空间解析几何

5. 曲线与曲面

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

曲线与曲面

空间中的曲线或曲面，可以看作是空间中点的运动轨迹。

参数曲线方程

\[p(t)=(x(t),y(t),z(t)) \]

参数曲面方程

\[p(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)) \]

或者，看作是点的集合

一般曲面方程

\[f(x,y,z)=0 \]

一般曲线方程

\[\begin{cases} f(x,y,z)=0 \\ g(x,y,z)=0 \end{cases} \]

例 1. 螺旋线

\[\begin{cases} x=\cos t \\ y=\sin t \\ z=t \end{cases}, 0\leq t\leq 2\pi \]

例 2. 球面$P_0(x_0,y_0,z_0)$为球心，$r$为半径

一般方程： $|\vec{PP_0}|=1$，即

\[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2 \]

参数方程

\[\begin{cases} x-x_0=r\cos\theta\cos\phi \\ y-y_0=r\cos\theta\sin\phi \\ z-z_0=r\sin\theta \end{cases}, \theta\in[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2],\phi\in[0,2\pi] \]

例 3. 平面$y=z$上以$O(0,0,0)$为圆心，$1$为半径的圆的方程。

一般方程：

\[\begin{cases} x^2+y^2+z^2=1 \\ y=z \end{cases} \]

参数方程： $x$轴在$y=z$平面上，与$x$轴夹角为$\theta$, $\theta\in[0,2\pi]$

\[\begin{cases} x=\cos\theta \\ y=\frac{\sqrt 2}2 \sin\theta \\ z=\frac{\sqrt 2}2 \sin\theta \end{cases}, \theta\in[0,2\pi] \]

柱面

一簇平行直线形成的曲面叫柱面。直线叫母线。与每条母线都相交的线叫准线。 准线有无穷条，将任一条准线沿母线方向运动，都可以得到柱面

若母线方向 $\vec u$，准线的参数方程为$\vec Q(t)$，则柱面的参数方程为

\[P(s,t)=\vec Q(t)+s\vec u \]

例 4. $f(x,y)=0$为柱面，母线方向为？准线为？

例 5. $C:\{(x,yz,):f(x,y)=0,z=0\}$为准线，$u=(u_1,u_2,1)$为母线的柱面

4. 母线方向：$z$轴方向

准线：$Oxy$平面上，$f(x,y)=0$的曲线为一条准线

5.

\[P(s,t)=\vec Q+s\vec u \]

对柱面上的点$P=(x,y,z)$，相应的准线上的点为$Q=(x_0,y_0,0)$，则

\[(x_0,y_0,0)=P-t\vec u=(x-u_1 t,y-u_2 t,z-t) \]

所以，当$z=t$时，$Q$应该在准线$C$上，则有

\[x_0=x-u_1z, y_0=y-u_1z \]

所以柱面方程为

\[f(x-u_1z,y-u_2z)=0 \]

锥面

一簇过定点的直线组成的曲线叫锥面。这个定点，称为顶点。直线称为母线。与每条母线都相交，但不过顶点的线叫准线。将准线上的每一点与顶点作直线就可以得到锥面。

若准线方程为$\vec Q(t)$，顶点为$\vec A$，则锥面方程为

\[P(s,t)=(1-s)\vec A+s\vec Q(t) \]

圆锥面: 准线为圆，且顶点与圆心连线垂直圆面的锥面

例 6. 如下方程所表示的曲面

\[xy+yz+zx=0 \]

例 7. $C:\{(x,y,z):f(x,y)=0,z=0\}$为准线，$A=(0,0,1)$为顶点的锥面

例 8. $C:\{(x,y,z):f(x,y)=0,z=0\}$为准线，$A=(1,1,2)$为顶点的锥面

6.

可以看到若$(x,y,z)$在曲面上，则$(tx,ty,tz)$也在曲面上。

即顶点为$A=(0,0,0)$。

曲线是以原点为顶点的锥面。

7.

$P=(x,y,z)$在锥面上，$(x_0,y_0,0)$在准线上，则

\[(x,y,z)=(1-s)(0,0,1)+s(x_0,y_0,0) \]

所以有

\[z=1-s \]

则

\[(x,y,z)=z(0,0,1)+(1-z)(x_0,y_0,0) \]

有

\[x_0=\dfrac{x}{1-z}, y_0=\dfrac{y}{1-z} \]

则，锥面方程为

\[f(\dfrac{x}{1-z},\dfrac{y}{1-z})=0 \]

8.

$P=(x,y,z)$在锥面上，$(x_0,y_0,0)$在准线上，则

\[(x,y,z)=(1-s)(1,1,2)+s(x_0,y_0,0) \]

所以有

\[z=2-2s \]

则

\[(x,y,z)=\frac{z}2(1,1,2)+(1-\frac{z}2)(x_0,y_0,0) \]

有

\[x_0=?, y_0=? \]

则，锥面方程为

\[f(?,?)=0 \]

旋转面

一条曲线绕一条直线旋转产生的曲面叫作旋转面。这条曲线称为子午线，这条直线称为转轴。

方程描述较为复杂

例 9. 圆

\[\begin{cases} (y-R)^2+z^2=r^2 \\ x=0 \end{cases}, 0<r<R \]

绕$z$轴产生的环面

例 10. 线$l_1: x-1=y=z$，线$l_2:x=y=0$ 旋转产生的旋转面的方程

9.

10.

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谢谢

例 11. 本节读完

11.