1. 连续函数的基本概念

单变量函数的连续性

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

连续函数的基本概念

连续的定义

定义 1. (函数在一点处连续)
函数$y=f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义。若

\[\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=f(\lim_{x\to x_0}x) \]

则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处连续，点$x_0$称为函数$f(x)$的连续点。否则称$f(x)$在点$x_0$不连续，$x_0$是$f(x)$的间断点。

用$\epsilon-\delta$语言描述函数$f(x)$在点$x_0$连续：$\forall \epsilon>0$，存在$\delta>0$，满足

\[|f(x)-f(x_0)|<\epsilon, \forall |x-x_0|<\delta \]

也可以用增量的概念来描述连续性。当自变量由$x_0$变化到$x$时，就说自变量在$x_0$处有一个增量$\Delta x=x-x_0$，此时函数也有了一个相应的增量

\[\Delta y=\Delta f(x)=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) \]

函数$f(x)$在点$x_0$处连续，就是说当自变量增量$\Delta x$趋于$0$时，函数值增量$\Delta y$也趋于$0$。即

\[\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to0}(f(x_0+\Delta x)-f(x_0))=0 \]

例 1. 函数$\displaystyle f(x)=\begin{cases} \frac{\sin(x)}x , & x\neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$在$x=0$处连续

函数在一个点连续，只与函数在这个点与这个点附近的值有关。因此是一种“局部性质”

定义 2.
如果函数$f(x)$在开区间$I=(a,b)$内每一点处都是连续的，则称$f(x)$在开区间$I$上连续。

左、右连续与间断

定义 3. (左、右连续)
如果$\displaystyle\lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0)$，则称$f(x)$在$x_0$处左连续

如果$\displaystyle\lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0)$，则称$f(x)$在$x_0$处右连续

左、右连续统称为单侧连续

注. 函数在一点连续的充要条件是函数在这一点既左连续，又右连续。

定义 4.
函数在包含端点的区间（如$[a,b)$）上连续是指，函数在区间内部每一点都连续，并且在端点上有相应的单侧连续性（如在$a$处右连续）。

定义 5.
$x_0$为函数$f(x)$的间断点。

（1） 函数$f(x)$在$x_0$的左、右极限都存在，则称$x_0$是$f(x)$的第一类间断。 如果$f(x_0-)\neq f(x_0+)$，则称为跳跃间断点，跳跃度为$|f(x_0-)-f(x_0+)|$； 如果$f(x_0-) = f(x_0+)$，则称为可去间断点

（2） 若函数$f(x)$在$x_0$的左、右极限至少有一个不存在，则称为$f(x)$的第二类间断。 如无穷间断点($\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$)，振荡间断点(在$x\to x_0$的过程中，$f(x)$无限次振荡，极限不存在)

例 2. (例2.1.1) 函数$f(x)=\frac{\sin x}x$, $x\neq 0$在$x=0$处的连续性。

例 3. (例2.1.3) 函数

\[f(x)=\left\{\begin{aligned} \frac1x, & x>0 \\ 0, & x\leq 0 \end{aligned} \right. \]

在$x=0$处的连续性。

例 4. (例2.1.3) Dirichlet函数

\[D(x)=\left\{\begin{aligned} 1, & x\in\mathbb{Q} \\ 0, & x\notin\mathbb{Q} \end{aligned} \right. \]

在任意一点都是第二类间断。$xD(x)$, $(x-1)(x-2)D(x)$的间断点呢？

例 5. Riemann函数

\[R(x)=\begin{cases} & \frac1n , x=\frac{m}{n} (m, n \mbox{ are coprime互素}) \\ & 0, x\notin Q \end{cases} \]

例 6. 函数

\[\begin{aligned} g(x)=\begin{cases} & \frac1{n+1} , x=\frac{m}{n} (m, n \mbox{ are coprime互素}) \\ & 0, x\notin Q \end{cases} \end{aligned} \]

