1. 导数

单变量函数的微分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

导数

导数的定义

（1） 曲线的切线

derivative

割线$PP_0$的斜率

\[\tan\phi=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]

当$P$趋向$P_0$时，得到切线$PT$。这个极限过程就是

\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\tan\alpha \]

（1） 沿直线运动质点的瞬时速度

质点运动的距离与时间的函数关系是$s=s(t)$，则$t_0$到$t$这段时间间隔内的平均速度为

\[\bar v=\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0} \]

如果要了解质点在某个时刻的速度，就需要时间间隔越来越短。若极限

\[\lim_{t\to t_0}\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0} \]

存在，就称为瞬时速度。

定义 1. (导数)
设$y=f(x)$在$x_0$的邻域内有定义，若

\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]

存在有限，则称函数$f$在$x_0$处可导，并称这个极限值为$f$在$x_0$的导数(或微商)，记为

\[f'(x_0), \left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x=x_0},y'(x_0),\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=x0} \]

注. 若极限为$\infty$，则称导数为$\infty$。此时，切线平行于$y$轴。

用增量语言的方式，还可以表示为

\[\begin{aligned} f'(x_0)=&\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \\ =&\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0)-f(x_0-\Delta x)}{\Delta x} \end{aligned} \]

例 1. $f(x)$在$x_0$处的导数存在有限，求

\[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+\alpha h)-f(x_0-\beta h)}{h} \]
\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0} \]

例 2. $\beta_n>x_0>\alpha_n$, $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\alpha_n=\lim_{n\to+\infty}\beta_n=x_0$, $f(x)$在$x_0$处可导，则有：

\[\lim_{n\to+\infty}\dfrac{f(\beta_n)-f(\alpha_n)}{\beta_n-\alpha_n}=f'(x_0) \]

定义 2. (右导数)
若

\[\lim_{\Delta x\to 0+}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

存在，则称之为函数$f(x)$在点$x_0$的右导数，记为$f'_+(x_0)$。

定义 3. (左导数)
 若

\[\lim_{\Delta x\to 0-}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

存在，则称之为函数$f(x)$在点$x_0$的左导数，记为$f'_-(x_0)$。

显然，

定理 1.
$f(x)$在$x_0$的导数存在，当且仅当$f(x)$在$x_0$处左、右导数均存在且相等

定义 4. (导数)
 若函数$f(x)$在区间$(a,b)$内的每一点都可导，则记

\[f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

称为$f(x)$在$(a,b)$上的导函数，简称导数。又记为

\[\dfrac{df(x)}{dx}, \dfrac{dy(x)}{dx},y'(x) \]

有时候会省略$x$，简记为

\[f',y',\dfrac{df}{dx},\dfrac{dy}{dx} \]

注. 显然，根据定义，有

\[f'(x_0)=f'(x)|_{x=x_0} \]

例 3. 求下列函数的导数

  • $y\equiv c$
  • $y=\sin(x), \cos(x) $
  • $y=x^n$
  • $y=\ln(x), x>0$

定理 2. (可导则连续)
 函数$f(x)$在$x_0$处可导（导数存在有限），则函数$f(x)$在$x_0$处连续

连续不一定可导

1. 左、右导数存在，但不等

$y=|x|$，在$x=0$处

2. 左、右导数不存在

$y=\left\{\begin{aligned} x\sin(\dfrac{1}{x}) , &x\neq 0 \\\ 0, & x=0 \end{aligned}\right.$，在$x=0$处

3. 导数为无穷大

$y=\sqrt[3]x$在$x=0$处连续，但不可导

分段函数

1. 若函数在点$x_0$处不连续，则不可导

2. 若函数在点$x_0$处连续，用定义来求

例 4. 求$f'(0)$，其中函数$f(x)$为

\[f(x)=\left\{\begin{aligned} x^2\cos\left(\dfrac{1}{x}\right), & x\neq 0 \\ 0, & x=0 \end{aligned}\right. \]

例 5. (在一个点可导) 函数 $f(x)=\left\{\begin{aligned} x^2 , & x\in\mathbb{Q} \\0, & x\notin\mathbb{Q} \end{aligned}\right.$ ，求$f'(0)$

导数的四则运算

定理 3. (导数的四则运算规则)
 $f(x)$,$g(x)$可导，则

1. $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$

2. $(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

3. 当$g(x)\neq0$时，$\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

特别地，

\[\left(\frac1{g(x)}\right)'=-\frac{g'(x)}{g^2(x)} \]

