向量

空间解析几何

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

向量

定义 1.
向量: 既有大小，又有方向的量。向量用一般用有向线段来表示。空间中以$A$为起点，$B$为终点的向量记为$\vec{AB}$；或简单记为$\vec a$，或$a$

反向量: $-\vec a$表示长度与$\vec a$相同，但方向相反的向量。 $-\vec a$与$\vec a$互为反向量

模: 向量的长度，记为$|\vec a|$

向量相等: 大小、方向都相同 （起点与终点可以不同）

单位向量: 模长为$1$的向量

零向量 : 模长为$0$的向量。起点与终点重合，没有方向

平行: 方向相同或相反的两个向量称为平行向量。记为 $\vec a//\vec b$

垂直（正交）: 方向互相垂直的两个向量， 记为 $\vec{a} \perp \vec b$

夹角: 在$0$到$\pi$之间

vec-angle

三个向量组成右手系, 还是左手系？

向量的加法

对速度、力的合成法则加以抽象，就得到了向量加法:

平行四边形法则

vec-add-para

$\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB}\quad$,

三角形法则

vec-add-tri

$\quad\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{AC}$

加法的特性：

  1. $\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$
  2. $\vec a+(\vec b+\vec c)=(\vec a+\vec b)+\vec c$
  3. $\vec a+\vec 0=\vec a$
  4. $\vec a+(-\vec a)=0$

向量的减法：

\[\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b) \]

向量的数乘

数乘： 向量$\vec a$与实数$\lambda$的乘积$\lambda \vec a$表示一个向量， 它的模为$|\lambda||\vec a|$， 它的方向：$\lambda>0$时，指向$\vec a$的方向；$\lambda<0$时，指向$\vec a$的反方向；

数乘的特性：

  1. $1 \vec{a}=\vec a$
  2. $\lambda(\mu\vec a)=(\lambda \mu)\vec a$
  3. $(\lambda+\mu)\vec a=\lambda\vec a+\mu\vec a$
  4. $\lambda(\vec a+\vec b)=\lambda\vec a+\lambda \vec b$

$\vec a^{\circ}=\dfrac{\vec a}{|\vec a|}$表示与$a$同向的单位向量

加法与数乘运算，称为向量的线性运算。

向量的共线与共面

向量共线： 都平行与某条直线的向量，称为共线向量

向量共面： 都平行与某个平面的向量，称为共面向量

定理 1.
向量$\vec a$，$\vec b$共线，当且仅当，存在不全为$0$的数$\lambda, \mu$，满足

\[\lambda\vec a+\mu \vec b=\vec 0 \]

定理 2.
向量$\vec a$，$\vec b$，$\vec c$共面，当且仅当，存在不全为$0$的数$\lambda, \mu, \nu$，满足

\[\lambda \vec a+\mu \vec b+\nu \vec c=\vec 0 \]

1.证明: 设$\vec a$, $\vec b$共线，则$\vec a$与$\vec b$同向或反向。

  • 若$\vec b$与$\vec a$同向，则 $\displaystyle\vec b = \frac{|\vec b|}{|\vec a|}\vec a$， 从而 $|\vec a|\vec b-|\vec b|\vec a=0$
  • 若$\vec b$与$\vec a$反向，则 $\displaystyle\vec b = -\frac{|\vec b|}{|\vec a|}\vec a$， 从而 $|\vec a|\vec b+|\vec b|\vec a=0$

2.证明:

定义 2. (线性组合)
$a_1,a_2,\cdots,a_n$为向量，$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$为实数。 向量

\[a=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_na_n \]

称为向量组$a_1,a_2,\cdots,a_n$的线性组合

定义 3. (线性相关)
存在不全为$0$的实数$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，满足

\[\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\cdots+\lambda_na_n=\vec 0 \]

则称向量组$a_1,a_2,\cdots,a_n$线性相关。否则称为线性无关。

例 1. [例1.1.1] 对任意向量$\vec a,\vec b,\vec c$，证明：向量

\[\vec a+\vec b+\vec c, \vec a-\vec b-\vec c, \vec a+2\vec b+2\vec c \]

