5. Gauss定理和Stokes定理

曲线积分和曲面积分

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

Gauss定理和Stokes定理

Gauss公式

如图所示的Y型区域:

\[V=\{(x,y,z)| y_1(z,x)\leq y\leq y_2(z,x), (z,x)\in D\} \]

$S$是$V$的外表面$S=\partial V$，方向指向$V$的外侧。

fig-gauss-domain-y

$Q(x,y,z)$在$V$上有连续的一阶偏导数，求

\[\iint_S Q(x,y,z) dzdx \]

显然，$S$由上表面$S_2$(方向指向上侧), 下表面$S_1$(方向指向下侧)和侧面$S_3$(与$y$轴平行)组成。

$S_3$与$y$轴平行，因而$\displaystyle \iint_{S_3} Q dzdx=0$。这样

\[\begin{aligned} \iint_S Q(x,y,z)dzdx=&\iint_{S_1}Q dzdx+\iint_{S_2}Q dzdx \\ =&\iint_{D} Q(x,y_2(z,x),z)dxdz\\ &-\iint_{D} Q(x,y_1(z,x),z)dxdz \\ =&\iint_{D} [Q(x,y_2(z,x),z)- Q(x,y_1(z,x),z)]dxdz \\ \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \iint_S Q(x,y,z)dzdx =&\iint_{D} [Q(x,y_2(z,x),z)- Q(x,y_1(z,x),z)]dxdz \\ =&\iint_D \left[ \int_{y_1(z,x)}^{y_2(z,x)}\frac{\partial Q}{\partial y}dy\right] dxdz \\ =&\iiint_V \frac{\partial Q}{\partial y} dxdydz \end{aligned} \]

完全类似地，可以证明

对于Z型区域

\[V=\{(x,y,z)| z_1(x,y)\leq z\leq z_2(x,y), (x,y)\in D\} \]

取$S$为$V$的外表面，方向指向$V$的外侧，有

\[\iint_S R(x,y,z)dxdy=\iiint_V\frac{\partial R}{\partial z} dxdydz \]

对于X型区域

\[V=\{(x,y,z)| x_1(y,z)\leq x\leq x_2(y,z), (y,z)\in D\} \]

取$S$为$V$的外表面，方向指向$V$的外侧，有

\[\iint_S P(x,y,z)dydz=\iiint_V\frac{\partial P}{\partial x} dxdydz \]

事实上，Y型区域也可以看作是没有柱面的X型区域或Z型区域。

fig-gauss-domain-yx

定理 1. (Guss公式)
$V$由分片光滑的双侧封闭曲面$S$围成。 向量场函数

\[\vec v=P(x,y,z)\vec i+Q(x,y,z)\vec j+R(x,y,z)\vec k \]

在$V$中有一阶连续偏导数。 如果$V$可以同时分解成有限个互不重叠的X型、Y型、Z型区域的并，则成立

\[\begin{aligned} \oiint_S Pdydz+&Qdzdx+Rdxdy= \\ &\iiint_V(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz \end{aligned} \]

其中$S$方向指向$V$的外侧。

  • 公式也可以写成
    \[\oiint_S \vec v\cdot d\vec S=\iiint_V \nabla\cdot \vec v dV \]
    因此，Gauss公式也称为散度定理。
  • 三维区域的体积，同样可以写成
    \[\begin{aligned} V=&\iint_S xdydz=\iint_S ydzdx=\iint_S z dxdy \\ =&\frac13\iint_S xdydz+ydzdx+zdxdy \end{aligned} \]

例 1. $S$为球壳$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$，求

\[\iint_S x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy \]

例 2. $S$为立方体$0\leq x\leq a$, $0\leq y\leq a$, $0\leq z\leq a$的外表面，求

\[\iint_S x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy \]

例 3. $S$为球$x^2+y^2+z^2=a^2$外侧，求

\[\iint_S x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy \]

8.

例 4. $S$为某个三维体$V$的外表面，求

\[\iint_S xydydz+yzdzdx+zxdxdy \]

例 5. $S$为某个三维体$V$的外表面，求

\[\iint_S (y-z)dydz+(z-x)dzdx+(x-y)dxdy \]

Stokes 公式

定理 2.
$S$是以曲线$L$为边界的分片光滑的具有二阶连续偏导数的定向曲面。 向量场函数

\[\vec v=P(x,y,z)\vec i+Q(x,y,z)\vec j+R(x,y,z)\vec k \]

定义在某个含$S$的空间区域上，且有一阶连续偏导数，则

\[\begin{aligned} \oint_L Pdx+Qdy+Rdz & \\ =\iint\limits_S(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz&+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx \\ &+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \\ \end{aligned} \]

其中$L$的正方向与$S$的正向符合右手法则。

写成矩阵形态，

\[\oint_L Pdx+Qdy+Rdz=\iint\limits_S \left|{\begin{matrix} \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ P & Q & R \\ dydz & dzdx & dxdy \end{matrix}}\right| \]

或

\[\oint_L \vec v\cdot d\vec r=\iint_S \nabla\times\vec v\cdot d\vec S \]

证明.

例 6. $C$为圆周

\[\begin{cases} & x^2+y^2+z^2=a^2 \\ & x+y+z=0 \end{cases} \]

$Oz$轴正向看，逆时针。求

\[\oint_C ydx+zdy+xdz \]

例 7. $C$为平面$x+y+z=\frac32a$切立方体$0\leq x\leq a$, $0\leq y\leq a$, $0\leq z\leq a$得到的曲线，求

\[\oint_C(y^2-z^2)dx+(z^2-x^2)dy+(x^2-y^2)dz \]

8.

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例 8. 本节读完

8.