3. 向量场在曲线上的积分

多变量函数的积分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

向量场在曲线上的积分

问题. 空间域中力场$\vec F(M)$, $M\in V$，$L_{AB}\subset V$为光滑曲线。质点沿$AB$运动，求力$\vec F$对它做的功。

把$L_{AB}$分为$n$小段。 在第$i$上任取一点$M_i$，则力$F$在第$i$段上近似为常值$\vec F(M_i)$。 力做的功近似为$\vec F(M_i)\cdot\Delta \vec r_i$，其中

\[\Delta \vec r_i=\overrightarrow{A_{i-1}A_{i}}=r_{i}-r_{i-1} \]

指向质点运动的方向。

fig-curve-integral-type2

把这些近似值相加，并让分割的长度趋于0，就可以得到力场所做的总功。

可以看到，即使质点在同一曲线上运动，但运动方向不同，力场所做的功也不同。

因此，有必要明确曲线的方向。

曲线的定向

定义 1.
设$L$是连接空间中$A$, $B$两点的曲线，规定其中一个为起点，等价地就规定了曲线$L$的一个方向。

定义了方向的曲线，称为定向曲线。

以$A$为起点，$B$为终点的定向曲线记为$L_{AB}$。

设曲线$L$具有参数方程

\[\vec r=\vec r(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} , t\in[\alpha,\beta] \]

若有$A=\vec r(\alpha)$, $B=\vec r(\beta)$，则参数增加的方向与$L_{AB}$的正向一致， 称$t$是定向曲线$L_{AB}$的正向参数。

若$L$为光滑曲线，则切向量$\vec r'(t)$指向参数$t$增加的方向。这样的话，

  • 指定单位切向量为$\tau=\frac{r'(t)}{|r'(t)|}$，则相当于选定$L_{AB}$为正方向，
  • 指定单位切向量为$\tau=-\frac{r'(t)}{|r'(t)|}$，则相当于选定$L_{BA}$为正方向，
  • 若曲线是逐段光滑的，可以在每一段上选取与曲线正向一致的参数，得到曲线的分段正向参数表示。
  • 若$L$是一条简单闭曲线，习惯上称逆时针方向为正方向。 此时，$L$围成的区域在$L$行进方向的左边。
  • 有些问题，曲线有明确的正方向。如质点的运动方向作为其轨迹曲线的正方向。

向量场在曲线上的积分的定义和计算

定义 2.
$L_{AB}$为区域$D\subset\mathbb{R}^3$中定向曲线，$\vec F=\vec F(M)$为$D$中的向量场。

用分点$\{A_i\}$将$L_{AB}$分成$n$段。 记$\Delta \vec r_i=\overrightarrow{A_{i-1}A_{i}}$，在第$i$段弧上任取点$M_i$， 当分割的长度趋于0时，和式

\[\sum_{i=1}^n \vec F(M_i)\cdot\Delta \vec r_i \]

fig-curve-integral-type2

的极限存在，且与分点$\{A_i\}$及取点$\{M_i\}$都无关，

则称这个极限为向量场$F$在定向曲线$L_{AB}$上的第二型曲线积分，记为

\[\int_{L_{AB}}\vec F\cdot d\vec r=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n\vec F(M_i)\cdot\Delta \vec r_i \]

定向曲线$L_{AB}$称为积分路径。

当$L$为封闭曲线时，$\displaystyle \int_L\vec F\cdot d\vec r$称为向量场$\vec F$沿回路$L$的环量，记为

\[\oint_L\vec F\cdot d\vec r \]

定理 1.
若空间区域$D$内的曲线$L$有参数方程

\[\vec r(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k,\quad t\in[\alpha,\beta] \]

且有连续的导函数，参数$t$是正向参数。 向量场

\[\vec v=P(x,y,z)\vec i+Q(x,y,z)\vec j+ R(x,y,z)\vec k \]

在$D$内连续。 则有

\[\begin{aligned} \int_{L_{AB}}\vec v\cdot d\vec r=&\int_{\alpha}^{\beta}\vec v(\vec r(t))\cdot \vec r'(t) dt \\ =&\int_{\alpha}^{\beta}[Px'(t)+Qy'(t)+Rz'(t)]dt \end{aligned} \]

证明.

