7. 保守场

曲线积分和曲面积分

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

保守场

保守场与势函数

定义 1.
设$\vec v=P\vec i+Q\vec j+R\vec k$是连通区域$V$内的光滑向量场。 若$\vec v$在$V$内的曲线积分与路径无关，只与起点和终点有关， 或者说$\vec v$沿$V$内任何封闭曲线的环量为零，则称$\vec v$是区域$V$内的保守场

在保守场中，连接$V$中两点$A$和$B$的任何曲线上的积分只与起点和终点有关，因此可以记为

\[\int_{L_{AB}} \vec v\cdot d\vec r=\int_A^B \vec v\cdot d\vec r \]

定义 2.
设$V$是空间区域，若对于$V$中的任意一条简单闭曲线$L$，都存在以$L$为边界的且完全包含在$V$中的可定向曲面，则称$V$是曲面单连通的。

注. 即，$V$中任意一简单闭曲线$L$可以在$V$中连续地缩为一个点。

例 1. 去心的球体中曲面单连通的，而游泳圈（环面）的内部空间不是曲面单连通的

domain-simply-connected domain-simply-not-connected

曲面单连通区域 ， 非曲面单连通区域

定义 3.
旋度为零的向量场称为无旋场，即满足$\nabla\times \vec v=0$

定义 4.
若存在数量场$\phi$，使得$\vec v=\nabla\phi$，则称$\phi$为$\vec v$的势函数。 称具有势函数的向量场为有势场

定理 1.
设$V$是曲面单连通区域，$\vec v$是$V$上的$C^1$向量场，则下述命题等价：

（1） $\vec v$是$V$中的保守场；

（2） $\vec v$是$V$中的有势场；

（3） $\vec v$是$V$中的无旋场；

  • 可以通过选取连接固定点和动点的特殊路径对保守场进行曲线积分，得到势函数。势函数不唯一，它们相差一个常数
  • 一个数量场$\phi$的梯度场$\vec v=\nabla\phi$一定是保守场
  • 可以通过$\nabla\times\vec v=0$来判断一个向量场是否是保守场
  • 任意连通域上的保守场一定是有势场，有势场是无旋场。
  • 区域的单连通性，仅用于证明无旋场是保守场。

    例 2. 向量场$\displaystyle\vec v=\left(-\frac{y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2+y^2}, 0\right)$是无旋场，但不是保守场

定理 2.
设$\vec v$是区域$V$上的保守场，$\phi$是$\vec v$的一个势函数，则对于$V$中任意两点$A$和$B$以及连接两点的任意光滑曲线$L_{AB}$，有

\[\int_{L_{AB}} \vec v\cdot d\vec r=\int_A^B \vec v\cdot d\vec r =\int_A^B d\phi = \phi(B)-\phi(A) \]

例 3. 证明向量场

\[v=(yz(2x+y+z), xz(x+2y+z), xy(x+y+2z)) \]

是有势场，并求出它的一个势函数

例 4. 位于坐标原点的质量$m$的质点所产生的引力场

\[\vec a=-\frac{m}{r^3}\vec r \]

其中$\vec r=(x,y,z)$，$r=|\vec r|$。求它的势函数

例 5. 设$\vec v=f(r)\vec r$，其中$\vec r=(x,y,z)$，$r=|\vec r|$，$f(r)$为单值连续函数。求它的势函数

无源场与向量势

定义 5.
区域$V$中散度处处为$0$的向量场称为无源场

建立一段细管，它的侧面由流线组成

  • 流管内流场的散度处处为零，由Gauss定理知，流出流管的总流量为零。
  • 可把上述的向量场划分成一道道的流管!

因为只有无源场才有这样的性质，所以无源场又称为管型场 !

\begin{tikzpicture}[scale=0.6] \draw (0,0)[blue] .. controls +(20:0.5) .. +(15:2); \draw (0,0)[blue] .. controls +(200:1) .. +(205:2); \draw[->] (0,0) -- +(20:1) node [anchor=south ] {$\vec v$}; \draw[->] (0,0) -- +(110:1) node [anchor=south ] {$\vec n$}; \draw (280:0.5)[blue] .. controls +(15:0.5) .. +(8:2); \draw (280:0.5)[blue] .. controls +(200:1) .. +(205:2); \fill[black!30, draw=blue] (0,0) to[bend right=45] (280:0.5) to[bend right=45] (0,0); \fill[black!30, draw=blue] (15:2) to[bend right=45] ($ (280:0.5)+(8:2) $) node[anchor=north, black] {$S_2$} to[bend right=45] (15:2); \fill[black!30, draw=blue] (205:2) to[bend right=45] ($ (280:0.5)+(205:2) $) node[anchor=north, black] {$S_1$} to[bend right=45] (205:2); \draw[->] ($ (15:2)+(280:0.35) $) -- +(12:1) node[anchor=west] {$\vec v_2$}; \draw[->] ($ (205:2)+(280:0.25) $) -- +(27:1); % v_1 \end{tikzpicture}

定义 6.
$\vec v$为$V$中光滑向量场。若存在$V$中向量场$\vec\alpha$，使得

\[\mathop{rot}\vec\alpha=\nabla\times\vec\alpha=\vec v \]

则称$\vec\alpha$为$\vec v$的向量势，称$\vec v$为有向量势的场。

显然，具有向量势的向量场$\vec v$一定是无源场，因为

\[\nabla\cdot\vec v=\nabla\cdot\nabla\times \alpha=0 \]

问题. 反之呢？一个无源场是否存在向量势？

定理 3.
设$\vec v$是空间中的光滑向量场，则$\vec v$是无源场的充分必要条件是$\vec v$在任何一点的局部都存在向量势

如果需要在整个区域上的向量势，则

定理 4.
设$V$是空间单连通域，则下述命题等价：

（1） 向量场$\vec v$是区域$V$中的无源场

（2） 向量场$\vec v$是区域$V$中的有向量势的场

定义 7.
设$V$是空间区域，若$V$中任意闭曲面的内部都属于$V$，则称$V$是空间单连通的。

形象地说，空间单连通就是说$V$是实心的，而不能是空心的。

  • 势函数不唯一。当空间区域是曲面单连通时，两个势函数可以相差一个函数的梯度。
  • 空间的单连通性很重要

例 6. $\vec r=(x,y,z)$, $r=|\vec r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，证明向量场$\vec E=\frac{\vec r}{r^3}$在它的定义域中是无源场，但没有势函数

（定义域不是空间单连通的）

例 7. 证明向量场$\vec v=(xy+1, z, -yz)$是无源场，并求势函数

谢谢

在曲线上取两点$M$和$M'$，其横坐标分别为$x$与$x+dx$， 则两点的距离为

目录

本节读完

例 8. 谢

8.