4. 向量场在曲面上的积分

曲线积分和曲面积分

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

向量场在曲面上的积分

物理背景： $V$中流体每一点有速度$\vec v$，若有曲面$S\subset V$，则流过$S$的流体有多少？

曲面的定向

  • 通常的曲面都有正侧和反侧，或内侧和外侧。如果一个油漆匠油漆曲面的某一侧，只要不超过边界， 是不可能油漆到另一侧的。
  • Mobius带只有一侧。

    fig-mobius

  • 有光滑曲面$S$，曲面上每一点$M$都有非零法向量$\vec n(M)$， 则$-\vec n(M)$也是$S$在$M$点的法向量。
  • 对点$M_0\in S$，取定$M_0$处法向量的一个，记为$\vec n(M_0)$。

fig-dir-surface-1
  • 作任意$S$上过$M_0$的闭曲线$L$
  • 让点$M$从$M_0$沿$L$运动， 并取法向量$\vec n(M)$使其连续变化。
  • 若$M$回到$M_0$时，取到的法向量还是$\vec n(M_0)$， 则称$M_0$是$S$上的双侧点。
  • 如果曲面上所有的点都是双侧点，则称曲面是双侧曲面。否则，称为单侧曲面。
  • 只要曲面上有一个点是双侧点，则曲面就是一个双侧曲面。
  • 双侧曲面也称为可定向曲面。
  • 只讨论双侧曲面。

对于可定向曲面，指定一个连续的单位法向量场$\vec n$为正向，称曲面为定向曲面， $\vec n$称为定向曲面的正向。

  • 若可定向曲面$S$有参数表示

    \[\vec r= x(u,v)\vec i+ y(u,v)\vec j+ z(u,v)\vec k, \quad (u,v)\in D \]

    则它有法向量

    \[\pm\vec r'_u\times\vec r'_v=\pm\left(\frac{\partial (y,z)}{\partial(u,v)}\vec i +\frac{\partial (z,x)}{\partial(u,v)}\vec j +\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\vec k\right) \]

    若$\vec r'_u\times\vec r'_v$与曲面的正向$\vec n$指向相同， 则称$(u,v)$是定向曲面$S$的正向参数。此时，有

    \[\vec n=\frac{\vec r'_u\times\vec r'_v}{|\vec r'_u\times\vec r'_v|} \]

    否则，称$(u,v)$是反向参数。

  • 可以验证，若$(u,v)$是反向参数， 则$(v,u)$是正向参数。

tangent-plane

对于一般的参数曲面，不做特别声明的话，取$(u,v)$是定向曲面的正向参数。 即一般的参数曲面的正向是

\[\vec n=\frac{\vec r'_u\times\vec r'_v}{|\vec r'_u\times\vec r'_v|} \]
  • 特别地，$S$可以显式表达为 $z=f(x,y)$，$(x,y)\in D$。则参数正向
    \[\vec n=\frac{-\frac{\partial f}{\partial x}\vec i -\frac{\partial f}{\partial y}\vec j+\vec k}{\sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2}} \]
    与$z$轴的夹角$\alpha$的余弦为$\vec n\cdot \vec k>0$，因而夹角为锐角。 即显式表达的曲面的 参数正向 为通常所说的曲面的上侧。另一侧就是曲面的下侧。

由二元函数表达的曲面的切平面的法向量

\[z=f(x,y), (x,y)\in D \]

写成参数方程

\[\vec r=\vec r(x,y)=(x,y,f(x,y)) \]

所以

\[\begin{aligned} \vec r'_x=(1,0,f'_x) \\ \vec r'_y=(0,1,f'_y) \end{aligned} \]

可以得到切平面的法向量

\[\begin{aligned} \left| \begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 0 & f'_x \\ 0 & 1 & f'_y \end{array} \right|=(-f'_x,-f'_y,1) \end{aligned} \]

