1. 实数

极限

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

实数

微积分是用微分和积分的方法来研究变量

微积分的基础是极限理论。经过长达200年的时间,到19世纪初,Cauchy, Weierstrass, Riemann等逐步完成了极限理论的严格化。

极限理论严格化的标志是实数理论的建立。

实数理论的详细讨论在后面给出,下面只做描述性介绍。

整数与有理数

自然数

\[\mathbb{N}=\{0,1,2,\cdots\} \]
  1. 对加法封闭(任意两个自然数相加还是自然数)
  2. 对减法不封闭(两个自然相减可能是负数)

整数

\[\mathbb{Z}=\{0,\pm1, \pm2, \pm3, \cdots\} \]
  1. 对加、减法封闭(任意两个整数相加、减还是整数)
  2. 对乘法封闭(两个整数相乘仍然是整数)
  3. 对除法不封闭(两个整数相除,可能不是整数)

有理数

\[\mathbb{Q}=\left\{\left.\frac{p}{q}\right| p,q\in \mathbb{Z}, q\neq 0\right\} \]

有理数集对加、减、乘、除运算都封闭,也称$\mathbb{Q}$有理数域

有理数够用了吗?

例 1. 满足$a^2=2$的数$a$(记为$a=\sqrt 2$)不是有理数。

十进制小数

一个正十进制小数$a$

\[a=a_0.a_1a_2\cdots a_n\cdots \]

其中$a_0$是一个非负十进制整数,

\[a_1, a_2, \cdots \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]

$a$也可以记为

\[a=a_0+\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots+\frac{a_n}{10^n}+\cdots \]
  • 若小数点后面只有有限个数不是0,则称$a$有限小数
  • 若小数点后面的数是循环出现的,则称$a$循环小数,记为
    \[a=a_0.a_1a_2\cdots a_n\dot a_{n+1}\cdots\dot a_{n+k} \]
  • 每一个有理数可以写成有限小数或循环小数
  • 每一个有限小数或循环小数都是有理数
    \[\begin{aligned} a=&0.\dot 15\dot 8 \\ 1000a=&158.\dot15\dot8 \\ 1000a=&158+a\\ a=&\frac{158}{999} \end{aligned} \]

无限不循环小数称为无理数。有理数和无理数统称为实数,记为$\mathbb{R}$

实数有多种构造方法,彼此等价。十进制表示实数是一种直观的描述

实数域

  • 实数是有理数的扩充,它同样对加、减、乘、除运算封闭,是实数域
  • 同时还需要满足

公理: (完备性(连续性)公理)
$X$$Y$是实数集$\mathbb{R}$的两个子集,并满足

\[x\leq y, \forall x\in X, y\in Y \]

则,一定存在一个介于$X$$Y$之间的实数,即存在$c\in\mathbb{R}$,有

\[x\leq c\leq y, \forall x\in X, y\in Y \]
  • 有理数域不具有完备性

    例 2. 有理数$\mathbb{Q}$中的两个子集

    \[X=\{x|x\in \mathbb{Q}, x^2<2, x>0\}, Y=\{y|y\in \mathbb{Q}, y^2>2, y>0\} \]

    就不存在介于两个集合之间的一个有理数。

  • 有理数在实数中有稠密性

    定理 1.
    任何两个实数(无论是有理数还是无理数)之间存在一个有理数。

数轴

定义 1.
在直线$l$上标定一个点为原点,并规定其右侧为正向,取一个长度为单位长,指定了原点、单位长、方向的直线称为数轴

  • 数轴上的点与实数是一一对应的。
    1. 从原点开始,用单位长度正向逐次丈量,得到自然数对应的点。往原点负向丈量,得到负整数对应的点
    2. 取单位长度的$n$等分点,得到$\frac1n$对应的点。以$\frac1n$作为丈量长度,可以得到有理数对应的点
    3. 如果点$A$不能对应有理点,则取$A$左边的有理数集为$X$,右边的有理数集为$Y$。显然有$X<Y$,由完备性公理,存在实数$a$介于$X$$Y$之间。数$a$就与$A$点对应。

定义 2.
与数轴上点对应的数称为点的坐标

定义 3.
数轴上点$A$到原点$O$的距离就是对应实数的绝对值$|a|$

绝对值满足

  1. (正定性) $|a|\geq 0$,且等号成立当且仅当$a=0$
  2. (对称性) $|a-b|=|b-a|$
  3. (三角不等式) $|a+b|\leq |a|+|b|$

定义 4.
$a,b\in\mathbb{R}$$a<b$。集合$(a,b)=\{x\in\mathbb{R}|a<x<b\}$称为以$a$,$b$为端点的开区间,集合$[a,b]=\{x\in\mathbb{R}|a\leq x\leq b\}$称为以$a$,$b$为端点的闭区间

同样有

\[(a,b]=\{x\in\mathbb{R}|a< x\leq b\} \]

记号$\infty$称为无穷$+\infty$正无穷$-\infty$负无穷。它们不是数,但可以表示区间。

\[(-\infty, a)=\{x\in\mathbb{R}| x< a\}, (a, +\infty)=\{x\in\mathbb{R}| x> a\}, \]

定义 5.
开区间$(a-\delta, a+\delta)=\{x\in\mathbb{R}| |x-a|<\delta\}$称为$a$的一个邻域

集合$\{x\in\mathbb{R}| 0<|x-a|<\delta\}$表示去心邻域,有时用它来刻画“点a的附近”。

目录

本节读完

例 3.

3.

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毕达哥拉斯,认为任何数都可以用两个整数相除来表示。