利用

\[d\vec r=(dx, dy, dz) \]

若$\vec v=(P,Q,R)$，则第二型曲线积分又可以记为

\[\int_{L_{AB}}\vec v\cdot d\vec r=\int_{L_{AB}} Pdx+Qdy+Rdz \]

若$Q=R=0$，则记为$\displaystyle \int_{L_{AB}}Pdx$。

  • 注意$\displaystyle \int_{L_{AB}}Pdx$与通常定积分所用符号的区别。

设$s$为曲线$L_{AB}$的弧长参数，弧长增长对应曲线的正向。则有

\[d\vec r=\vec \tau(s) ds \]

其中$\vec \tau(s)$是单位切向量。因此，向量场的曲线积分可以表示为

\[\int_{L_{AB}}\vec v\cdot d\vec r=\int_{L_{AB}}\vec v\cdot\vec \tau ds \]
  • 第二型积分就是向量场关于曲线有向弧长元素投影的积分，而$\displaystyle\int_{L_{AB}}\vec v\cdot\vec \tau ds$就是函数$\vec v\cdot\vec \tau$在$L$上的第一型曲线积分。

性质

(1) 线性

\[\int_{L_{AB}}(c_1\vec v_1+c_2\vec v_2)\cdot d\vec r =c_1\int_{L_{AB}}\vec v_1\cdot d\vec r+c_2\int_{L_{AB}}\vec v_2\cdot d\vec r \]

特别地，有

\[\int_{L_{AB}}\vec v\cdot d\vec r=\int_{L_{AB}}Pdx+\int_{L_{AB}}Qdy+\int_{L_{AB}}Rdz \]

(2) 积分曲线可加性 $L_{AC}$是由$L_{AB}$与$L_{BC}$连接而成，则

\[\int_{L_{AC}}\vec v\cdot d\vec r =\int_{L_{AB}}\vec v\cdot d\vec r+\int_{L_{BC}}\vec v\cdot d\vec r \]

(3) 方向性

\[\int_{L_{AB}}\vec v\cdot d\vec r=-\int_{L_{BA}}\vec v\cdot d\vec r \]

(4) 若$L$在$x$轴上，为$x$轴闭区间$[a,b]$，取正向为从$a$到$b$，则

\[\int_{L_{AB}}\vec v\cdot d\vec r=\int_a^b P(x,0,0)dx \]

(5) 若

\[L:\begin{cases} & x=c \\ & y=y(t) \\ & z=z(t) \end{cases} \]

位于垂直于$x$轴的平面上，则

\[\int_L P dx=0 \]
  • 物理上来说：若力与运动方向是垂直的，则做功为$0$
  • 几何上来看：有向弧长$d\vec r=\vec\tau ds$在$x$轴上的投影为0。

(6) 若$L_{AB}: y=y(x), x\in[a,b]$，则

\[\int_{L_{AB}}Pd x=\int_a^b P(x,y(x))dx \]

例 1. $C$为$ y=x^2 , x\in[-1,1]$，求

\[\int_C (x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy \]

例 2. $O$为原点，$A=(1,2)$，求

\[\int_{OA} xdy-ydx \]

(1) $OA$为直线，$y=2x$

(2) $OA$为抛物线， $y=2x^2$

(3) $OA$为两段折线，$OB: y=0$和$BA: x=1$

1.

例 3. $C$的方程为

\[\begin{cases} & x^2+y^2+z^2=a^2 \\ & x^2+y^2=ax \end{cases} , z\geq0, a>0 \]

求曲线积分

\[\int_C y^2dx+z^2dy+x^2dz \]

3.

Green公式

fig-green-domain

如左图所示的平面区域$D$的边界上 计算第二型积分

\[\oint_L Pdx+Qdy \]

$D$有两种表达形式，分别表示为

\[\begin{aligned} D_y=\{(x,y): y_1(x)\leq y\leq y_2(x), x\in[a,b]\} \\ D_x=\{(x,y): x_1(y)\leq x\leq x_2(y), y\in[c,d]\} \\ \end{aligned} \]

fig-green-domain-y
\[\begin{aligned} \oint_L Qdy=\int_{L_1}Qdy+\int_{L_2}Qdy \\ =-\int_c^d Q(x_1(y),y)dy \\ +\int_c^d Q(x_2(y),y)dy \\ \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \oint_{L}Qdy=&\int_c^d {\color{red}\left[Q(x_2(y),y)-Q(x_1(y),y)\right]}dy \\ =&\int_c^d {\color{red} \left[\int_{x_1(y)}^{x_2(y)}\frac{\partial Q}{\partial x}dx\right]} dy =\iint_{D_y}\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy \end{aligned} \]