单位法向量$\vec n$与$z$轴的夹角的余弦为

\[\cos\alpha=\vec n\cdot(0,0,1)=\frac1{\sqrt{1+(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2}}>0 \]

因而，夹角为锐角($<90^\circ$)。

球面方程

\[\begin{cases} & x(\theta, \phi)=R\sin\theta\cos\phi , \\ & y(\theta, \phi)=R\sin\theta\sin\phi , \\ & z(\theta, \phi)=R\cos\theta \end{cases} \]

其中$(\theta,\phi)\in[0,\pi]\times[0,2\pi]$

参数正向为球面的外侧。

sphere-coord

问题. 若将下半球面写成$z=-\sqrt{R^2-x^2-y^2}$，则参数正向为？

sphere-coord

  • 对于封闭曲面，通常把两侧分为内侧与外侧。如，对于球面
    \[x^2+y^2+z^2=R^2 \]
    的外侧法向量为
    \[\vec n=\frac{x\vec i+y\vec j+z\vec k}{R}=\frac{\vec r}{R} \]
  • 需要将曲面的取向与其边界曲线的方向相协调： 曲面的正向与边界曲线的正向构成右手系。 或者说： 在正侧沿边界正向走，曲面在左手。

    fig-dir-surface-consist

  • 对于拼接的曲面$S$（由有限多块曲面拼接，任意两块至多只相交于边界上的一段曲线，任意三块或更多曲面至多只能相交于一点）。
    1. 每一块都应该是可定向的，当其中一块定义了正方向后，它的边界也定义好了协调的正方向。
    2. 如果有两个曲面片有一段公共的边界，它们各自的定向使得在它们公共边界上的定向正好相反。

fig-dir-surface-consist-multi

向量场在曲面上的积分与计算

设$\vec v$是一个不可压流体的速度场， $S$是一张定向曲面。

$S$的外法向量为$\vec n$。 取$S$上的小块面积元$dS$，则有有向面积元$d\vec S=\vec n dS$。 在$dS$上取一点$M$，则流体在$dS$的速度可以近似为$\vec v(M)$。 则单位时间渡过$dS$的流量为

\[dN=\vec v\cdot d\vec S=\vec v\cdot\vec n dS \]

dir-surface-flow

定义 1.
$\vec v(M)$定义在$\mathbb{R}^3$中区域$V$的一个向量场，$S$是$V$中一张光滑的指定了正侧的双侧曲面，$\vec n(M)$为$S$上指向正侧的单位法向量。则积分

\[\iint_S \vec v\cdot d\vec S=\iint_S \vec v\cdot \vec ndS \]

称为向量场$\vec v$在有向曲面$S$上的曲面积分（也称为第二型曲面积分）。 也就是说， 向量场在曲面上的积分是通过数量场$\vec n\cdot\vec n$在曲面上的第一型积分给出的。

当曲面$S$是一个封闭曲面时，称积分为向量场通过封闭曲面的通量，也记为

\[%\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}_S \vec v\cdot d\vec S % \oiint 需要 esint package \oiint_S \vec v\cdot d\vec S \]

用任意分法将曲面分为$S_1$, $S_2$, $\cdots$, $S_n$，并记面积为$\Delta S_i$。取$M_i\in S_i$，做Riemann和

\[\sigma=\sum_{i=1}^n \vec v(M_i)\cdot\vec n(M_i)\Delta S_i \]

记$\lambda$为曲面块$S_i$的最大直径。 若$\lim\limits_{\lambda\to0}\sigma$存在，且与$M_i$, $S_i$的取法无关，则称这个极限为$\vec v$在$S$上的第二型曲面积分，记为

\[\iint_S \vec v \cdot \vec n dS \]

（1） 场的线性：

\[\iint_S(c_1\vec v_1+c_2\vec v_2)\cdot\vec ndS=c_1\iint_S \vec v_1 \cdot \vec n dS+c_2\iint_S \vec v_2 \cdot \vec n dS \]

