坐标系

空间解析几何

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
\begin{tikzpicture}[x=2cm, y=2cm, global scale=0.4] \coordinate[label=below:$O$] (o) at (0,0) ; \coordinate[label=right:$A$] (aa) at (2.5,0) ; \coordinate[label=above right:$B$] (bb) at (40:2.1) ; \coordinate[label=above:$C$] (cc) at (70:1.9) ; \coordinate (a) at (2,0) ; \coordinate (b) at (40:1.8) ; \coordinate[label=left:$C'$] (c) at (70:1.5) ; \coordinate[label=above:$P$] (p) at ($ (a)+(b)+(c) $); \coordinate[label=above:$P'$] (pp) at ($ (b)+(c) $); \draw[->, red] (o) -- node[below]{$\vec e_1$} (aa); \draw[->, red] (o) -- node[above, sloped]{$\vec e_2$} (bb); \draw[->, red] (o) -- node[above, sloped]{$\vec e_3$} (cc); \draw[->] (o) -- (p); \draw[dashed, thin] (c) -- (pp) -- (b); \draw[thin,->] (pp)--(p); \draw[thin,->] (o)--(pp); \end{tikzpicture}

空间向量$\vec e_1$, $\vec e_2$, $\vec e_3$不共面(线性无关)， $\vec a$为任意向量。

  1. 取空间中一点$O$，作$\vec{OA}=\vec e_1$, 作$\vec{OB}=\vec e_2$, 作$\vec{OC}=\vec e_3$, 作$\vec{OP}=\vec a$,
  2. 过$P$作向量$\vec e_1$的平行线，交平面$OAB$为$P'$
  3. 过$P'$作$\vec e_2$的平行线，交$OC$于$C'$

利用向量的加法，可以得到

\[\vec{OP} = \vec{OC'}+\vec{C'P'}+\vec{P'P} \]

也就是，存在数$x_1,x_2,x_3$满足

\[\vec a =x_3 \vec e_3+x_2\vec e_2+x_1 \vec e_1 \]

若

\[\vec a =x_3 \vec e_3+x_2\vec e_2+x_1 \vec e_1 =y_3 \vec e_3+y_2\vec e_2+y_1 \vec e_1 \]

则

\[(x_3-y_3) \vec e_3+(x_2-y_2)\vec e_2+(x_1-y_1) \vec e_1=0 \]

由$\vec e_1$, $\vec e_2$, $\vec e_3$是线性无关的，则有

\[x_3-y_3=0, x_2-y_2=0, x_1-y_1=0 \]

也就是说，向量$\vec a$可以由向量组$\vec e_1$, $\vec e_2$, $\vec e_3$做线性表示，且系数唯一。

坐标系

定理 1.
设$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$为空间中三个不共面的向量，则对任意向量$\vec a$，有唯一的三元有序实数组$(x_1,x_2,x_3)$，满足

\[ \vec a=x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3 \]

定义 1. (基)
空间中任意3个有序的不共面的向量组$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$， 都称为空间的一组基。

定义 2. (坐标（仿射坐标）)
称$(x_1,x_2,x_3)$为向量$\vec a$在基$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$下的坐标, 或者仿射坐标。

定义 3. (坐标系)
原点$O$和一组基$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$合在一起，称为坐标系，记为$[O;\vec e_1,\vec e_2, \vec e_3]$

$O$称为坐标原点，$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$称为坐标向量， 称$\vec e_1$所在的轴为$x$轴， 称$\vec e_2$所在的轴为$y$轴， 称$\vec e_3$所在的轴为$z$轴， 合称为坐标轴；$Oxy$,$Oyz$,$Ozx$称为坐标面

在引入坐标系$[O;\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3]$后， 空间的点$P$，向量$\vec{OP}$，坐标$(x_1,x_2,x_3)$三者之间一一对应起来。

向量的运算

在坐标系$[O; \vec e_1, \vec e_2, \vec e_3]$下，有向量$\vec a=(x_1,x_2,x_3)$，$\vec b=(y_1,y_2,y_3)$