fig-green-domain-x
\[\begin{aligned} \oint_L Pdx=\int_{L_1}Pdx+\int_{L_2}Pdx \\ =\int_a^b P(x,y_1(x))dx \\ -\int_a^b P(x, y_2(x))dx \\ \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \oint_{L}Pdx=&\int_a^b {\color{red}\left[P(x,y_1(x))-P(x,y_2(x))\right]}dx \\ =&\int_a^b {\color{red} \left[-\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dy\right]} dx =\iint_{D_x}\left[-\frac{\partial P}{\partial y}\right]dxdy \end{aligned} \]

因而，

fig-green-domain
\[\begin{aligned} \oint_L Pdx+&Qdy\\ =&\iint_{D_x}\left[-\frac{\partial P}{\partial y}\right]dxdy \\ &+\iint_{D_y}\left[\frac{\partial Q}{\partial x}\right]dxdy \end{aligned} \]

即

\[\oint_L Pdx+Qdy=\iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \]

fig-green-domain-i

若区域如左图所示(称为I型)，则

\[\begin{aligned} \oint_L Qdy = \iint_{D_y}\left[\frac{\partial Q}{\partial x}\right]dxdy \end{aligned} \]

而

\[\begin{aligned} \oint_L Pdx = \int_{L_1+L_2+L_3+L_4} Pdx \end{aligned} \]

注意到，在$L_2$和$L_4$上，$dx=0$，因而$\displaystyle \int_{L_2+L_4}Pdx=0$。

\[\oint_L Pdx=\int_{L_1+L_3} Pdx=\iint\limits_D\left(-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \]

fig-green-domain-ii

若区域如左图所示(称为II型)。

分析过程如前，同样可以得到

\[\begin{aligned} \oint_L Pdx+Qdy = \iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \end{aligned} \]

fig-green-domain-iii

对于一般的区域， 总能分割成若干个I型或II型区域， 而在公共边界上的曲线积分被计算了2次，但方向相反，因此相互抵消。

再利用二重积分的可加性，有

定理 2. (Green公式)
$D$是由分段光滑闭曲线$L$围成的平面单连通区域，函数$P(x,y)$, $Q(x,y)$在$D$上有一阶连续偏导数，则有

\[\oint_L Pdx+Qdy=\iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \]

其中$L$的方向为：沿此方向行进时，区域$D$始终在左侧。

  • 在一定条件下，沿平面区域的边界的第二型曲线积分，可以转化成在这个区域上的二重积分

Green公式对多连通域同样成立。此时规定边界上的正方向为：沿边界走，区域在左侧。

\[\oint_{\partial D} Pdx+Qdy=\iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \]

fig-green-domain-multi

推论 1.
设$D$是满足Green公式的平面区域，$L$为$D$的边界。则其面积$\sigma(D)$为

\[\sigma(D)=\oint_Lxdy=-\oint_L y dx=\frac12\oint_L xdy-ydx \]

若$L$的参数方程为$x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in[\alpha,\beta]$，则

\[A=\frac12\left|{ \int_{\alpha}^{\beta} [x(t)y'(t)-y(t)x'(t)]dt }\right| \]

例 4. $C$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$沿逆时针方向，求

\[\oint_C (x+y)dx+(x-y)dy \]

例 5. $C$为圆$x^2+y^2=a^2$沿逆时针方向，求

\[\oint_C \frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2} \]

若$C$为一条包含原点的逐段光滑闭曲线（即原点是$C$所围成区域的内点）呢？

例 5.

