2. 闭区间上连续函数的性质

单变量函数的连续性

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

闭区间上连续函数的性质

零点定理与价值定理

定义 1.
用$C[a,b]$表示定义在有界闭区间$[a,b]$上的连续函数的全体。

定理 1. (零值定理)
$f(x)\in C[a,b]$，且$f(a)f(b)<0$，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，满足$f(\xi)=0$

定理 2. (介值定理)
$f(x)\in C[a,b]$，且$r$是介于$f(a)$和$f(b)$之间的任意数，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，满足$f(\xi)=r$

定理 3. (介值定理)
(习题) $f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，$\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\right\}\subset(a,b)$，则存在$\xi\in(a,b)$，满足

\[f(\xi)=\frac1n(f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)) \]

定理 4. (介值定理)
(习题) $f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，$\left\{x_1,x_2,\cdots,x_n\right\}\subset(a,b)$，$\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n>0$，则存在$\xi\in(a,b)$，满足

\[(\omega_1+\cdots+\omega_n)f(\xi)=\omega_1f(x_1)+\cdots+\omega_nf(x_n) \]

例 1. (例2.4.16) 方程$2^x=4x$在$(0,\frac12)$内至少有一个实根

例 2. $f(x)$连续，且满足

\[f(xy)=f(x)+f(y) , \forall x,y>0 \]

则$f(x)=\log_a x$或$f(x)=0$

例 3. (不动点定理) $f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，且有$f([a,b])\subset[a,b]$，则存在$\xi\in[a,b]$，满足$f(\xi)=\xi$

有界性与最大最小值定理

定理 5. (有界性定理)
$f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，则它一定是有界的，即存在$M>0$，有

\[|f(x)|<M, \forall x\in [a,b] \]

定理 6. (最值定理)
$f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，则它在$[a,b]$上可以取到最大值和最小值。即存在$x_1, x_2\in [a,b]$，有

\[f(x_1)=\max_{x\in[a,b]}f(x), f(x_2)=\min_{x\in[a,b]}f(x), \]

例 4. $f(x)=\frac1x$在$(0,1]$上取不到最大值，

$f(x)=x$在$[1,\infty)$上取不到最大值

例 5. $f(x)$在区间$[a,+\infty)$上连续，$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=l$存在有限，且$\exists b_0\in[a,+\infty)$，有$f(b_0)\geq l$，则$f(x)$在$[a,+\infty)$上取到最大值

定理 7.
若$f(x)\in C[a,b]$，则$f(x)$的值域是一个闭区间。

定理 8.

  1. 区间$[a,b]$上连续函数有反函数的充分必要条件是，它是严格单调函数。
  2. 严格单调且连续函数的反函数也是严格单调且连续的。

一致连续性

例 6. $f(x)=\frac1x$, $x\in(0,1)$的连续性。

显然，这是一个连续函数，它在$(0,1)$内的任意点处处连续。

1. 对于点$x_0=\frac1n$。$\forall \epsilon>0$，要使

\[|f(x)-f(x_0)|=|\frac1x-n|<\epsilon \]

$x$必须满足

\[-\frac{\epsilon}{n(n+\epsilon)}<x-\frac1n<\frac{\epsilon}{n(n-\epsilon)} \]

此时，需要取

\[\delta = \frac{\epsilon}{n(n+\epsilon)}\sim\frac{\epsilon}{n^2} \]

$x$满足

\[n-\epsilon<\frac1x<n+\epsilon \]

需要

\[\frac{1}{n-\epsilon}>x>\frac1{n+\epsilon} \]

需要

\[\frac{1}{n-\epsilon}-\frac1n>x-\frac1n>\frac1{n+\epsilon}-\frac1n \]

2. 对于点$x'_0=1-\frac1n$。$\forall\epsilon>0$，要使

\[|f(x)-f(x'_0)|=|\frac1x-\frac{n}{n-1}|<\epsilon \]