线性相关。

解. 设数$\lambda, \mu, \nu$满足

\[\lambda(\vec a+\vec b+\vec c)+\mu(\vec a-\vec b-\vec c) +\nu(\vec a+2\vec b+2\vec c)=\vec 0 \]

则有

\[\begin{aligned} & (\lambda+\mu+\nu)\vec a \\ +&(\lambda-\mu+2\nu)\vec b \\ +&(\lambda-\mu+2\nu)\vec c = \vec 0 \\ \end{aligned} \]

1.

\[\begin{aligned} &(\lambda+\mu+\nu) = 0 \\ &(\lambda-\mu+2\nu) = 0 \\ &(\lambda-\mu+2\nu) = 0 \\ \end{aligned} \]

如$\mu=2, \nu=4, \lambda=-6$

1个向量线性相关$\Leftrightarrow$ $a=0$

2个向量线性相关$\Leftrightarrow$2个向量共线

3个向量线性相关$\Leftrightarrow$3个向量共面

例 2. 空间3点$A,B,C$共线 $\Leftrightarrow$存在不全为$0$的实数$k_1,k_2,k_3$，对任意点$O$，满足

\[\begin{aligned} k_1\vec{OA}+k_2\vec{OB}+k_3\vec{OC} &=0 \\ k_1+k_2+k_3 &=0 \end{aligned} \]

2. 若$A,B,C$三点共线，则向量$\vec{AB}, \vec{BC}$共线，因此，存在不全为$0$的数 $\lambda, \mu$，满足

\[\lambda \vec{AB}+\mu \vec{BC} = \vec 0 \]

即

\[\lambda (\vec{OB}-\vec{OA})+\mu (\vec{OC}-\vec{OB}) = \vec 0 \]

得到

\[(\lambda-\mu)\vec{OB}-\lambda \vec{OA}+\mu \vec{OC} = \vec 0 \]

即

\[k_1= - \lambda, k_2= \lambda-\mu, k_3=\mu \]

例 3. 如图，三角形$ABC$中，$D,E$为相应边的中点，$G$为$AD$与$BE$的交点。证明

\[\vec{AG}=\dfrac23\vec{AD} \]
\begin{tikzpicture}[thick, x=2cm, y=2cm, global scale=0.6] \coordinate[label=left:$B$] (b) at (0,0) ; \coordinate[label=below:$C$] (c) at (0:2.8) ; \coordinate[label=above:$A$] (a) at (40:3.0) ; \coordinate[label=below:$D$] (d) at ($ 0.5*(b)+0.5*(c) $) ; \coordinate[label=right:$E$] (e) at ($ 0.5*(a)+0.5*(c) $) ; \draw (b) -- (a); \draw (b) -- (c); \draw (a) -- (c); \draw[name path=ad] (a) -- (d); \draw[name path=be] (b) -- (e); \path[name intersections={of=ad and be}] (intersection-1) coordinate (g); \draw (g) node[below right] {G}; \end{tikzpicture}

解. 3. 设$\vec{AG} = x \vec{AD}$。

  • 由$D$为$BC$的中点，则$\vec{AD} = \frac12(\vec{AB}+\vec{AC})$，从而
    \[\vec{AG}=x\vec{AD}=\frac{x}2(\vec{AB}+\vec{AC}) \]
  • 由$B,G,E$共线，则$\vec{BG}=y\vec{BE}$，从而
    \[\vec{AG}-\vec{AB}=y(\vec{AE}-\vec{AB})=y(\frac12\vec{AC}-\vec{AB}) \]

将$\vec{AG}$代入，得到

\[\frac{x}2(\vec{AB}+\vec{AC})-\vec{AB} =\frac{y}2\vec{AC}-y\vec{AB} \]
\[(\frac{x}2+y-1)\vec{AB} +(\frac{x}2 - \frac{y}2)\vec{AC} =0 \]

由$\vec{AB}$, $\vec{AC}$不共线，则

\[\begin{cases} \frac{x}2+y-1 = 0 \\ \frac{x}2 = \frac{y}2 \end{cases} \]