例 6. 求$\tan(x)$, $\cot(x)$的导函数

例 7. 求$\sec(x)$和$\csc(x)$的导数

例 8. 求 $(f\cdot g\cdot h)'=?$

复合函数的导数法则

定理 4. (复合函数的导数)
$y=g(x)$在$I$上定义，$z=f(y)$在$J$上定义，且$g(I)\subset J$。若$g(x)$在$x_0$处可导，$f(y)$在$y_0=g(x_0)$处可导，

则复合函数$z=f(g(x))$在$x_0$处可导，且

\[z'(x_0)=(f(g(x_0)))'=f'(g(x_0))g'(x_0) \]

或者写为

\[\left.\dfrac{dz}{dx}\right|_{x=x_0}=\left.\dfrac{dz}{dy}\right|_{y=y_0} \cdot \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=x_0} \]

例 9. (例3.1.16) 设$f(x)$在点$x$处可导，且$f(x)\neq 0$。证明函数$\ln|f|$在点$x$可导，且

\[(\ln|f|)'=\frac{f'(x)}{f(x)} \]

特别地，有

\[(\ln|x|)'=\frac1x, x\neq 0 \]

例 10. 已知$f(x)=\frac{(x+5)^2(x-4)^{\frac13}}{(x+2)^5(x+4)^{\frac12}}, x>4$，求$f'(x)$

对于多重复合函数，不断应用复合函数的求导法则即可。

如$y=f(u)$, $u=g(v)$, $v=h(x)$均可导，则$f(g(h(x)))$对$x$可导，且

\[(f(g(h(x))))'=f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x) \]

或

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dv}\frac{dv}{dx} \]

例 11. (例3.1.13) 求$z=\sin(\cos(x^2))$的导数

反函数的求导法则

定理 5. (反函数求导)
 $f(x)$在$I_x$上严格单调，可导，且$f'(x)\neq0$，则

$x=f^{-1}(y)$也在相应的区间$I_y={y|y=f(x),x\in I_x}$上严格单调、可导，且有

\[(f^{-1}(y))'=\dfrac{1}{f'(x)}, \mbox{or} \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}} \]

例 12. (例3.1.17) 求反三角函数的导函数： $(\arcsin(x))'$, $(\arccos(x))'$, $(\arctan(x))'$

例 13. (例3.1.18) 求$y=a^x$的导函数，其中$a>0$且$a\neq 1$。

例 14. (例3.1.19) 求$y=x^\alpha, (x>0)$的导数，其中$\alpha\in\mathbb{R}$

例 15. (例3.1.20) 设$v(x)$, $u(x)$可导，且$v(x)>0$，则函数$y=(v(x))^{u(x)}$可导，且

\[y'=v(x)^{u(x)}\left(u'(x)\ln v(x)+\frac{u(x)v'(x)}{v(x)}\right) \]

例 16. (例3.1.21) 求$y=xe^x$的反函数的导数

基本初等函数的导数

$(\sin(x))'=\cos(x)$ , $(\cos(x))'=-\sin(x)$,
$(\tan(x))'=\sec^2(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$, $(\cot(x))'=\dfrac{-1}{\sin^2(x)}$
$(\arcsin(x))'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arccos(x))'=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$,
$(\arctan(x))'=\dfrac{1}{1+x^2}$, $(\mbox{arccot}(x))'=-\dfrac{1}{1+x^2}$
$(e^x)'=e^x$, $(a^x)'=a^x \ln a$,
$(\ln(\|x\|))'=\dfrac{1}{x}$, $(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$
$(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}$
\[\begin{aligned} (\sinh(x))'&=\left(\frac{e^x-e^{-x}}2\right)'=\frac{e^x+e^{-x}}2=\cosh(x) , \\ (\cosh(x))'&=\sinh(x) \\ (\tanh(x))'&=\displaystyle\frac1{\cosh^2(x)} \\ (\mbox{arcsinh}(x))'&=(\ln(x+\sqrt{1+x^2}))'=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} \\ (\mbox{arccosh}(x))'&=(\ln(x+\sqrt{x^2-1}))'=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} \\ (\mbox{arctanh}(x))'&=\left(\frac12\ln\dfrac{1+x}{1-x}\right)'=\dfrac{1}{1-x^2} \end{aligned} \]

高阶导数

定义 5. (二阶导数)
 若导函数$f'(x)$在$x_0$处可导，即极限

\[\lim_\Delta x\dfrac{f'(x_0+\Delta x)-f'(x_0)}{\Delta x} \]

存在，则称函数$f(x)$在$x_0$处二阶可导。这个极限称为$f(x)$的二阶导数，记为

\[f''(x_0),y''(x_0),\left.\dfrac{d^2f}{dx^2}\right|_{x=x_0},\left.\dfrac{d^2y}{dx^2}\right|_{x=x_0} \]