加法：

\[\begin{aligned} \vec a+\vec b&= x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3 +y_1\vec e_1+y_2\vec e_2+y_3\vec e_3 \\ &=(x_1+y_1)\vec e_1+(x_2+y_2)\vec e_2+(x_3+y_3)\vec e_3 \\ &=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3) \end{aligned} \]

数乘：

\[\begin{aligned} \lambda \vec a&=\lambda(x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3) \\ &=\lambda x_1\vec e_1+\lambda x_2\vec e_2+\lambda x_3\vec e_3) \\ &=(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3) \end{aligned} \]

例 1. $A(x_1, x_2, x_3)$， $B(y_1, y_2, y_3)$为空间2点，若$P$在$AB$上，且

\[\vec{AP}=\lambda \vec{PB} \]

求$P$坐标

解. 设$P(z_1,z_2,z_3)$，则

\[\vec{AP}=\vec{OP}-\vec{OA}=(z_1-x_1, z_2-x_2, z_3-x_3) \]

因此，

\[(z_1-x_1,z_2-x_2,z_3-x_3) =\lambda(y_1-z_1,y_2-z_2,y_3-z_2) \]

即有

\[\begin{cases} z_1-x_1 = \lambda(y_1-z_1), \\ z_2-x_2 = \lambda(y_2-z_2), \\ z_3-x_3 = \lambda(y_3-z_3), \\ \end{cases} \]

得到

\[\begin{cases} z_1 = \frac{x_1 + \lambda y_1}{1+\lambda}, \\ z_2 = \frac{x_2 + \lambda y_2}{1+\lambda}, \\ z_3 = \frac{x_3 + \lambda y_3}{1+\lambda}, \\ \end{cases} \]

点乘(数量积)：

\[\begin{aligned} \vec a\cdot\vec b =&(x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3)\cdot (y_1\vec e_1+y_2\vec e_2+y_3\vec e_3) \\ =&x_1y_1(\vec e_1\cdot\vec e_1) +x_1y_2(\vec e_1\cdot\vec e_2) +x_1y_3(\vec e_1\cdot\vec e_3) \\ +&x_2y_1(\vec e_2\cdot\vec e_1) +x_2y_2(\vec e_2\cdot\vec e_2) +x_2y_3(\vec e_2\cdot\vec e_3) \\ +&x_3y_1(\vec e_3\cdot\vec e_1) +x_3y_2(\vec e_3\cdot\vec e_2) +x_3y_3(\vec e_3\cdot\vec e_3) \\ \end{aligned} \]

若有$\vec e_1\cdot\vec e_2=\vec e_1\cdot\vec e_3=\vec e_2\cdot\vec e_3=0$, 且$|\vec e_1|=|\vec e_2|=|\vec e_3|=1$，则

\[\begin{aligned} \vec a\cdot\vec b =&x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 \end{aligned} \]

直角坐标系

定义 4. (直角坐标系)
坐标系中的三个向量均为单位向量，且两两垂直。 一般用$\vec i, \vec j ,\vec k$表示这三个坐标向量， 相应的坐标轴为$x$轴，$y$轴，$z$轴。

若$\vec a=a_1\vec i+a_2\vec j+a_3\vec k$，则

\[|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \]

直角坐标系下的向量$\vec a=(a_1,a_2,a_3)$, $\vec b=(b_1,b_2,b_3)$，它们的夹角为$\theta$，则夹角余弦

\[\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} =\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}} \]

由$\cos^2\theta\leq 1$，易得Cauchy不等式

\[(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2\leq(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2) \]

定义 5. (方向余弦)
设向量$\vec a$与$\vec i ,\vec j, \vec k$夹角为$\alpha, \beta, \gamma$，则 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$称为方向余弦

对向量$\vec a=(a_1, a_2, a_3)$，有相应的方向余弦

\[\begin{aligned} &(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)= \\ &\left(\frac{a_1}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}, \frac{a_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}} \right) \end{aligned} \]