解得$x=y=\frac23$

数量积

作用于物体上的力$\vec F$，使物体位移$\vec s$。 若力与位移有夹角$\theta$ 则力所做的功为

\[W = |\vec F| |\vec s| \cos\theta \]
\begin{tikzpicture}[x=4cm, y=4cm, global scale=0.8] % 上面，用 x=2cm, y=2cm 来设置x,y方向的单位长度，缺省是1cm %\fill[fill=yellow!80!black] (0.8,0)--(0.8,0.7225)--(0.9,0.7225)--(0.9,0); \draw (-0.3,-0.1) -- (0.8, -0.1); \draw (-0.2, -0.1) -- (-0.2, 0.1) -- (0.2, 0.1) -- (0.2, -0.1) --cycle; \draw[->, name path=F] (0,0) -- (30:0.7) node[right] {$\vec F$}; \draw[->, name path=s] (0,0) -- (0:0.6) node[right] {$\vec s$}; \draw (0:0.1) node[above right, blue]{$\theta$} to[out=90, in=-60] (30:0.1); \end{tikzpicture}

定义 4. (数量积)
2个向量$\vec a,\vec b$的数量积为一个数，值为向量的模与两向量夹角余弦的乘积， 记为$\vec a\cdot \vec b$

\[\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\theta \]

数量积也常称为内积。

  1. $\vec a\perp \vec b$ 当且仅当 $\vec a \cdot \vec b=0$
  2. $\vec a\cdot\vec a=\vec a^2=|\vec a|^2 \geq 0$，且等号成立当且仅当$\vec a=\vec 0$
  3. 几何上来看，$\vec b\cdot\vec a$就是向量$\vec b$在$\vec a$方向上的投影的(代数)长度与向量$\vec a$长度的乘积。
\begin{tikzpicture}[thick] \coordinate[label=left:$O$] (o) at (0,0) ; \coordinate (a) at (2,0.94) ; %\coordinate (b) at (0.6, 2.1); \coordinate[label=right:$a$] (c) at (3.0,0); %\coordinate (a+b) at ($ (a)+(b) $) ; \draw[->] (o) -- node[ above, near end, sloped] {$b$} (a); \draw[->] (o) -- (c); \draw[dashed] (a)--(2,0); \end{tikzpicture}

数量积的特性

定理 3.
对向量$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$及数$\lambda$，有

\[\begin{aligned} \vec a\cdot\vec b & =\vec b\cdot\vec a \\ (\vec a+\vec b)\cdot\vec c&=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c \\ (\lambda\vec a)\cdot\vec b&=\lambda(\vec a\cdot\vec b) =\vec a\cdot(\lambda\vec b) \\ \end{aligned} \]

如图

\begin{tikzpicture}[thick] \coordinate[label=left:$O$] (o) at (0,0) ; \coordinate (a) at (2,0.74) ; \coordinate (b) at (0.6, 2.1); \coordinate[label=right:$c$] (c) at (3.0,0); \coordinate (a+b) at ($ (a)+(b) $) ; \draw[->] (o) -- node[ below, near end] {$a$} (a); \draw[->] (a) -- node[ above, near start] {$b$} (a+b); \draw[->] (o) -- node[ above, sloped] {$a+b$} (a+b); \draw[->] (o) -- (c); \draw[dashed] (a)--(2,0); \draw[dashed] (a+b) -- (2.6,0); \end{tikzpicture}

例 4. 对向量$\vec a$, $\vec b$，有

\[\begin{aligned} |\vec a+\vec b|^2 =&(\vec a+\vec b)\cdot(\vec a+\vec b) =\vec a\cdot(\vec a+\vec b)+\vec b\cdot(\vec a+\vec b) \\ =&\vec a\cdot \vec a+\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec a+\vec b\cdot\vec b \\ =&|\vec a|^2+2\vec a\cdot \vec b+|\vec b|^2 \\ =&|\vec a|^2+2|\vec a| | \vec b| \cos\theta +|\vec b|^2 \\ \leq &|\vec a|^2+2|\vec a| | \vec b| +|\vec b|^2 =(|\vec a|+|\vec b|)^2 \end{aligned} \]

