2. 数列极限

极限

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

数列极限

数列极限的定义

定义 1.
数列是定义在正整数集上，并按照正整数顺序排列的一串实数

\[a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots \]

通常用$\{a_n\}(n\geq 1)$这样的记号来表示。第$n$项$a_n$称为这个数列的通项。

数列也可以看成数轴上的一串点，所以也称数列为点列。

数列也可以是正整数集$\mathbb{N}_+$到实数集的一个映射，$n$的像就是$a_n\in\mathbb{R}$。

数列$\{a_n\}(n\geq 1)$的极限就是研究当$n$无限增大时，通项$a_n$的变化趋势。

\[1,\frac12,\frac13,\cdots,\frac1n,\cdots \]
\[1,\frac12,1,\frac13,\cdots,1,\frac1n,\cdots \]

当$n$无限增大时，第一个数列的通项无限接近实数$0$； 第二个数列则一会儿是1,一会儿接近0。

如何描述，数列的通项$a_n$当$n$无限增大时，无限接近某个实数？

无限接近？要多接近，就有多接近。也就是说，不管预先指定多么接近的程度，当$n$足够大后，所有$a_n$都能达到你的要求。

取代这种描述性的解释，我们需要

  1. 刻画接近的度量。
  2. 对$n$足够大后，$a_n$与$a$接近程度达到要求的说法，赋予确切的含义。

$|a_n-a|$自然给出了一种度量，来衡量两个数的接近程度。 $|a_n-a|$越小，表示$a_n$与$a$越接近。

如何描述接近程度达到要求呢？

以$\{\frac1n\}$为例：

  1. 对于距离$\frac1{10^{2}}$，则$n>10^2$后，所有的$\frac1n$都满足$|\frac1n-0|<\frac1{10^{2}}$
  2. 对于距离$\frac{1}{10^{100}}$，则当$n>10^{100}$后，所有的$\frac1n$都满足$|\frac1n-0|<\frac1{10^{100}}$
  3. 对于任意一个正数$\epsilon$，可以找到$n>N=[\frac1\epsilon]+1$后，有 $|\frac1n-0|<\epsilon$

能否找到$N$就成了关键

定义 2. (数列的极限)
设有数列$\{a_n\}$和实数$a$，若$\forall \epsilon>0$，总存在自然数$N=N(\epsilon)$（即$N$可能于$\epsilon$有关），使得

\[|a_n-a|<\epsilon, \forall n>N \]

成立，则称$a$是数列$\{a_n\}$的极限，或数列$\{a_n\}$收敛于$a$。记为

\[\lim_{n\to+\infty}a_n=a \ \ \ \mbox{ or }\ \ \lim a_n=a \]

或

\[a_n \to a ( n\to\infty ) \]

有极限的数列称为收敛数列，不收敛的数列称为发散数列。

称为$\epsilon$-$N$语言。

数列$\{a_n\}$收敛于$a$的几何描述：

对于$\forall \epsilon>0$，都有相应的$N$，使得$a_N$以后的所有点$a_n$都落在以$a$为中心，以$\epsilon$为半径的开区间$(a-\epsilon, a+\epsilon)$之中，而落在区间外的点至多只有有限个$a_1$, $a_2$, $\cdots$, $a_N$。

定义 3. (不收敛)
数列$\{a_n\}$的极限不是$a$的描述：$\exists \epsilon_0>0$，对$\forall N$，总$\exists n_0>N$，使得

\[|a_n-a|>\epsilon_0 \]

则称$\{a_n\}$不收敛于$a$

例 1. (例1.2.1) 常数列$a_n=a$，则$\lim a_n=a$

例 2. (例1.2.2) (求出$N$的表达式) 对于$\alpha>0$，证明$\lim\frac1{n^{\alpha}}=0$

例 3. (例1.2.5) (只要说明$N$是存在的) 证明$\lim \frac{2^n}{n!}=0$

在极限的定义中，数$\epsilon$的作用是刻画$a_n$与$a$的接近程度，对于它越小的情况，越感兴趣

例 4. (例1.2.4) (限制$\epsilon$的一个上界) 设$|q|<1$，证明$\lim q^n=0$

在极限定义中，只需要关注$N$的存在性，并不需要求出表达式来

例 5. 若$ \lim a_n=0$，则 $\lim e^{a_n}=1$， $\lim \ln(1+a_n)=0$

例 6. 若$\{a_n\}$满足： $\forall \epsilon>0$，存在$N$，满足

\[|a_n-a|<M \epsilon, \forall n>N \]

