空间解析几何

3. 复数

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

复数

定义 1.
$z=x+iy$为复数，其中$i^2=-1$为虚数单位，$x,y$为实数。

$Re z=x$称为实部

$Im z=y$称为虚部

运算

$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$

$0$：$0=0+i\cdot0$ ， 负：$z+(-z)=0$

$-z=(-x)+i(-y)$

$z_1-z_2=z_1+(-z_2)=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)$

$\begin{aligned}z_1\cdot z_2&=(x_1+iy_1)\cdot(x_2+iy_2) \\&=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)\end{aligned}$

$\begin{aligned}\dfrac{z_1}{z_2}&=\dfrac{(x_1+iy_1)\cdot(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)\cdot(x_2-iy_2)} \\&=\dfrac{(x_1x_2+y_1y_2)+i(x_2y_1-x_1y_2)}{x_2^2+y_2^2}\end{aligned}$

平面上的点$P(x,y)$可以表示复数$z=x+iy$

向量$\vec{OP}$表示复数$z=x+iy$

复数的加法与向量加法对应

$\bar z=x-iy$称为$z=x+iy$的共轭复数

\[|\bar z|=|z| , |z|^2=z\cdot\bar z , \bar{z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2} , \bar{z_1z_2}=\bar{z_1}\cdot\bar{z_2} \]

定义 2.
$|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}$称为复数的模

$\theta$为辐角：$x$轴逆时针绕$\theta$角到$\vec{OP}$方向，记为$\mbox{arg}z$。$\theta\in[0,2\pi)$称为辐角主值。

$z=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta)$为复数的三角表示

若

\[\begin{aligned} z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1) \\ z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) \end{aligned} \]

则

\[z_1z_2=r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)) \]

则有

\[\begin{aligned} |z_1z_2|=&|z_1|\cdot|z_2| \\ \arg(z_1z_2)=&\arg(z_1)+\arg(z_2) \end{aligned} \]

Euler公式：

\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \]

则

\[\begin{aligned} z&=re^{i\theta}\\ z_1z_2&=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)} \end{aligned} \]

乘一个复数，表示逆时针旋$\theta_2$角，同时长度变为$r_2$倍

复数旋转$90^{\circ}$可以表示为$z\cdot i$

$(re^{i\theta})^n=r^n\cdot e^{in\theta}$ (deMoivre公式)

\[1+e^{i\theta}+\cdots+(e^{i\theta})^n =\dfrac{1-(e^{i\theta})^{n+1}}{1-e^{i\theta}} \]

例 1. 平行四边形两条对角线平方和，等于，四边的平方和。

例 2. (例1.6.5) 设$A$, $B$为平面上两点，$C$为平面不位于直线$AB$某一侧的一个动点。分别以$AB$, $BC$边作正方形$CADE$和$CBFG$。证明：$DF$有中点位置$H$与动点$C$无关。

1. 证明：

2. 证明：

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例 3. 复数

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