（2） 积分曲面的可加性： $S$由曲面$S_1$和$S_2$拼接而成，则

\[\iint_S\vec v\cdot\vec ndS=\iint_{S_1} \vec v \cdot \vec n dS+\iint_{S_2} \vec v \cdot \vec n dS \]

（3） 曲面的方向性： 若$S^-$和$S^+$表示曲面的两侧，则

\[\iint_{S^-} \vec v \cdot \vec n_- dS=-\iint_{S^+} \vec v \cdot \vec n_+ dS \]
  • 若定向光滑曲面有正向参数方程
    \[\vec r(u,v)=x(u,v)\vec i+ y(u,v)\vec j+ z(u,v)\vec k, \quad (u,v)\in D \]
    则$S$的面积元为$dS=|r'_u\times r'_v|dudv$，它的正向单位法向量为
    \[\vec n=\frac{r'_u\times r'_v}{|r'_u\times r'_v|} \]
    因而，曲面的有向面积元为
    \[d\vec S=\vec ndS=(r'_u\times r'_v)dudv \]
    则第二型曲面积分可以计算为
    \[\iint_S \vec v\cdot\vec ndS=\iint_D \vec v\cdot(r'_u\times r'_v)dudv \]

设向量场

\[\vec v=P\vec i+Q\vec j+Q\vec k \]

则

\[\begin{aligned} \iint_S \vec v\cdot\vec ndS= & \iint_D\left|{ \begin{matrix} P & Q & R \\ x'_u & y'_u & z'_u \\ x'_v & y'_v & z'_v \end{matrix} }\right|dudv \\ =& \iint_D \left[P\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}+Q\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}+R\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right]dudv \end{aligned} \]
  • 有向面积元$d\vec S$可以表示为
    \[\begin{aligned} d\vec S=&(r'_u\times r'_v)dudv \\ =&\left[\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}dudv\right]\vec i +\left[\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}dudv\right]\vec j +\left[\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv\right]\vec k \end{aligned} \]

记

\[\begin{aligned} dy\wedge dz=&\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}dudv, \\ dz\wedge dx=&\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}dudv, \\ dx\wedge dy=&\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}dudv, \\ \end{aligned} \]
  • 有向面积元可以写成
    \[d\vec S=\vec ndS=dy\wedge dz\vec i +dz\wedge dx\vec j+ dx\wedge dy\vec k \]
  • 第二型曲面积分可以写成
    \[\iint_S \vec v\cdot d\vec S =\iint_S P dy\wedge dz +Q dz\wedge dx+R dx\wedge dy \]
  1. 由$dy\wedge dz$表达式，利用行列式的性质，可以得到
    \[dz\wedge dy=\frac{\partial (z,y)}{\partial (u,v)}dudv =-\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}dudv=-dy\wedge dz \]
    同样，有$dz\wedge dx=-dx\wedge dz$, $dx\wedge dy=-dy\wedge dx$。 也就是说，$dy\wedge dz$具有方向的含义。
  2. 从几何上看，$dy\wedge dz$表示了有向面积元$d\vec S$在坐标平面$Oyz$上的投影， $dz\wedge dx$表示了有向面积元$d\vec S$在坐标平面$Oyz$上的投影， $dx\wedge dy$表示了有向面积元$d\vec S$在坐标平面$Oyz$上的投影。
  • 用方向余弦表示曲面的正向单位法向量
    \[\vec n=\cos\alpha\vec i+ \cos\beta\vec j+ \cos\gamma\vec k \]
    则有向面积元为
    \[d\vec S=\vec ndS=(\cos\alpha dS)\vec i+ (\cos\beta dS)\vec + (\cos\gamma dS)\vec k \]
    则有
    \[\begin{aligned} dy\wedge dz=\cos\alpha dS,\, dz\wedge dx=\cos\beta dS,\, dx\wedge dy=\cos\gamma dS \end{aligned} \]
  • 从而，$dy\wedge dz$是有向面积元$d\vec S$的法向量在$x$轴的投影， 是有向面积元$d\vec S$在$Oyz$平面的投影（法向量与面积元垂直）。