其中$M>0$为常数。则有$\lim a_n=a$

例 7. 若$\lim a_n=0$，则$\lim \sqrt{|a_n|}=0$

例 8. 若$\lim a_n=0$，且$|b_n|\leq M$，则$\lim a_nb_n=0$

例 9. 若$\lim a_{2n+1}=a$，且$\lim a_{2n}=a$，则有$\lim a_n=a$

收敛数列的性质

定理 1. (数列极限的唯一性)
如果$\{a_n\}$是收敛的，则$\{a_n\}$的极限是唯一的。

改变数列的有限项的值，不影响数列的收敛性及其极限。

定理 2. (收敛数列的有界性)
如果$\{a_n\}$是收敛的，则$\{a_n\}$一定是有界数列。即$\exists M>0$，使得$|a_n|<M, \forall n$

定理 3. (收敛数列的保序性)
数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$分别收敛到$a$, $b$，则

（1） 若对充分大$n$，有$a_n\geq b_n$，则$a\geq b$

（2） 如果$a>b$，则当$n$充分大时，有$a_n>b_n$

  1. 充分大的$n$是指存在自然数$N$，使得$n>N$

  2. 注意：若对充分大$n$，有$a_n> b_n$，则$a\geq b$。也就是说，仍然可能$a=b$。

    如$\{a_n=\frac1n\}$, $\{b_n=\frac1{n^2}\}$有$a_n>b_n, \forall n>1$，但$a=b=0$

定理 4.
设$\{a_n\}$收敛于$a$，则

  1. 若充分大$n$成立$a_n\geq 0$，则$a\geq 0$
  2. 若$a>0$，则当$n$充分大时，$a_n>0$
  3. 若存在$b$,$c$使得当$n$充分大时，$b\leq a_n\leq c$，则$b\leq a\leq c$
  4. 若存在$b$,$c$，使得$b<a<c$，则当充分大时，$b<a_n<c$

定理 5. (数列极限的四则运算)
数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$分别收敛到$a$, $b$，则

（1） 数列$\{a_n\pm b_n\}$收敛，且

\[\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\lim_{n\to\infty} a_n\pm\lim_{n\to\infty} b_n=a\pm b \]

（2） 数列$\{a_n b_n\}$收敛，且有

\[\lim_{n\to\infty}(a_n b_n)=\lim_{n\to\infty} a_n \lim_{n\to\infty} b_n=a b \]

（3） 若$b\neq 0$，则数列$\{\frac{a_n}{b_n}\}$收敛，且有

\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim a_n}{ \lim b_n}=\frac{a} b \]

例 10. 求$\lim\frac{3n^3+2n^2+1}{n^3+2n^2+3n+4}$

例 11. 若$\lim x_n=a$，求$\lim\frac{x_{n+1}}{x_n}$

例 12.

  1. 若$\{x_n\}$收敛，$\{y_n\}$发散，则$\{x_n+y_n\}$, $\{x_ny_n\}$的敛散性如何？
  2. 若$\{x_n\}$,$\{y_n\}$都发散，则$\{x_n+y_n\}$, $\{x_ny_n\}$的敛散性如何？

例 13. 若$\lim x_ny_n=0$，是否有$\lim x_n=0$或$\lim y_n=0$。若进一步假设$\lim x_n=a$呢？

例 14. 若$\lim (x_n-y_n)=0$，是否有$\lim x_n=\lim y_n$？

定理 6. (两边夹原理, Squeeze Theorem, Pinching Theorem, 迫敛法, 夹逼原理)
如果数列$\{b_n\}$, $\{c_n\}$都收敛于$l$，且对充分大$n$，有

\[b_n\leq a_n\leq c_n \]