即

\[f''(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f'(x_0+\Delta x)-f'(x_0)}{\Delta x} \]

类似，可以定义n阶导数为

\[f^{(n)}(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f^{(n-1)}(x_0+\Delta x)-f^{(n-1)}(x_0)}{\Delta x} \]

记为

\[f^{(n)}(x_0),y^{(n)}(x_0),\left.\dfrac{d^nf}{dx^n}\right|_{x=x_0},\left.\dfrac{d^ny}{dx^n}\right|_{x=x_0} \]

莱布尼兹公式

定理 6. (莱布尼兹公式)
 $u(x),v(x)$均$n$阶可导，则

\[(u(x)v(x))^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}(x)v^{(k)}(x) \]

例 17. (例3.1.22) 求多项式$p_n(x)=a_nx^n+\cdots+a_1 x+a_0$的各阶导数

对于如果$x_0$是多项式$n$次多项式$p_n(x)$的$r$重根，则

\[p_n(x)=(x-x_0)^rq_{n-r}(x) \]

其中$q_{n-r}(x)$是$n-r$次多项式，且$q_{n-r}(x_0)\neq 0$，则有

\[p_n(x_0)=0,p'_n(x_0)=0,\cdots,p_n^{(r-1)}(x_0)=0, p_n^{(r)}(x_0)\neq 0 \]

对于一般的函数$f(x)$，若有

\[f(x_0)=0, f'(x_0)=0,\cdots, f^{(r-1)}(x_0)=0,f^{(r)}(x_0)\neq0, \]

则称$x_0$是$f(x)$的r重零点。

例 18. (例3.1.23) 求$f(x)=e^{ax}$的各阶导数，其中$a$是常数。

例 19. (例3.1.24) 求$f(x)=\ln(1+x)$的各阶导数。

例 20. (例3.1.25) 求$\sin(x)$和$\cos(x)$的各阶导数

例 21. (例3.1.26) 求$f(x)=(1+x)^\alpha$的各阶导数。

例 22. (例3.1.27) $f(x)=\arctan(x)$，求$y^{(n)}(0)$

例 23. $y=\arcsin(x)$，求$y^{(n)}$

例 24. $y=\arcsin(x)$，求$y^{(n)}(0)$

例 25. $(x^2\cdot\cos(ax))^{(50)}$

例 26. $y=\dfrac{1+x}{\sqrt{1-x}}$ , 求$y^{(100)}$

例 27. $y=\dfrac{\ln x}{x}$ , 求$y^{(5)}$

例 28. $y=\sin(x)\sin(2x)\sin(3x)$ , 求$y^{(10)}$

参数方程表示的函数的求导

定理 7. (参数方程求导)
 参变量函数 $\left\{ \begin{aligned} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{aligned}\right.$， $\psi(t)$，$\phi(t)$在区间$(a,b)$内可导，且$\phi'(t)\neq 0$，则 $y=y(x)$ 可导，且

\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\psi'(t)}{\phi'(t)} \]

二阶导数

\[\begin{aligned} \frac{d^2y}{dx}&=\dfrac{d(y')}{dx}=\dfrac{\left(\dfrac{\psi'(t)}{\phi'(t)}\right)'}{\phi'(t)} \\ &=\dfrac{\psi''(t)\phi'(t)-\psi'(t)\phi''(t)}{(\phi'(t))^2}\dfrac{1}{\phi'(t)} \end{aligned} \]

例 29. 求函数

\[\left\{\begin{aligned} x=a\cos(t) \\ y=b\sin(t) \end{aligned}\right. , t\in[0,2\pi] \]

在$t=\dfrac{\pi}{4}$处的切线，法线.

例 30. 证明函数

\[\begin{cases} x=2t+|t| \\ y=5t^2+4t|t| \end{cases} \]

在$t=0$时可导，并求这个导数。

例 31. 对数螺线, $\arctan\dfrac{y}{x}=\ln\sqrt{x^2+y^2}$的导数$y'(x)$

例 32. 求阿基米得螺线 $r=a\theta$ 的导数

例 33. 摆线$\left\{ \begin{aligned}x=a(t-\sin t) \\y=a(1-\cos t)\end{aligned}\right.$ 在任意点的切线方程

例 34. 求和

\[\begin{aligned} S_n=\sin x+\sin 2x+\cdots+\sin nx , \\ T_n=\cos x+2\cos 2x+\cdots+n\cos nx \end{aligned} \]

例 35. 求和

\[S_n=\frac12 \tan\frac{x}2+\cdots+\frac{1}{2^n}\tan\frac{x}{2^n} \]

例 36. (习题) 偶函数的导数为奇函数

谢谢

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目录

本节读完

例 37. 谢

37.