必须有

\[-\frac{\epsilon(n-1)^2}{n(n+\epsilon(n-1))}<x-x'_0<\frac{\epsilon(n-1)^2}{n(n-\epsilon(n-1))} \]

因此，取

\[\delta = \frac{\epsilon(n-1)^2}{n(n+\epsilon(n-1))}\sim\epsilon \]

可以看到，对于$\frac1x$,$x\in(0,1)$来说，对于同一个正数$\epsilon$，$x_0$越靠近$0$，需要的$\delta$越小；而$x_0$越靠近$1$，需要的$\delta$则越宽。对于不同的连续点来说，对应的$\delta$是不一致的。

定义 2. (一致连续性)
函数$f(x)$在区间$I$上定义，若$\forall \epsilon>0$， 存在$\delta>0$，使得任取一点$x_0\in I$，有

\[|f(x)-f(x_0)|<\epsilon, \forall |x-x_0|<\delta \]

则称$f(x)$在$I$上一致连续

注. 显然，$f(x)$一致连续，则$f(x)$连续

定义 3. (一致连续性的等价描述)
函数$f(x)$在区间$I$上定义，若$\forall \epsilon>0$， 存在仅与$\epsilon$有关的$\delta=\delta(\epsilon)>0$，满足

\[|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon, \forall |x_1-x_2|<\delta , x_1, x_2\in I \]

则称$f(x)$在$I$上一致连续

定义 4. (非一致连续)
$\exists \epsilon_0>0$，对$\forall \delta>0$，在$I$上总能找到$x_1,x_2$，虽然$|x_1-x_2|<\delta$，但$|f(x_1)-f(x_2)|>\epsilon_0$

注. 一致连续与连续的区别在于，连续性的$\epsilon-\delta$描述中，$\delta$与$\epsilon$和$x_0$均相关；而一致连续性中，$\delta$仅与$\epsilon$相关。

例 7. (例2.2.3) $\sin(x)$在$(-\infty, +\infty)$上一致连续

例 8. (例2.2.3) $\frac1x$在$[a,1]$,$a>0$上一致连续，在$(0,1]$上不一致连续

若存在$\epsilon_0>0$，对任意自然数$n$，总能找到$x_n$, $y_n$，满足$|x_n-y_n|<\frac1n$，但$|f(x_n)-f(y_n)|\geq\epsilon_0$。则$f(x)$非一致连续

例 9. $f(x)=x^2$在$(-\infty,+\infty)$上不一致连续

例 10. (无界，一致连续) $f(x)=\sqrt x$在$[1,+\infty)$上一致连续

例 11. (有界，非一致连续) $f(x)=\sin(x^2)$在$(-\infty,+\infty)$上非一致连续

定理 9. (一致连续性)
$f(x)$是有界闭区间$[a,b]$上的连续函数，则它在$[a,b]$上一致连续。

定理 10.
$f(x)$是开区间$(a,b)$上的连续函数，且$f(a+)$,$f(b-)$存在有限，则它在$(a,b)$上一致连续。

定理 11.
$f(x)$是有界闭区间$[a,b]$,$[b,c]$上的一致连续函数，则它在$[a,c]$上一致连续。

例 12. (习题) $f(x)$是开区间$(a,b)$上的一致连续函数，则$f(a+)$与$f(b-)$存在有限。进而，可以知道$f(x)$在$(a,b)$内有界。

例 13. $f(x)$在$[a,+\infty)$上连续，且$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$存在有限，则$f(x)$在$[a,+\infty)$上一致连续。

例 14. 有界闭区间$[a,b]$上的有限个一致连续函数的和函数与积函数仍然是一致连续函数。

例 15. 判断函数$f(x)=x\sin x$在$[0,+\infty)$上是否一致连续。

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目录

本节读完

例 16. 判断函数$f(x)=x\sin x$在$[0,+\infty)$上是否一致连续。

(无界区间上一致连续函数的乘积不一定一致连续)

16.