判定函数$f(x)=\sin(x)-\sin(x)g(x)$的连续性

连续函数的运算

定理 1. (连续函数的四则运算)
如果函数$f(x)$，$g(x)$在$x_0$连续，则函数$f(x)\pm g(x)$， $f(x)g(x)$， $cf(x)$及$\frac{f(x)}{g(x)}$($g(x_0)\neq 0$)在$x_0$处也连续。进一步，如果$f(x)$，$g(x)$在区间$I$连续，则它们的和、差、积、商都在区间$I$连续。

定理 2. (复合函数的连续性)
函数$x=\phi(t)$在$t_0$连续，而函数$f(x)$在$x_0=\phi(t_0)$连续，则复合函数$f(\phi(t))$在$t_0$处连续。即有

\[\lim_{t\to t_0}f(\phi(t))=f(\lim_{t\to t_0}\phi(t))=f(x_0)=f(\phi(t_0)) \]

定理 3. (反函数的连续性)
函数$y=f(x)$在某个区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在区间$[a,b]$上存在反函数的充分必要条件是$f(x)$严格单调增（减）。且此时，它的反函数$x=f^{-1}(y)$在对应的定义域内也是严格单调增（减）的连续函数。

例 7. 设

\[f(u)=\left\{\begin{aligned} u , & 0<u\leq 1 \\ 2-u, & 1<u<2 \end{aligned}\right. \]
\[\phi(x)=\left\{\begin{aligned} x , & x\in\mathbb{Q} \\ 2-x, & x\notin\mathbb{Q} \end{aligned}\right. , 0<x<1 \]

研究复合函数$f(\phi(x)), 0<x<1$的连续性

例 8. (习题) 设在点$x=x_0$处，函数$f(x)$连续，而$g(x)$不连续，问函数$f(x)\pm g(x)$与$f(x)g(x)$在点$x_0$的连续性如何？若$f(x)$与$g(x)$在$x_0$都不连续，结论又是什么？

例 9. (习题)

（1） 函数$f(x)$在点$x_0$处连续，则函数$|f(x)|$在$x_0$也连续。

（2） 函数$f(x)$和$g(x)$在一个区间$I$上连续，则函数

\[M(x)=\max\{f(x), g(x)\}, \ \ \ m(x)=\min\{f(x), g(x)\} \]

在区间$I$上也都连续。

（3）存在函数$f(x)$处处不连续，但$|f(x)|$处处连续。

初等函数的连续性

定理 4. (初等函数的连续性)
所有初等函数在其定义域内是连续函数。

  1. $\sin(x)$, $\cos(x)$连续，则$\tan=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, $\cot(x)$, $\sec(x)=\frac1{\cos(x)}$, $\csc(x)$, $\arccos(x)$, $\arcsin(x)$连续
  2. $a^x$, $\ln x$连续，则指数函数，对数函数连续
  3. $x^\mu=e^{\mu\ln x}$，则幂函数连续
  4. $\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$, $\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$, $\mbox{arsinh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$, $\mbox{arcosh}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2-1})$也连续

根据连续函数的特性，以及初等函数的连续性，自然地有如下结论

  1. $a_n\to a$，则$e^{a_n}\to e^a$。
  2. $a_n\to a$，且$a>0$，则$a_n^p\to a^p$, 其中$p$为任意实数。
  3. $a_n\to a$，且$a>0$，则$\ln a_n\to \ln a$。
  4. $a_n\to a$, $f(x)$为初等函数，且$a$在$f(x)$的定义域内，则有$f(a_n)\to f(a)$。

例 10. 证明$\ln(x+1)\sim x, x\to 0$

例 11. 证明$x \to 0$时，

\[\arcsin x\sim x, \arctan x\sim x, (e^x-1)\sim x \]

当$x\to 0$时，与$x$等价的无穷小有

$\sin x$, $\tan x$, $\arcsin x$, $\arctan x$, $e^x-1$, $\ln(1+x)$

例 12. $f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续，且

\[f(x+y)=f(x)+f(y) \]

则$f(x)=cx$, $c$为常数

谢谢

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本节读完

例 13. 谢

13.