则有

\[\lim_{n\to\infty}a_n=l \]

例 15. (例1.2.11) 求证$\lim \sqrt[n]{n}=1$。

例 16. (例1.2.10) 求证$\lim \sqrt[n]{a}=1$, 其中$a>0$。

例 17. 求$\displaystyle\lim \sqrt[n]{\cos^21+\cos^22+\cdots+\cos^2n}$

定义 4.
所谓数列$\{a_n\}$的子列，是指取自原数列$\{a_n\}$的无穷多项，按照原数列中同样的顺序写成的一个新的数列。

$\{k_n\}$是严格增加的自然数列，则$\{a_{k_n}\}$为数列$\{a_n\}$的一个子列。

定理 7.
若$\lim a_n=a$，则对它的任一子列有$\displaystyle \lim a_{k_n}=a$

由定理可知：

  1. 若$\{a_n\}$有两个子列$\{a_{p_n}\}$，$\{a_{q_n}\}$分别收敛到不同的2个数，则数列$\{a_n\}$发散。
  2. 若$\{a_n\}$有发散的子列，则数列发散

例 18. 证明数列$\{(-1)^n\}$发散

实数完备性若干等价命题

定义 5.
设$X\subset\mathbb{R}$是一个非空集合。若存在实数$a$使得

\[x\leq a,\forall x\in X \]

则称数$a$是数集$X$的一个上界。若实数$b$满足

\[x\geq b,\forall x\in X \]

则称$b$为$X$的一个下界。

若$X$即有上界，也有下界，则称$X$是有界集合。

显然，若数集有上界(或下界)，则上界(或下界)不唯一。

定义 6.
设$a$是数集$X$的上界，若$\forall \epsilon>0$，都存在$x_\epsilon\in X$，满足$x_\epsilon>a-\epsilon$，则称$a$为$X$的上确界，记为$\sup X$。

设$b$是数集$X$的下界，若$\forall \epsilon>0$，都存在$x_\epsilon\in X$，满足$x_\epsilon<b+\epsilon$，则称$b$为$X$的下确界，记为$\inf X$。

若上（下）确界存在，则必定唯一。

定理 8. (确界原理)
$\mathbb{R}$中任何有上（下）界的非空集合一定有上（下）确界。

一个数集的上（下）确界，即可以是该数集中的数，也可以不是。

\[\inf\{\frac1n, n=1,2,\cdots\}=0, \sup\{\frac1n, n=1,2,\cdots\}=1 \]
\[\inf\{x, 0\leq x<1\}=0, \sup\{x, 0\leq x <1\}=1 \]

定义 7.
数列$\{a_n\}$，

若满足$a_n\leq a_{n+1}$,$n=1,2,\cdots$，则称为单调递增的；

若满足$a_n\geq a_{n+1}$,$n=1,2,\cdots$，则称为单调递减的。

单调增和单调减数列，通称为单调数列。

定理 9. (单调有界数列收敛)
 $\{a_n\}$单调，则$a_n$收敛当且仅当$a_n$有界。进一步，

  • 当$\{a_n\}$单调增时，$\lim a_n=\sup\{a_n\}$；
  • 当$\{a_n\}$单调减时，$\lim a_n=\inf\{a_n\}$；

例 19. 判定$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}$的收敛性。

例 20. 判定$\displaystyle S_n=\sum_{k=n}^{2n-1}\frac1{k}=\frac1n+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{2n-1}$的收敛性。

例 21. (例1.2.15) 求极限 $a_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}$

例 22. 求极限 $a_1=1$, $ a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}$

设初始本金为$p$元，银行年利率为$r$。考虑复利模型。

  • $n$年后，本金和利息共有$a_n=p(1+r)^n$
  • 假定在一年内，分$m$次支付利息，每次的利息为$\frac{r}m$，并按复利计算，则一年可以得到的本息和为
    \[s_m=p\left(1+\frac{r}m\right)^m \]

可以看到，$p=1$, $r=0.1$时，有$s_m$为

\[1.1, 1.1025, 1.10337, \cdots,s_{365}=1.1051558,\cdots \]