解. 注意到，在原点函数$\frac{x+y}{x^2+y^2}$的极限不存在，因而，不能直接用Green公式。

\begin{tikzpicture} \fill[blue!30!white, draw=black, opacity=0.5] plot[smooth cycle] coordinates {(-1.5,0) (-0.8, 1.2) (-0.1, 1.8) (1.5, 0.7) (1.6, -0.8) (0.3, -1.3) (-0.7, -0.5)}; \fill[white] (0,0) circle (0.3); \draw[dashed, red] (0,0) circle (0.3); \draw (-30:0.3) node[anchor=north west] {$\Gamma$}; \draw (1.5,0.7) node[anchor=south west] {$C$}; % 坐标轴 \draw[->] (-2,0)--(2,0) node [anchor=west] {$x$}; \draw[->] (0,-2)--(0,2) node [anchor=south] {$y$}; \end{tikzpicture}

例 6. 曲线$AmO$为点$A=(a,0)$到点$O=(0,0)$的上半圆周$x^2+y^2=ax$，求

\[\int_{AmO}(e^x\sin y-m\cdot y)dx+(e^x\cos y-m)dy \]

例6.

\begin{tikzpicture} \draw [->] (-0.1,0)--(4.1,0) node[anchor=west] {$x$}; \draw [->] (0,-0.1)--(0,2.1) node[anchor=south] {$y$}; \draw[red] (4,0) arc [start angle=0, end angle=180, radius=2]; \node[anchor=north] at (0,0) {$O$}; \node[anchor=north] at (4,0) {$A$}; \node[anchor=south] at (2,2) {$m$}; \node at (2,1) {$\Omega$}; \draw[blue,ultra thick] (0,0)--(4,0); \end{tikzpicture}

例 7. 求面积$\displaystyle A=\frac12\oint_c xdy-ydx$

(1) 椭圆

\[\begin{cases} & x=a\cos t\\ & y=b\sin t \end{cases} , t\in[0,2\pi] \]

(2) 星形线

\[\begin{cases} & x=a\cos^3 t\\ & y=b\sin^3 t \end{cases} , t\in[0,2\pi] \]

(3) 双纽线 $(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$

例7.

\begin{tikzpicture} \begin{axis}[width=8cm, height=4cm, axis lines=center, xmax=1.1, ymax=0.41, samples=50,variable=t] \addplot[domain=-pi/4.0:pi/4.0, red, thick] % 设置函数的定义域 ({sqrt(cos(deg(2*t)))*cos(deg(t))},{sqrt(cos(deg(2*t)))*sin(deg(t))}); \addplot[domain=3*pi/4.0:5*pi/4.0, red, thick] % 设置函数的定义域 ({sqrt(cos(deg(2*t)))*cos(deg(t))},{sqrt(cos(deg(2*t)))*sin(deg(t))}); \end{axis} \end{tikzpicture}

例 8. 求外摆线（$m<1$为外圆与内圆的半径比）的一拱与对应的圆弧所围成的图形的面积

\[\begin{cases} x=a[(1+m)\cos(mt)-m\cos(1+m)t] \\ y=a[(1+m)\sin(mt)-m\sin(1+m)t] \end{cases} \]

fig-ex11-waibai

例 9. 求笛卡尔叶形线围成的面积

\[x^3+y^3=3axy \]

fig-ex11-descartes

例9

解. 参数化，令$y=tx$，有

\[x=\frac{3at}{1+t^3}, y=\frac{3at^2}{1+t^3} , \quad t\in[0,+\infty) \]

定理 3.
设$D$是平面上的单连通区域，$\vec v$是定义在$D$上的光滑向量场，则下列3个命题相互等价：

  1. 向量场$\vec v$在区域$D$内绕任何简单闭曲线$L$的环量为0，即
    \[\oint_{L} \vec v\cdot d\vec r=0 \]
  2. 向量场$\vec v$是一个函数的梯度场，即存在函数$\phi(x,y)$，满足
    \[\vec v=\mbox{grad}\ \phi(x,y)=\nabla \phi(x,y) \]
    且这样的函数在相差一个常数意义下是唯一。
  3. 向量场$\vec v=(P,Q)$的两个分量 $P$, $Q$满足 $\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$

满足命题1，也就意味着$\vec v$在区域$D$内的曲线积分与路径无关。 因此，可以记连接$D$中两点$A$, $B$的曲线$L_{AB}$上的积分为

\[\int_{L_{AB}} \vec v\cdot d\vec r=\int_A^{B} \vec v\cdot d\vec r \]

定理 4.
设$D$是平面上的单连通区域，$\vec v$是定义在$D$上的光滑向量场。 如果$\vec v$在$D$内的曲线积分与路径无关，则对于$D$内任意两点$A$, $B$有

\[\int_A^B \vec v\cdot d\vec r=\phi(B)-\phi(A) \]

其中$\phi(x,y)$满足$\vec v=\nabla\phi$。

目录

例

例 10. 本节读完

10.

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