. 求收敛半径

（1） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n^p}$

（2） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n$

（3） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2}x^{2n}$

1.

幂级数及其和函数的性质

定理 3. (内闭一致收敛)
幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R>0$，则该幂级数在收敛区间$(-R,R)$内的任何有界闭区间$[-r,r]$上一致收敛（$0<r<R$）， 即级数在区间$(-R,R)$上内闭一致收敛

定理 4.
幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R>0$，则

（1） 其和函数$S(x)$在级数的收敛区间$(-R,R)$内连续；

（2） 其和函数$S(x)$在收敛区间$(-R,R)$内具有任意阶导数， 有可以逐项微分

\[S^{(k)}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_nx^{n-k} \]

（3） 对$\forall x\in(-R,R)$，有逐项积分公式：

\[\int_0^xS(t)dt=\int_0^x(\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n)dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} \]

证明.

例 2. 求和函数

（1） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$

（2） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}nx^n$

例 3. 求和函数

（1） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

（2） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{(2n)!}x^{2n}$

2.

定理 5.
幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$和$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n$的收敛半径分别为$R_1$, $R_2$，令$R=\min\{R_1, R_2\}$， 则在区间$(-R,R)$上，有

（1） $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\pm\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n$

（2） $\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)\cdot\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n\right)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n$， 其中$c_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$

证明.

定理 6.
幂级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛半径$R>0$。

（1） 如果级数在$x=R$处收敛，则其和函数$S(x)$在$x=R$处左连续；

（2） 如果级数在$x=-R$处收敛，则其和函数$S(x)$在$x=-R$处右连续。

证明.

函数的Taylor级数展开

把函数$f(x)$展开为幂级数。

若函数$f(x)$在点$x_0$附近可以展开成幂级数，即

\[f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots \]

则$f(x)$在$x_0$附近必有任意阶微商，并且有

\[f^{(k)}(x)=k!a_k+\cdots+n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n(x-x_0)^{n-k}+\cdots \]

令$x=x_0$，可得

\[f(x_0)=a_0, \cdots, f^{(k)}(x_0)=k!a_k,\cdots \]

即有

\[a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} \]

定义 2.
若函数$f(x)$在$x_0$处有任意阶导数，则可以构造幂级数

\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]

称为$f(x)$在$x_0$处的Taylor级数。特别地，$x_0=0$时，称级数

\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

为Maclaurin级数。

  • 一般来说，$f(x)$在$x_0$处的Taylor级数可能除点$x_0$外都发散，或者即使在$x\neq x_0$处收敛，和也未必是$f(x)$
  • $f(x)$在$x_0$处的Taylor级数一般只能记为
    \[f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

当函数$f(x)$的Taylor级数收敛到自身时，称函数$f(x)$可以展开成Taylor级数，其Taylor级数称为函数$f(x)$的Taylor展开式。 特别，当$x_0=0$且$f(x)$的Maclaurin级数收敛到自身时，称为$f(x)$的Maclaurin展开式

定理 7.
函数$f(x)$在区间$(x_0-R,x_0+R)$上有任意阶导数，并且其各阶导数在区间$(x_0-R,x_0+R)$上一致有界， 则$f(x)$可以展开成Taylor级数，即

\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n , x\in(x_0-R,x_0+R) \]

证明.

例 4. $e^x=1+x+\frac{x^2}2+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots$ , $x\in\mathbb{R}$

$\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots$, $x\in\mathbb{R}$

$\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}+\cdots$, $x\in\mathbb{R}$

$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+\cdots$, $x\in(-1,1)$

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots+(-1)^{n+1}\frac{x^{n}}{n}+\cdots$, $x\in(-1,1]$

4.

例 5. $\frac1{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+\cdots$, $x\in(-1,1)$

$\frac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots$, $x\in(-1,1)$

$\sqrt{1+x}=1+\frac12x-\frac1{2\times4}x^2+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n$, $x\in[-1,1]$

$\frac1{\sqrt{1+x}}=1-\frac12x+\frac{1\times3}{2\times4}x^2+\cdots+(-1)^{n}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n$, $x\in(-1,1]$

5.

例 6. 将函数展开成Maclaurin幂级数

（1） $f(x)=\frac1{a+x}$, $a\neq 0$ （2） $f(x)=a^x$

（3） $f(x)=\sin(a+x)$ （4） $f(x)=\cos^2x$

（5） $f(x)=\frac1{(1-x)^2}$

例 7. 将函数$f(x)=\ln(1+x)$展开成Maclaurin幂级数，并求

\[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac1n \]

例 8. 已知$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}x^n$，直接证明

\[f(x)f(y)=f(x+y) \]

6.

目录

本节读完

例 9.

9.