问题. 如果支付次数为无穷次，得到的钱会无穷多吗？

曼哈顿岛300年前，以50美元买入。如果做投资，以年10%的利率计，现在可以得到本息共多少？

\[50(1+0.1)^{300}=130850549809423.17=1.30\times 10^{14} \]

巴菲特的滚雪球: $p(1+r)^n$

  1. 增长率要大（或者说，利息要高）

    \[1.01^{365}=37.78, 1.02^{365}=1377.41 \]

  2. 时间要够长

    \[1.1^{100} = 1.3\times 10^{4}, 1.1^{150} = 1.6\times 10^{6}, \]
    \[1.1^{200} = 1.8\times 10^{8}, 1.1^{300} = 2.6\times 10^{12} \]

定理 10.
设$e_n=\left(1+\frac1n\right)^n$, $n\geq 1$，则$\{e_n\}$收敛。记这个极限为

\[e=\lim\left(1+\frac1n\right)^n \]

称 $e$为自然对数底。$e$是一个无理数， $e$有近似值$e\approx 2.71828182...$

这是一个有理数列，但极限是无理数。因此，有理数域对极限运算不封闭，需要把有理数域扩充为一个完备（连续）的数域。

例 23. (例1.2.16) $\lim (1-\frac1n)^{-n}$

例 24. $\lim (1+\frac1{n^2})^{n^2}$

例 25. $d_n=(1+\frac1n)^{n+1}$，则$d_n$单调减，极限也为$e$

例 26. $\lim \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

例 27. $\displaystyle \lim (2+\sum_{k=2}^n\frac1{k!})=e$

例 28. $e=1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\cdots+\frac1{n!}+\frac{1}{n!}\frac{\theta}{n}$, $\theta\in(0,1]$

定理 11. (闭区间套原理)
设有一列闭区间$[a_n, b_n]$, $n=1,2,\cdots$，满足

  1. $[a_1, b_1]\supset[a_2,b_2]\supset\cdots\supset[a_n,b_n]\supset\cdots$
  2. $\lim (b_n-a_n)=0$

则存在唯一一个点$\xi$属于所有闭区间$[a_n, b_n]$, $n=1,2,\cdots$

定理 12. (列紧性，Bolzano-Weierstrass定理)
任何有界的数列必存在收敛子列

列紧性表明，即使是发散的数列，只要有界，就一定可以找到一个收敛的子列。

定义 8.
数列$\{a_n\}$，若$\forall \epsilon>0$，存在正整数$N=N(\epsilon)$，满足

\[|a_n-a_m|<\epsilon, \forall m,n>N \]

则称数列$\{a_n\}$是基本列，或Cauchy数列。

基本列也可以表示为：$\forall \epsilon>0$，存在正整数$N=N(\epsilon)$，满足

\[|a_{n+p}-a_n|<\epsilon, \forall n>N, \forall p\in \mathbb{N} \]

定义 9. (非Cauchy数列, 非基本列)
数列不是Cauchy数列，则$\exists \epsilon_0>0$，使得对$\forall N$，$\exists n_0,m_0>N$，有

\[|a_{m_0}-a_{n_0}|>\epsilon_0 \]

定理 13. (Cauchy收敛准则)
数列收敛的充要条件是其为基本列。

Cauchy收敛准则仅仅根据数列自身内在特性来判断数列的收敛性。一个数列收敛，必须且只需其充分靠后的任意两项均接近到任意指定的程度。

例 29. (例1.2.17) $\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\frac{\sin(k)}{k^2}$，证明$a_n$收敛

例 30. (例1.2.18) $\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$，证明$a_n$发散

例 31. $a_n=\frac{\cos1!}{1\times2}+\cdots+\frac{\cos n!}{n(n+1)}$收敛

例 32. 数列$a_n=\sin(n)$发散

发散到无穷大的数列

定义 10. (无穷大)
若$\forall M>0$，$\exists N$，使得$|a_n|>M , \forall n>N$ 则称数列$\{a_n\}$发散到无穷大，记为

\[\lim_{n\to\infty}a_n=\infty \]