即向量长度的三角不等式

\[|\vec a+\vec b| \leq |\vec a|+|\vec b| \]

例 5. 四面体$OABC$中，$OA\perp BC$，$OB\perp AC$，则有$OC\perp AB$

解. 记$\vec{OA}=\vec a$, $\vec{OB}=\vec b$, $\vec{OC}=\vec c$，则有

\[\vec a \cdot(\vec c-\vec b)=0, \quad \vec b\cdot(\vec c-\vec a)=0 \]

则有

\[\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c \]

从而

\[\vec c\cdot(\vec a-\vec b)=0 \]

即$OC\perp AB$

向量积

刚体以等角速度$\omega$绕定轴转动，$O$为转动轴上的一个定点，$M$为刚体上一个点， 到轴的距离为$R$。则$M$点的速度$\vec v$与点$M$和轴确定的平面垂直，大小为$\omega R$。

记$\vec r=\vec{OM}$。 在转动轴上引一向量$\vec\omega$，称为角速度向量，它的模为$\omega$，方向与转动方向组成右手系， 记$\vec\omega$与$\vec r$之间的夹角为$\theta$，则$M$点的速度$\vec v$的大小为

\[|\vec v|=\omega R = |\vec\omega| |\vec r|\sin\theta \]

同时，$\vec\omega$, $\vec r$, $\vec v$组成右手系。
\begin{tikzpicture}[x=4cm, y=4cm, global scale=0.8, partial ellipse/.style args={#1:#2:#3}{ insert path={+ (#1:#3) arc (#1:#2:#3)} }, ] % 上面，用 x=2cm, y=2cm 来设置x,y方向的单位长度，缺省是1cm \coordinate (n) at (90:0.7); \coordinate (m) at (60:0.6); \coordinate (o) at (0:0); \coordinate (ro) at (m-|o); \draw (90:0.3) -- (n); \draw[dashed] (m) -- node{$R$} (ro); \draw[blue] (ro) ellipse (0.3 and 0.1); %\draw[->] (ro) arc (0:180:0.1); \draw[ -latex] (ro) [partial ellipse=30:150:0.3 and 0.1]; \draw[->, name path=F] (0,0) -- (90:0.3) node[left] {$\vec \omega$}; \draw[-latex, name path=s] (0,0) -- node[below] {$\vec r$} (m) node[right] {$M$}; \draw (90:0.1) node[above right, blue]{$\theta$} to[out=0, in=-30] (60:0.1); \draw[->] (m) -- +(130:0.2) node[right] {$\vec v$}; \end{tikzpicture}

定义 5. (向量积)
2个向量$\vec a,\vec b$的向量积记为$\vec a\times\vec b$，为一个向量。

  • 方向与$\vec a,\vec b$均垂直，且使$\vec a, \vec b , \vec a\times \vec b$构成右手系。
  • 模等于$\vec a, \vec b$为边构成的平行四边形的面积。即$|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta$, $\theta$为$\vec a, \vec b$的夹角
\begin{tikzpicture}[x=4cm, y=4cm, global scale=0.8] % 上面，用 x=2cm, y=2cm 来设置x,y方向的单位长度，缺省是1cm \draw[->, name path=F] (0,0) -- node[above]{$\vec b$} (45:0.4) node[above] {$B$}; \draw[->, name path=s] (0,0) -- node[below]{$\vec a$} (0:0.6) node[right] {$A$}; \draw (0:0.1) node[above right, blue]{$\theta$} to[out=90, in=-45] (45:0.1); \draw[dashed] (45:0.4) -- +(0:0.6) node[right]{$D$} -- (0:0.6); \draw[->] (0,0) node[below]{$O$} -- (90: 0.5) node[above] {$\vec a\times\vec b$}; \end{tikzpicture}

当$\vec a//\vec b$时，有$\vec a\times\vec b=0$。

即$\vec a, \vec b$均不为$0$时，仍可以有$\vec a\times\vec b=0$。

问题. 若$\vec a\times\vec c=\vec b\times\vec c$，其中$\vec c\neq 0$，是否一定有$\vec a=\vec b?$