为简化起见，记

\[dydz=dy\wedge dz, \; dzdx=dz\wedge dx, \; dxdy=dx\wedge dy, \; \]

则得到第二型曲面积分的一个普遍使用的记号

\[\iint_{S} \vec v \cdot \vec n dS=\iint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy \]

此时，$dydz$, $dzdx$, $dxdy$已经具有了方向的含义。

  • 若$S$是显式曲面
    \[z=f(x,y), \quad (x,y)\in D \]
    且曲面的正向为曲面的上侧。 此时，$(x,y)$为正向参数，那么
    \[\begin{aligned} \iint_S\vec v\cdot \vec n dS =&\iint_D\left|{ \begin{matrix} P & Q & R \\ 1 & 0 & f'_x \\ 0 & 1 & f'_y \end{matrix} }\right|dxdy \\ =&\iint_D(-Pf'_x-Qf'_y+R)dxdy \end{aligned} \]
  • 特别地，若$P=Q=0$，则在显式曲面$S$上，有
    \[\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iint_DR(x,y,f(x,y))dxdy \]
    在式子中， 左边是一个特殊的向量场在曲面上的积分，右边是一个二重积分。
  • 若定向曲面$S\perp z$轴，则$S$的单位法向量$\vec n // z$轴，因而有向面积元为
    \[\vec n dS=dx\wedge dy\vec k=dxdy\vec k \]
    因而，有
    \[\iint_{S} \vec v \cdot \vec n dS=\iint_S Rdxdy \]
  • 若定向曲面$S // x$轴，则它的有向面积元垂直$x$轴，
    \[d\vec S=0\vec i+dz\wedge dx\vec j+dx\wedge dy\vec k \]
    即有$dy\wedge dz=0$，因而
    \[\iint_SPdydz=0 \]
    或者，直观来看，面积元在$Oyz$面上投影为线，因而面积为$0$，则$dxdy=0$， 从而$\displaystyle\iint_SPdydz=0$

物理上看： 水流的速度$\vec v=(P,0,0)$指向$x$轴方向，但管壁$S$都平行$x$轴， 则没有水 流入或流出管壁。

例 1. $S$是顶点为$(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$的三角形的上侧，求

\[\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy \]

例 2. $S$为球$x^2+y^2+z^2=a^2$的外表面，求

\[\iint_S zdxdy \]

例 3. $S$为锥$x^2+y^2=z^2$, $0\leq z\leq h$的外表面，求

\[\iint_S (y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy \]
\begin{tikzpicture} \begin{axis} [ view={120}{30}, axis lines=middle, width=7cm,] \addplot3[ domain=0:1, samples = 60, samples y=0, thick, red, ] ({x}, {1-x}, 0); % node[pos=0] {$x$}; \addplot3[ domain=0:1, samples = 60, samples y=0, thick, red, ] (0, {x}, {1-x}); \addplot3[ domain=0:1, samples = 60, samples y=0, thick, red, ] ({x}, 0, {1-x}) ; %({sin(deg(x))}, {cos(deg(x))}, {x}); \addplot3[line legend] coordinates { (-0.1,0,0) (1.3,0,0) } node[left] {$x$}; \addplot3[->] coordinates { (0,-0.1,0) (0,1.3,0) } node[right] {$y$}; \addplot3[->] coordinates { (0,0,-0.1) (0,0,1.3) } node[above] {$z$}; \addplot3[blue] coordinates { (0.3,0,0) (0.3,0.7,0) (0.3,0,0.7) } \closedcycle; \end{axis} \end{tikzpicture}

chap11-4-ex-cone

例 4. 计算

\[\iint_S \frac1x dydz+\frac1y dzdx+\frac 1z dxdy \]

$S$为椭球面$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$。

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谢谢

例 5. 本节读完

对称性的使用

5.