若$\forall M>0$，$\exists N$，使得$a_n>M , \forall n>N$， 则称数列$\{a_n\}$发散到正无穷大，记为

\[\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty \]

若$\forall M>0$，$\exists N$，使得$a_n<-M , \forall n>N$， 则称数列$\{a_n\}$发散到正无穷大，记为

\[\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty \]

定理 14.
单调数列发散到无穷大的充分必要条件是其为一个无界数列。

定义 11.
若$\{a_n\}$发散到无穷大，则称$n$趋于无穷时$a_n$为无穷大量。若$\lim a_n=0$，则称$n$趋于无穷时$a_n$为无穷小量。

推论 1.
若$\lim a_n=\infty$，则$\lim \frac1{a_n}=0$

Stolz定理

定理 15. (Stoltz定理)
( $\frac{\infty}{\infty}$型) $\{x_n\}$，$\{y_n\}$是两个数列，且$\{y_n\}$严格递增趋于$+\infty$。若

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=l \]

则有

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=l \]

其中$l$可以是实数，也可以是$+\infty$或$-\infty$。

定理 16. (Stoltz定理)
($\frac{0}{0}$型) 数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$的极限均为$0$，且$\{y_n\}$严格单调减。若

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=l \]

则有

\[\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=l \]

其中$l$可以是实数，也可以是$+\infty$或$-\infty$。

两种Stoltz定理的逆例题并不成立。如$a_n=(-1)^n$, $b_n=n$，则$\lim \frac{a_n}{b_n}=0$，但$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=2(-1)^{n+1}$不收敛。

例 33. 设$\lim a_n=a$，则

（1） $\lim \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}n=a$

（2） 当$a_n>0$，有$\lim \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}=a$

例 34. 设$x_n>0$，且$\lim \frac{x_{n+1}}{x_n}=r$，则$\lim \sqrt[n]{x_n}=r$

例 35. 求极限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt2+\cdots+\sqrt[n]n}n$

例 36. (例1.2.20) 设$\lim a_n=a$, $\lim b_n=b$，证明

\[\lim\frac{a_1b_n+\cdots+a_nb_1}{n}=ab \]

谢谢

目录

本节读完

例 37. $\{a_n\}$,$\{b_n\}$有界，且$\lim n(a_n+b_n)=0$，求

\[\lim \left(a_n\sqrt{n^2+\sqrt n}+b_n\sqrt{n^2-\sqrt n}\right) \]

例 38. 设$\displaystyle z_n=\frac{1^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}}$，$k\in\mathbb{N}$，求

\[\lim z_n,\ \ \ \lim_{n\to\infty} n\left(z_n-\frac1{k+1}\right) \]

例 39. 当$a>1$时，证明$\frac{a^n}n\to+\infty, (n\to+\infty)$

例 40. 当$a>1$, $k>0$时，求$\lim \frac{n^k}{a^n}$

37.

例 41. 若$\lim a_n=a$，则$\lim \frac{[na_n]}n=a$

例 42. 证明$\lim \frac{\ln n}n=0$，并求$\lim \frac{\ln n}{n^k}$, $k>0$

例 43. 设$x_n\neq 0$，且$\lim \frac{x_{n+1}}{x_n}=0$，求$\lim x_n$

例 44. 设$0<x_1<3$，且$x_{n+1}=\sqrt{x_n(3-x_n)}$，求$\lim x_n$

例 45. 设$x_1=\frac19$，且$x_{n+1}=\frac12(1+\frac1{x_n})$，求$\lim x_n$

例 46. 设$x_1=10$，且$x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$，求$\lim x_n$

例 47. (Gauss等比-等差中项) 已知$a>b>0$，取$a_1=\frac{a+b}2$, $b_1=\sqrt{ab}$, $a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}2$, $b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}$。判定$a_n$, $b_n$的收敛性。

习题

例 48. (习题) 若$a_n>0$，且$\lim\frac{a_n}{a_{n+1}}=l>1$，证明$\lim a_n=0$

例 49. (习题) 设$a_n$, $b_n$是正项数列，且满足$\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq\frac{b_{n+1}}{b_n}$，$\forall n$。若$b_n$收敛，证明$a_n$也收敛。