向量积的特性

\[\begin{aligned} \vec a\times\vec b & =-\vec b\times\vec a \\ (\vec a+\vec b)\times\vec c&=\vec a\times\vec c+\vec b\times\vec c \\ (\lambda\vec a)\times\vec b&=\lambda(\vec a\times\vec b) =\vec a\times(\lambda\vec b) \\ \end{aligned} \]

如图，若$|\vec e|=1$，则$\vec a\times \vec e$可以这样来得到：

  1. 先做与$\vec e$垂直的面$S$。
  2. 向量$\vec a$在面$S$上投影为$\vec a_1$。若$\vec a$与$\vec e$的夹角为$\theta$，则$|\vec a_1|=|\vec a|\sin\theta$。
  3. $\vec a_1$绕$\vec e$做顺时针旋转$90^{\circ}$得到的向量为$\vec c$。则
  • $\vec c$与$\vec a_1$的长度一样，
  • $\vec c$与$\vec a_1$, $\vec e$均垂直。而$\vec a$与$\vec a_1$, $\vec e$共面，因而$\vec c$与$\vec a$, $\vec e$垂直。
  • $\vec a$, $\vec e$, $\vec c$满足右手系。

即有$\vec c=\vec a\times\vec e$。
\begin{tikzpicture}[x=1cm, y=1cm, global scale=0.5] \coordinate[label=left:$O$] (o) at (0,0) ; \coordinate[label=right:$a$] (a) at (2.2,1.3) ; \coordinate[label=right:$a_1$] (a1) at (2.2,0) ; \coordinate[label=above:$e$] (e) at (0, 2.5); \coordinate[label=below:$a\times e$] (axe) at (-115:1.9) ; \coordinate (s0) at (-135:3); \coordinate (s1) at ($ (s0)+(60:3.2) $); \coordinate (s2) at ($ (s1)+(0:5) $); \coordinate (s3) at ($ (s0)+(0:5) $); \draw[thick,->] (o) -- (a); \draw[blue,->] (o) -- (a1); \draw[thick,blue,->] (o) -- (axe); \draw[dashed] (a)--(a1); \draw[thick,->] (o) -- (e); \draw (s1)--(s0)-- node[near end, above ]{$S$} (s3)--(s2); \draw[dashed] (s1)--(s2); \draw[red] ($ 0.1*(axe) $)-- ++($ 0.1*(a1) $)--++($ -0.1*(axe) $); \end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture} \coordinate[label=left:$O$] (o) at (0,0) ; \coordinate[label=right:$a$] (a) at (2.2,1.3) ; \coordinate[label=left:$a+b$] (a+b) at (1.2,1.8) ; \coordinate[label=right:$a_1$] (a1) at (2.2,0) ; \coordinate[label=below:$(a+b)_1$] (ab1) at (1.2,-0.60) ; \coordinate[label=above:$e$] (e) at (0, 2.5); \coordinate[label=below:$a\times e$] (axe) at (-115:1.9) ; \coordinate (s0) at (-135:3); \coordinate (s1) at ($ (s0)+(60:3.2) $); \coordinate (s2) at ($ (s1)+(0:5) $); \coordinate (s3) at ($ (s0)+(0:5) $); \draw[thick,red,->] (o) -- (a); \draw[thick,red,->] (o) -- (a+b); \draw[thick,red,->] (a) -- node[above, black]{$b$} (a+b); \draw[blue,->] (o) -- (a1); \draw[blue,->] (o) -- (ab1); \draw[blue,->] (a1) -- node[below, black]{$b_1$} (ab1); \draw[thick,->] (o) -- (axe); \draw[dashed] (a)--(a1); \draw[dashed] (a+b)--(ab1); \draw[thick,->] (o) -- (e); \draw (s1)--(s0)-- node[near end, above ]{$S$} (s3)--(s2); \draw[dashed] (s1)--(s2); \draw[red] ($ 0.1*(axe) $)-- ++($ 0.1*(a1) $)--++($ -0.1*(axe) $); \end{tikzpicture}

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