1. 数量场在曲线上的积分

曲线积分和曲面积分

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

数量场在曲线上的积分

基本概念

$L$是一段非均匀线材，其线密度为$f(x,y,z)$，求总质量。

curve-intg-type1

从$A$到$B$依次插入$A=A_0$,$A_1$,$\cdots$,$A_n=B$，将$L$分为$n$小段。记第$i$段弧长为$\Delta s_i$，在第$i$上任取一点$M_i$，则第$i$段的质量近似为$f(M_i)\Delta s_i$，所以总质量近似为

\[\sum_{i=1}^n f(M_i)\Delta s_i \]

这个Riemann和的极限就是$L$的总质量了。

定义 1.
$L$为$\mathbb{R}^3$上的(逐段)光滑曲线段，$f(x,y,z)$是定义在$L$上的数量场(或函数)。 用$A_0$,$A_1$,$\cdots$,$A_n$把$L$分为$n$段， 第$i$段$\widehat{A_{i-1}A_i}$的弧长为$\Delta s_i$， 最大长度为$\lambda=\max \Delta s_i$。 $M_i$为第$i$段上任一点。 若下述Riemann和的极限

\[\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^nf(M_i)\Delta s_i \]

存在有限，且与$M_i$的选取无关， 则称此极限为数量场$f(x,y,z)$在曲线$L$上的积分，或称为第一型曲线积分，记为

\[\int_Lf(x,y,z)ds=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(M_i)\Delta s_i \]
  • 从定义上看，数量场在曲线上的积分，与函数在区间$[a,b]$上的积分，只是平直区间换成了曲线。
  • 因此，第一型曲线积分与定积分有类似的性质：
    1. 积分对于被积分函数的线性性, 保序性
    2. 积分对于积分曲线的可加性
      \[\int_L f(x,y,z)ds=\int_{L_1}f(x,y,z)dx+\int_{L_2}f(x,y,z)ds \]
      其中$L$由$L_1$和$L_2$连接而成。
  • $f(x,y,z)\equiv 1$时， $\displaystyle \int_Lds$给出了$L$的弧长。

数量场在曲线上的积分的计算

设曲线$L$的参数方程

\[\vec r=\vec r(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k, \quad t\in[\alpha,\beta] \]

其中$x(t)$, $y(t)$, $z(t)$在区间$[\alpha,\beta]$上有连续的一阶微商， 且$|\vec r'(t)|\neq 0$。

$f(x,y,z)$在$L$上连续，因而$f(x(t),y(t),z(t))$在$[\alpha,\beta]$上连续。

做$[\alpha,\beta]$上的分割

\[T: \alpha=t_0<t_1<\cdots<t_n=\beta \]

对应$L$上的点

\[A_i (x(t_i), y(t_i),z(t_i)) \]

由积分中值定理，弧长

\[\Delta s_i=\int_{t_{i-1}}^{t_i}|\vec r'(t)|dt=|r'(\theta_i)|\Delta t_i \]

curve-intg-type1

其中$\theta_i\in[t_{i-1},t_i]$。 每个弧段上任取一点

\[M_i(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i)), \quad \tau_i\in[t_{i-1},t_i] \]

则有

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^nf(M_i)\Delta s_i=&\sum_{i=1}^nf(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i))|\vec r'(\theta_i)|\Delta t_i \\ =&\sum_{i=1}^nf(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i))|\vec r'(\tau_i)|\Delta t_i \\ &+\sum_{i=1}^nf(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i))[|\vec r'(\theta_i)|-|\vec r'(\tau_i)|]\Delta t_i \end{aligned} \]

可以看到第1项是一个标准的Riemann和形式，

由$f(x(t), y(t), z(t))|\vec r'(t)|$的连续性，它在$[\alpha,\beta]$上可积。

$\color{red}\forall\epsilon>0$，存在$\delta_1>0$，当$|T|<\delta_1$时，有

\[\begin{aligned} \bigg|\sum_{i=1}^nf(x(\tau_i),& y(\tau_i), z(\tau_i))|\vec r'(\tau_i)|\Delta t_i \\ &-\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t))|\vec r'(t)|dt\bigg|<\epsilon \end{aligned} \]