且$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$

例 2. (例1.2.4) $P(1,2,3)$，$Q(2,4,-1)$求$\vec{PQ}$的方向余弦

2. $\vec{PQ}=(1,2,-4)$, $|\vec{PQ}|=\sqrt{1^2+2^2+4^2}=\sqrt{21}$

方向余弦

\[(\dfrac1{\sqrt{21}},\dfrac2{\sqrt{21}},\dfrac{-4}{\sqrt{21}},) \]

若$\vec a=a_1\vec i+a_2\vec j+a_3\vec k$，$\vec b=b_1\vec i+b_2\vec j+b_3\vec k$，则它们的向量积为

\[\begin{aligned} \vec a\times\vec b =&(a_1\vec i+a_2\vec j+a_3\vec k)\times(b_1\vec i+b_2\vec j+b_3\vec k) \\ =&a_1b_1\vec i\times\vec i+a_1b_2\vec i\times\vec j+a_1b_3\vec i\times\vec k \\ &+a_2b_1\vec j\times\vec i+a_2b_2\vec j\times\vec j+a_2b_3\vec j\times\vec k \\ &+a_3b_1\vec k\times\vec i+a_3b_2\vec k\times\vec j+a_3b_3\vec k\times\vec k \\ \end{aligned} \]

注意到直角坐标系下，$\vec i,\vec j,\vec k$为两两垂直的单位向量，

若$\vec i$, $\vec j$, $\vec k$组成右手系，则有

\[\begin{aligned} &\vec i\times\vec i=\vec 0, &&\vec j\times\vec j=\vec 0, &&\vec k\times\vec k=\vec 0 \\ &\vec i\times\vec j=\vec k, &&\vec j\times\vec k=\vec i, &&\vec k\times\vec i=\vec j \\ &\vec j\times\vec i=-\vec k, &&\vec k\times\vec j=-\vec i, &&\vec i\times\vec k=-\vec j \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} &\vec a\times\vec b \\ =&(a_1b_2-a_2b_1)\vec i\times\vec j+(a_1b_3-a_3b_1)\vec i\times\vec k \\ &+(a_2b_3-a_3b_2)\vec j\times\vec k \\ =&(a_1b_2-a_2b_1)\vec k+(a_3b_1-a_1b_3)\vec j+(a_2b_3-a_3b_2)\vec i \end{aligned} \]

记为

\[\vec a\times\vec b =\left|\begin{matrix} \vec i && \vec j &&\vec k\\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \end{matrix}\right| \]

引入2阶和3阶行列式的概念。

2阶行列式为

\[\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} =a_1b_2-a_2b_1 \]

3阶行列式为

\[\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} =a_1\begin{vmatrix} b_2 & b_3 \\ c_2 & c_3 \end{vmatrix} -a_2\begin{vmatrix} b_1 & b_3 \\ c_1 & c_3 \end{vmatrix} +a_3\begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{vmatrix} \]

可以得到，在右手系直角坐标系下，向量的向量积可以表示为

\[\begin{aligned} \vec a\times\vec b =&\left|\begin{matrix} \vec i && \vec j &&\vec k\\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \end{matrix}\right| \\ =&\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}\vec i -\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix}\vec j +\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}\vec k \end{aligned} \]

不做特别说明的话，向量的坐标系为直角坐标系，且$\vec i$, $\vec j$, $\vec k$满足右手系。

例 3. 求垂直于向量$\vec a=(-1,2,1)$和$\vec b=(1,0,3)$的单位向量

解. $\vec a\times \vec b$垂直于两个向量

例 4. 三角形$ABC$的3个顶点分别为$A(1,1,2), B(-2,0,3), C(2,4,5)$，求$S_{\bigtriangleup ABC}$和$BC$边上的高

