2. 数量场在曲面上的积分

曲线积分和曲面积分

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

数量场在曲面上的积分

考虑数量场$f(x,y,z)$在空间中一张曲面上的积分。

曲面面积

$S$为$\mathbb{R}^3$空间中的光滑曲面，其参数方程为

\[\vec r=\vec r(u,v)=\begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix} , (u,v)\in D \]

即 $x(u,v),y(u,v),z(u,v)\in C^1$ 且 $|r'_u\times r'_v|\neq0$。 这里，$D$是参变量$(u,v)$所在平面中的一个有界区域。

area-element

设$(u,v)\in D$，

\[M = \vec r(u,v) \]

给变量$u$,$v$一个小的增量$du$,$dv$。 则映射的像为曲边四边形$MNPQ$。

$MN'=\vec r'_udu$为圆弧$\widehat{MN}$的近似。

$MQ'=\vec r'_vdu$为圆弧$\overset{\frown}{MQ}$的近似。

曲边四边形$MNPQ$的面积可以近似由切平面的平形四边形$MN'P'Q'$来得到（以曲代直）。

函数的增量与微分分别为

\[\begin{aligned} \vec{MP}=&\vec r(u+du,v+dv)-\vec r(u,v)=\Delta \vec r, \\ \vec{MP'}=&\vec r'_udu+\vec r'_vdv=d\vec r \end{aligned} \]

而

\[\begin{aligned} \Delta \vec r=&(\Delta x, \Delta y, \Delta z) \\ =&(x'_udu+x'_vdv+o(\rho),y'_udu+y'_vdv+o(\rho), \\ &z'_udu+z'_vdv+o(\rho)) \\ =&\vec r'_udu+\vec r'_vdv+(o(\rho),o(\rho),o(\rho)) \\ =&d\vec r+(o(\rho),o(\rho),o(\rho)) \end{aligned} \]

则可得到

\[|\Delta \vec r-d\vec r|=o(\rho) , \rho=\sqrt{dx^2+dy^2} \]

这样，得到曲面的面积元素(面积微元)，

\[dS=|\vec r'_udu\times \vec r'_vdv|=|\vec r'_u\times \vec r'_v|dudv \]

于是曲面的面积为

\[\sigma(S)=\iint\limits_D |\vec r'_u\times \vec r'_v|dudv \]

由

\[\begin{aligned} |\vec r'_u\times \vec r'_v|^2=&(\vec r'_u\times \vec r'_v) \cdot (\vec r'_u\times \vec r'_v) \\ =&(\vec r'_u)^2(\vec r'_v)^2-(\vec r'_u\cdot \vec r'_v)^2 \end{aligned} \]

记

\[\begin{aligned} E=&(\vec r'_u)^2=(x'_u)^2+(y'_u)^2+(z'_u)^2 \\ G=&(\vec r'_v)^2=(x'_v)^2+(y'_v)^2+(z'_v)^2 \\ F=&\vec r'_u \cdot \vec r'_v =x'_u x'_v+ y'_u y'_v+ z'_u z'_v \end{aligned} \]

则面积元素可以记为

\[dS=|\vec r'_u\times \vec r'_v|dudv=\sqrt{EG-F^2}dudv \]

从而，曲面的面积为

\[\sigma(S)=\iint\limits_D \sqrt{EG-F^2}dudv \]

注. 曲面的面积不应该依赖于参数方程的表示，即曲面的积分与所选取曲面的参数表示无关。

若曲面$S$为平面，则

\[\vec r=\vec r(u,v)=\begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ 0 \end{pmatrix} , (u,v)\in D \]

则有

\[|\vec r'_u\times \vec r'_v|=\left|{\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right| \]

面积元素

\[dS=\left|{\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right|dudv \]

再次得到了二重积分中平面区域$S$和平面区域$D$之间变换的面积元素之间的关系。 (二重积分的换元)

曲面$S$为显式曲面 $S: z=f(x,y)$，则

\[r=r(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ f(x,y) \end{pmatrix} , (x,y)\in D \]

则

\[E=1^2+(z'_x)^2 , G=1^2+(z'_y)^2, F=z'_x z'_y \]

