3. 微分中值定理

单变量函数的微分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

微分中值定理

Fermat定理和Rolle定理

定义 1. (极值)
 设$y=f(x)$在$x_0$的邻域内$(x_0-\delta,x_0+\delta)$有定义。若对其中任一点$x$，都有

\[f(x)\leq f(x_0), \forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta) \]

则称$x_0$为$f(x)$的极大值点，$f(x_0)$为极大值。类似可以定义极小值和极小值点。它们统称为极值和极值点

  1. 极大值点不一定是最大值点
  2. 最大值点如果在区间内部，则一定是极大值点
  3. 最大值点可能在端点处，极大值点不能在端点处
  4. 极值点与连续性、可导性无关

定理 1. (Fermat(费马)定理)
$f(x)$在$I$上定义，$x_0$为极值点，若$f$在$x_0$可导，则

\[f'(x_0)=0 \]


  1. 导数为$0$的点，不一定是极值点。如$x^3$在$x=0$处。称导数为$0$的点为函数的驻点
  2. 极值点不一定可导。如$|x|$在$x=0$处

定理 2. (Rolle(罗耳)定理)
函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则 至少存在一个点$\xi\in(a,b)$，满足

\[f'(\xi)=0 \]

推论 1.
设$(a,b)$为有限或无穷区间，函数$f(x)$在在$(a,b)$内可导，且$\displaystyle\lim_{x\to a+}f(x)=\lim_{x \to b-} f(x)=A$ （有限或$+\infty, -\infty$），则 至少存在一个点$\xi\in(a,b)$，满足

\[f'(\xi)=0 \]

推论 2.
设函数$f(x)$在$[x_0,x_n]$上有定义，且有连续的$n-1$阶导数$f^{(n-1)}(x)$，在区间$(x_0,x_n)$内有$n$阶导数$f^{(n)}(x)$；且有

\[f(x_0)=f(x_1)=\cdots=f(x_n), (x_0<x_1<\cdots<x_n) \]

则有：存在$\xi\in(x_0,x_n)$，满足$f^{(n)}(\xi)=0$

推论 3.
设函数$f(x)$在$[a,b]$上有定义，且有连续的$p+q$阶导数$f^{(p+q)}(x)$，在区间$(a,b)$内有$p+q+1$阶导数$f^{(p+q+1)}(x)$；且有

\[\begin{aligned} f(a)=f'(a)=\cdots=f^{(p)}(a)=0 , \\ f(b)=f'(b)=\cdots=f^{(q)}(b)=0 , \end{aligned} \]

则有：存在$\xi\in(a,b)$，满足$f^{(p+q+1)}(\xi)=0$

例 1. Legendre多项式

\[X_n(x)=\frac{d^n(x^2-1)^n}{dx^n} , n=1,2,\cdots \]

在$[-1,1]$中有$n$个不同的实根。

例 2. 函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，

\[f(a)=f(b)=0 \]

证明： 对任意$ \alpha \in \mathbb{R}$, 都存在$\xi \in (a,b)$, 满足 $\alpha f(\xi)=f'(\xi)$

例 3. $f(x)$在$[0,\pi]$上连续，在$(0,\pi)$内可导，$f(0)=0$，则 至少存在一个点$\xi\in(0,\pi)$，满足

\[2f'(\xi)=\tan(\frac12\xi)f(\xi) \]

例 4. 设$f(x)$是$[0,1]$上的二阶可导函数，$f(0)=f(1)$。证明：存在$\xi\in(0,1)$，满足

\[f''(\xi)=\dfrac{2f'(\xi)}{1-\xi} \]

微分中值定理

定理 3. (Lagrange(拉格朗日)中值定理)
函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，则 至少存在一个点$\xi\in(a,b)$，满足

\[f'(\xi)=\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b} \]

由这个定理，可以得到

\[\begin{aligned} f(x+\Delta x)-f(x)=&f'(\xi)\Delta x \\ =&f'(x+\theta \Delta x)\Delta x , \theta\in(0,1) \end{aligned} \]

推论 4.
$f(x)$在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\equiv0$，则$f(x)$为常值函数。