解. 向量$\vec{AB}\times\vec{AC}$的模是三角形面积的2倍。

3

自己看着办

混合积

定义 6.
三个向量$\vec a, \vec b, \vec c$的混合积定义为$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$。这是一个数

\begin{tikzpicture}[global scale=0.9] \coordinate (o) at (0,0) ; \coordinate[label=below:$a$] (a) at (2,0) ; \coordinate[label=above left:$b$] (b) at (30:1.8) ; \coordinate[label=above left:$c$] (c) at (60:1.6) ; \coordinate (axb) at (0, 2.0); \coordinate (d) at ($ (a)+(b) $); \coordinate (e) at ($ (a)+(b)+(c) $); \coordinate (f) at ($ (b)+(c) $); \coordinate (g) at ($ (a)+(c) $); \coordinate (h) at ($ (c|-o)+(0,0.2) $); \draw[->] (o) -- (a); \draw[->, dashed] (o) -- (b); \draw[->] (o) -- (c); \draw[->] (o) -- node[auto] {$a\times b$} (axb); \draw[dashed] (d) -- (b) -- (f); \draw[thin] (c) -- (g) -- (a) (c) -- (f) -- (e) -- (d) -- (a) (g) -- (e); \draw (90:0.5) node[above right, blue]{$\phi$} to[out=0, in=150] (60:0.5); \draw[dashed, red] (c)-- node[right] {$h$} (h); \draw[dashed] (o)-- (h); \end{tikzpicture}

由$\vec a, \vec b, \vec c$组成的平行六面体的体积为

\[V=S\times h , S=|\vec a\times \vec b|, h=|c||\cos\phi| \]

其中$\phi$是向量$\vec a\times\vec b$与$\vec c$的夹角。所以有

\[V=|\vec a\times\vec b||c||\cos\phi|=|(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c| \]

混合积$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$表示的是向量$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$组成的平行六面体的代数体积。

  • 若夹角$\phi$为锐角，此时$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$组成右手系， $V=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$
  • 若夹角$\phi$为钝角，此时$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$组成左手系， $-V=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$

交换$\vec a,\vec b,\vec c$的顺序，若它们满足同一个手系法则，则相等， 即(与坐标系无关)

\[(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c= (\vec b\times\vec c)\cdot\vec a= (\vec c\times\vec a)\cdot\vec b \]
\[(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c= -(\vec b\times\vec a)\cdot\vec c \]

在(标准)直角坐标系下，

\[\vec a=(a_1,a_2,a_3), \vec b=(b_1,b_2,b_3), \vec c=(c_1,c_2,c_3) \]

则

\[\vec a\times\vec b=\left|\begin{aligned} \vec i && \vec j &&\vec k\\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \end{aligned}\right| \\ =\left|\begin{aligned} a_2 && a_3 \\ b_2 && b_3 \end{aligned}\right|\vec i -\left|\begin{aligned} a_1 && a_3 \\ b_1 && b_3 \end{aligned}\right|\vec j +\left|\begin{aligned} a_1 && a_2 \\ b_1 && b_2 \end{aligned}\right|\vec k \]

所以

\[(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c =\left|\begin{aligned} a_2 && a_3 \\ b_2 && b_3 \end{aligned}\right|c_1 -\left|\begin{aligned} a_1 && a_3 \\ b_1 && b_3 \end{aligned}\right|c_2 +\left|\begin{aligned} a_1 && a_2 \\ b_1 && b_2 \end{aligned}\right|c_3 \\ =\left|\begin{aligned} c_1 && c_2 && c_3 \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \end{aligned}\right| \]

类似

\[(\vec b\times\vec c)\cdot\vec a =\left|\begin{matrix} a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \\ c_1 && c_2 && c_3 \\ \end{matrix}\right| \]
\[(\vec c\times\vec a)\cdot\vec b =\left|\begin{matrix} b_1 && b_2 && b_3 \\ c_1 && c_2 && c_3 \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ \end{matrix}\right| \]
\[(\vec c\times\vec b)\cdot\vec a =\left|\begin{matrix} a_1 && a_2 && a_3 \\ c_1 && c_2 && c_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \\ \end{matrix}\right| =-(\vec b\times\vec c)\cdot\vec a \]

总结，在右手系的直角坐标系下

\[\begin{aligned} \vec a\cdot(\vec b\times\vec c) =&(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c =\left|\begin{matrix} a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \\ c_1 && c_2 && c_3 \\ \end{matrix}\right| \\ =&(\vec b\times\vec c)\cdot\vec a =\left|\begin{matrix} b_1 && b_2 && b_3 \\ c_1 && c_2 && c_3 \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ \end{matrix}\right| \\ =&(\vec c\times\vec a)\cdot\vec b =\left|\begin{matrix} c_1 && c_2 && c_3 \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \\ \end{matrix}\right| \\ \end{aligned} \]