这样，

\[dS=\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy \]
\[\sigma(S)=\iint\limits_D \sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy \]

曲面$S$为隐式曲面， $F(x,y,z)=0$，且$F'_z\neq0$，则

\[z'_x=-\frac{F'_x}{F'_z} , z'_y=-\frac{F'_y}{F'_z} \]

从而

\[\sigma(S)=\iint\limits_D\frac{\sqrt{(F'_x)^2+(F'_y)^2+(F'_z)^2}}{|F'_z|}dxdy \]

例 1. (例11.2.1) 求半径为$R$的球的表面积

例 2. (例11.2.2) 求球面$x^2+y^2+z^2=R^2$

被柱面$x^2+y^2=Rx$所截的曲面$S$的面积。

例 3. (例11.2.3) 求锥面$y^2+z^2=x^2$

被柱面$y^2+z^2=R$所截的曲面$S$的面积。

[#ex11-2-1].

数量场在曲面上的积分的计算

定义 1.
$S\in\mathbb{R}^3$为一有界的光滑曲面，$f(x,y,z)$定义在$S$上。 将$S$任意分为$n$块小曲面$S_1,S_2,\cdots,S_n$，每块面积为$\Delta S_i$。 记所有小曲面的最大半径为$\lambda$。 任取点$\vec m_i\in S_i$， 若极限

\[\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\vec m_i)\Delta S_i \]

为一个有限数，且与$\vec m_i$的选取无关， 则称$f(x,y,z)$在曲面$S$上的第一型曲面积分存在，记为

\[\iint\limits_S f(x,y,z)dS =\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\vec m_i)\Delta S_i \]

定理 1.
$\mathbb{R}^3$中曲面$S$有参数方程

\[r(u,v)=\begin{cases} & x=x(u,v) \\ & y=y(u,v) \\ & z=z(u,v) \end{cases} , (u,v)\in D \]

$D$为$Ouv$平面的有界闭区域。若$f(x,y,z)$在$S$上连续， 则$f(x,y,z)$在$S$上的第一型曲面积分存在，且

\[\begin{aligned} \iint\limits_S f(x,y,z)ds=\iint\limits_D f(x,y,z) |\vec r'_u\times \vec r'_v|dudv \\ =\iint\limits_D f(x,y,z) \sqrt{EG-F^2}dudv \\ \end{aligned} \]

可以看到，定理中式子的右端是定义在平面区域$D$上的函数

\[f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|\vec r'_u\times\vec r'_v| \]

的二重积分

若$S$为显式曲面： $z=z(x,y)$， $(x,y)\in D$，则

\[\begin{aligned} &\iint\limits_S f(x,y,z)ds \\ &=\iint\limits_D f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy \end{aligned} \]

例 4. 积分

\[\begin{aligned} \iint\limits_S (x^2+y^2+z^2)ds , \iint\limits_P (x^2+y^2+z^2)ds \\ \end{aligned} \]

其中$S: x^2+y^2+z^2=a^2$，为球面 ；

$P: x+y+z=a$在第一象限部分

例 5. 求积分

\[\iint\limits_S zds \]

$S$为曲面$x^2+z^2=2az$, $a>0$被曲面$z=\sqrt{x^2+y^2}$所割下的部分

5.

chap7-3-ex-8

例 6. 求积分

\[\iint\limits_S (xy+yz+zx)ds \]

$S$为曲面$z=\sqrt{x^2+y^2}$的锥面被$x^2+y^2=2ax$所割下的部分

例 7. $S$为柱面$x^2+y^2=1$在$z=0$, $z=2$之间的部分，求

\[\iint_S\frac{y+z}{x^2+y^2+z^2}dS \]

6.

chap7-3-ex-9

[#ex7-3-10].

本节读完

7.

例 8. 求摆线

\[\begin{cases} & x=a(t-\sin t) \\ & y=a(1-\cos t) \end{cases} , t\in[0,\pi] \]

的重心

例 9. $L$为连接点$A(-2,1)$与原点$O$的线段和圆周$x^2+y^2=-2y$第四象限的部分，求

\[\int_L \sqrt{x^2+y^2}ds \]