张瑞
中国科学技术大学数学科学学院
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微积分是用微分和积分的方法来研究变量。
微积分的基础是极限理论。经过长达200年的时间,到19世纪初,Cauchy, Weierstrass, Riemann等逐步完成了极限理论的严格化。
极限理论严格化的标志是实数理论的建立。
实数理论的详细讨论在后面给出,下面只做描述性介绍。
自然数集
整数集
有理数集
有理数集对加、减、乘、除运算都封闭,也称为有理数域。
有理数够用了吗?
例 1. 满足的数(记为)不是有理数。
一个正十进制小数为
其中是一个非负十进制整数,
也可以记为
无限不循环小数称为无理数。有理数和无理数统称为实数,记为。
实数有多种构造方法,彼此等价。十进制表示实数是一种直观的描述。
公理: (完备性(连续性)公理)
设和是实数集的两个子集,并满足
则,一定存在一个介于和之间的实数,即存在,有
有理数域不具有完备性
例 2. 有理数中的两个子集
就不存在介于两个集合之间的一个有理数。
有理数在实数中有稠密性
定理 1.
任何两个实数(无论是有理数还是无理数)之间存在一个有理数。
定义 1.
在直线上标定一个点为原点,并规定其右侧为正向,取一个长度为单位长,指定了原点、单位长、方向的直线称为数轴。
定义 2.
与数轴上点对应的数称为点的坐标。
定义 3.
数轴上点到原点的距离就是对应实数的绝对值。
绝对值满足
定义 4.
设,。集合称为以,为端点的开区间,集合称为以,为端点的闭区间。
同样有
记号称为无穷,为正无穷,为负无穷。它们不是数,但可以表示区间。
定义 5.
开区间称为的一个邻域。
集合表示去心邻域,有时用它来刻画“点a的附近”。
例 3. 谢
3.
毕达哥拉斯,认为任何数都可以用两个整数相除来表示。