下面说明，等式的另一项足够小。

由$f(x(t),y(t),z(t))$在$[\alpha,\beta]$上连续，因而有界，即$|f|\leq M$。

由$|\vec r'(t)|$在$[\alpha,\beta]$上连续，从而一致连续。因此，存在$\delta_2>0$，有

\[\big||\vec r'(t_1)|-|\vec r'(t_2)|\big|<\epsilon, \forall |t_1-t_2|<\delta_2 \]

这样，当$|T|<\delta_2$时，$\theta_i, \tau_i\in[t_{i-1},t_i]$，有

\[|\theta_i-\tau_i|\leq \Delta t_i\leq|T|\leq \delta_2 \]

从而

\[\left|\sum_{i=1}^nf(x(\tau_i), y(\tau_i), z(\tau_i))\big[|\vec r'(\theta_i)|-|\vec r'(\tau_i)|\big]\Delta t_i\right|<M(\beta-\alpha)\epsilon \]

因此，取$\color{red}\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$，当分割满足$\color{red}|T|<\delta$时，有

\[\begin{aligned} \left|\sum_{i=1}^nf(M_i)\Delta s_i-\int_{\alpha}^{\beta} f(M(t))|\vec r'(t)|dt\right| {\color{red}<\epsilon+M(\beta-\alpha)\epsilon} \end{aligned} \]

定理 1.
光滑曲线$L$的参数方程

\[\vec r(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k, \quad t\in [\alpha,\beta] \]

$f(x,y,z)$为定义在$L$上的连续函数，则$f(x,y,z)$在曲线$L$上的第一型曲线积分存在，且

\[\begin{aligned} &\int_Lf(x,y,z)ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t))|\vec r'(t)|dt \\ &=\int_{\alpha}^{\beta}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt \end{aligned} \]
  • 定理中，用$ds=|\vec r'(t)|dt$，数量场在曲线的积分就化为通常的积分。
  • 与定积分的换元公式有点类似。
    \[\int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^\beta f(x)x'(t)dt \]
    这里用$dx=x'(t)dt$，而弧长元用$ds=|\vec r'(t)|dt$。
  • 对于平面曲线$y=y(x)$, $x\in[a,b]$，有
    \[\int_Lf(x,y)ds=\int_a^b f(x,y(x))\sqrt{1+(y'(x))^2}dx \]
  • 极坐标下的平面曲线$r=r(\theta)$, $\theta\in[\alpha,\beta]$，有
    \[\begin{cases} x=r(\theta)\cos\theta \\ y=r(\theta)\sin(\theta) \end{cases} \]
    则
    \[\int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(r,\theta)\sqrt{r(\theta)^2+(r'(\theta))^2}d\theta \]

例 1. 计算第一型曲线积分

\[\int_L\sqrt{x^2+y^2}ds \]

其中$L$为圆周$x^2+y^2=ax$, $a>0$

例 2. 计算

\[\int_L |y|ds \]

其中，$L$为双纽线 $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$

[#ex7-1-2].

例 3. 计算

\[\int_L (x^{\frac43}+y^{\frac43})ds \]

其中，$L$为内摆线 $x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}$

例 4. 计算

\[\int_L x^2ds \]

其中，$L$为圆周 $x^2+y^2+z^2=a^2$, $x+y+z=0$

4.

目录

本节读完

例 5. $S$为柱面$x^2+y^2=1$在$z=0$, $z=2$之间的部分，求

\[\iint_S\frac{y+z}{x^2+y^2+z^2}dS \]

例 6. $L$为连接点$A(-2,1)$与原点$O$的线段和圆周$x^2+y^2=-2y$第四象限的部分，求

\[\int_L \sqrt{x^2+y^2}ds \]

5.