定理 2.
向量 $\vec a=(a_1, a_2, a_3),\vec b=(b_1, b_2, b_3),\vec c=(c_1, c_2, c_3)$ 共面，当且仅当，

\[\left|\begin{matrix} a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \\ c_1 && c_2 && c_3 \\ \end{matrix}\right|=0 \]

解. 利用混合积的几何意义易得

例 5. (例1.5.1)求$A(1,2,3)$，$B(2,1,4)$，$C(1,3,5)$，$D(3,2,1)$组成的四面体的体积

解. 四面体的体积是平行六面体的体积的六分之一。

二重向量积

定义 7.
三个向量$\vec a,\vec b,\vec c$的二重向量积为$(\vec a\times\vec b)\times\vec c$。这是个向量

定理 3.
对任意向量$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$，有

\[(\vec a\times\vec b)\times\vec c =(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec b\cdot\vec c)\vec a \]
\[\vec a\times\vec b=\left|\begin{aligned} \vec i && \vec j && \vec k \\ a_1 && a_2 && a_3 \\ b_1 && b_2 && b_3 \end{aligned}\right| =\left(\begin{aligned} a_2b_3-a_3b_2 \\ -a_1b_3+a_3b_1 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{aligned}\right) \]
\[(\vec a\times\vec b)\times\vec c =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_2b_3-a_3b_2 & -a_1b_3+a_3b_1 & a_1b_2-a_2b_1 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \]

与向量$(\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec b\cdot\vec c)\vec a$做比较即可。

\[\begin{aligned} \vec a\times(\vec b\times\vec c) &=-(\vec b\times\vec c)\times\vec a \\ &=-((\vec b\cdot\vec a)\vec c-(\vec c\cdot\vec a)\vec b) \\ &=(\vec c\cdot\vec a)\vec b-(\vec b\cdot\vec a)\vec c \end{aligned} \]

一般情况下，二重向量积不满足结合律

\[(\vec a\times\vec b)\times\vec c \neq \vec a\times(\vec b\times\vec c) \]

例 6. 证明

\[(\vec a\times\vec b)\cdot(\vec c\times\vec d) =(\vec a\cdot\vec c)(\vec b\cdot\vec d) -(\vec a\cdot\vec d)(\vec b\cdot\vec c) \]

这样，$\vec a$, $\vec b$张成的平行四边形的面积可以表示为

\[\begin{aligned} (\vec a\times\vec b)\cdot(\vec a\times\vec b) =&(\vec a\cdot\vec a)(\vec b\cdot\vec b) -(\vec b\cdot\vec a)(\vec a\cdot\vec b) \\ =&{\vec a}^2{\vec b}^2-(\vec a\cdot\vec b)^2 \\ =&{|\vec a|}^2{|\vec b|}^2-(\vec a\cdot\vec b)^2 \\ \end{aligned} \]

解. 记$\vec e=\vec a\times\vec b$，则

\[\begin{aligned} \vec e\cdot(\vec c\times\vec d) =&(\vec c\times\vec d)\cdot\vec e =(\vec e\times\vec c)\cdot\vec d \\ =&((\vec a\times\vec b)\times\vec c)\cdot\vec d \\ =&((\vec a\cdot\vec c)\vec b-(\vec b\cdot\vec c)\vec a)\cdot\vec d\\ \end{aligned} \]

目录

例 7. 什么是？

自己看着办

右手系，

左手系

4个象限，8个卦限

例 8. 设$\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3$为一组基，则

(1). 证明

\[\begin{aligned} \vec a=\vec e_1+ \vec e_2+ \vec e_3 \\ \vec b=\vec e_1- \vec e_2+ \vec e_3 \\ \vec c=\vec e_1+ \vec e_2- \vec e_3 \end{aligned} \]

也为一组基

(2).求$d=a+2b-3c$的坐标

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