空间解析几何

4. 直线与平面

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

直线与平面

直线

过点$A,B$的直线$l$，

$\forall P\in l$，有 $\vec{AP}//\vec{AB}$，即

\[\begin{aligned} \vec{AP}=t\vec{AB} \\ \vec{OP}-\vec{OA}=t\vec{AB} \\ \vec{OP}=\vec{OA}+t\vec{AB} \end{aligned} \]

参数式直线方程

参数式：

\[\begin{cases} x=a_1+u_1t \\ y=a_2+u_2t \\ z=a_3+u_3t \end{cases} \]

其中，

\[\begin{aligned} A=(a_1,a_2,a_3) \\ B=(b_1,b_2,b_3) \\ \vec u=\vec{AB}=(u_1,u_2,u_3) \end{aligned} \]

点向式直线方程

点向式：

\[\dfrac{x-a_1}{u_1}=\dfrac{y-a_2}{u_2}=\dfrac{z-a_3}{u_3} \]

平面

点法式平面方程

过点$M$与向量$\vec n$垂直的平面是唯一的。

对平面上任意点$P$，有

\[\vec{MP}\cdot \vec n=0 \]

这样，可以得到点法式方程：

\[(x-m_1)n_1+(y-m_2)n_2+(z-m_3)n_3=0 \]

其中

\[\begin{aligned} M=(m_1,m_2,m_3), \\ \vec{n}=(n_1,n_2,n_3), \\ P=(x,y,z) \end{aligned} \]

一般平面方程

将点法式方程展开后，可以得到一般方程

\[Ax+By+Cz+D=0 \]

显然，$(A,B,C)=(n_1,n_2,n_3)=\vec n$为法方向

一般直线方程

两个平面确定唯一的直线。这样，可以得到直线的一般方程

\[\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \\ \end{cases} \]

显然，直线$l$的一般方程不唯一。$l$的方向$\vec u$是两个平面的法方向的向量积，即

\[\vec u=(A_1,B_1,C_1)\times(A_2,B_2,C_2) \]

例 1. 过点$M(1,1,1)$与直线

\[l:x+1=2y+3=3z-4 \]

的平面方程

例 2. 直线

\[\begin{cases} 3x-3y+z=6 \\ 6x-2y+3z=9 \\ \end{cases} \]

的点向式方程

vertical slide 2

两条相交直线确定唯一的平面。设$M=(m_1,m_2,m_3)$为两直线的交点， $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$,$\vec v=(v_1,v_2,v_3)$为两直线的方向， $P=(x,y,z)$为平面上的点。由$\vec{PM}$与$\vec u, \vec v$共面，则

\[\vec{MP}=s\vec u+t\vec v \]

参数式平面方程

展开 后，即可得到参数式的平面方程

\[\begin{cases} x=m_1+su_1+tv_1 \\ y=m_2+su_2+tv_2 \\ z=m_3+su_3+tv_3 \\ \end{cases} \]

点到线的距离

\[|\vec{PB}|=|\vec{AP}|\sin\theta=\dfrac{|\vec{AP}\times\vec u|}{|\vec u|} \]

点到面的距离

\[|\vec{PQ}|=|\vec{MP}|\cos\theta=\dfrac{|\vec{MP}\cdot\vec n|}{|\vec n|} \]

例 3. 点$(1,1,1)$到线

\[\dfrac{x+1}4=\dfrac{y+2}5=\dfrac{z+3}6 \]

的距离

例 4. 点$(1,1,1)$到面

\[2x+3y+6z=18 \]

的距离

两直线的关系

共面（平行、相交、重合）或异面

line-position

$\vec u\times\vec v\cdot\vec{AB}=0$，则$\vec u,\vec v,\vec{AB}$共面，则$l_1,l_2$共面；反之也成立

当$l_1,l_2$共面时，若$\vec u$与$\vec v$不平行，则$l_1, l_2$相交；若$\vec u//\vec v$，则$l_1, l_2$平行或重合

line-position-dis

当$l_1,l_2$异面时，$CD\perp l_2, CD\perp l_1$，称$CD$为公垂线，称$|CD|$为$l_1, l_2$的距离

由$\vec{CD}//\vec u\times\vec v$，则$\vec{CD}$为$\vec{AB}$在$\vec u\times\vec v$上的投影。

\[|CD|=\dfrac{|\vec u\times\vec v\cdot\vec{AB}|}{|\vec u\times\vec v|} \]

$CD$是面$ACD$与面$BCD$的交线

$ACD$的法方向为$(\vec u\times\vec v)\times\vec u$

$BCD$的法方向为$(\vec u\times\vec v)\times\vec v$

平面的关系

两个平面的关系可以为平行、相交或者重合

若$\vec n_1, \vec n_2$为两平面的法方向，则有

  1. $\vec n_1//\vec n_2$时，两平面平行或重合
  2. $\vec n_1$,$\vec n_2$不平行时，两平面相交。有且仅有一条交线。两平面夹角的锐角为平面的夹角

直线与平面的关系

直线与平面的关系可以为：平行、相交或者直线在平面上

平面的法方向为$\vec n$，直线的方向为$\vec u$，则

  1. $\vec u\perp\vec n$，则$l$与平面平行，或在平面上
  2. $\vec u$与$\vec n$不垂直，则有唯一的交点。$l$与平面夹角的锐角为平面与平面的夹角

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例 5. 1.