推论 5.
$f(x)$与$g(x)$均在$(a,b)$内可导，且$f'(x)=g'(x)$,$ \forall x\in(a,b)$， 则$f(x)$与$g(x)$只差一个常数

推论 6.
若函数$f$在区间$I$上可微，且存在$M>0$，使得$|f'(x)|\leq M$，则函数$f$满足Lipschitz连续性条件，即对区间$I$上任意两点$x_1$, $x_2$，有

\[|f(x_2)-f(x_1)|\leq M |x_2-x_1| \]

例 5. 导数为常数$f'(x)=k$的唯一函数$f(x),x\in\mathbb{R}$是线性函数$f(x)=kx+b$。

例 6. (例3.3.3) 证明恒等式

\[\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}2 , x\in[-1,1] \]

例 7. 满足方程

\[y'=\lambda y (\lambda=const) ,\forall x\in\mathbb{R} \]

的唯一函数是指数函数$y=Ce^{\lambda x}$，其中$C$为任意常数

例 8. 对$0<\alpha<\beta<\dfrac{\pi}{2}$，有

\[\dfrac{\beta-\alpha}{\cos^2\alpha}<\tan\beta-\tan\alpha<\dfrac{\beta-\alpha}{\cos^2\beta} \]

例 9. (例3.3.2) 对$0<a<b$ 证明

\[\frac{b-a}b<\ln\frac{b}a<\frac{b-a}{a} \]

例 10.

\[(a+b)\ln\dfrac{a+b}{2}<a\ln a+b \ln b, \forall 0<a<b \]

例 11. 若$f(x)$在区间$(a,b)$（可以是无穷）内有有界的导数$f'(x)$，则$f(x)$在$(a,b)$内一致连续

例 12. $f(x)$在$[a,+\infty), a>0$内可导，且$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0$，则

\[\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0 \]

例 13. $f(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内有二阶导数，则存在$\xi\in(a,b)$，s.t.

\[f(b)-2f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f(a)=\dfrac{(b-a)^2}{4}f''(\xi) \]

定理 4. (柯西中值定理)
 函数$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$g'(x)\neq 0,x\in (a,b)$，则 至少存在一个点$\xi\in(a,b)$，满足

\[\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)} \]

例 14. 在闭区间$[-1,1]$中，取$f(x)=x^2, g(x)=x^3$，则

\[\dfrac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\dfrac{0}{2}=0 \]

而两个函数的导数之比为

\[\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{2x}{3x^2} \]

不会为$0$。

例 15. (例3.3.6) $f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，则 至少存在一个点$\xi$，满足

\[f'(\xi)=2\xi(f(1)-f(0)) \]

例 16. $f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，$b>a>0$，则 至少存在一个点$\xi\in(a,b)$，满足

\[\dfrac{a f(b)- b f(a)}{a-b}=f(\xi)-\xi f'(\xi) \]

例 17. 函数$f(x)$在$[a,b]$内连续，在$(a,b)$内可导，且$f'(x)\neq0$，试证明： 存在$\xi,\eta\in(a,b)$，满足

\[\frac{f'(\xi)}{f'(\eta)}=\frac{e^b-e^a}{b-a}e^{-\eta} \]

导函数的介值性质

定理 5.
设函数$f(x)$在区间$[x_0, x_0+\delta]$连续($\delta>0$)，在$(x_0,x_0+\delta)$内可导。若导函数在$x_0$处的右极限存在，即

\[\lim_{x\to x_0+}f'(x)=l \]

则$f(x)$在$x_0$处的右导数也存在，且

\[f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0+}f'(x)=l \]

这个定理说明，如果函数在区间内处处可导，则区间内每一点处的导函数$f'(x)$要么连续，要么有第二类间断，不可能有第一类间断。

定理 6.
分段函数$f(x)$在$x_0$的邻域内连续，在去心邻域内可导，若

\[\lim_{x\to x_0}f'(x)=k \]

则

\[f'(x_0)=k \]

定理 7.
函数$f(x)$在$(a,b)$内可导，则$(a,b)$中的点，或者为$f'(x)$的连续点，或者为$f'(x)$的第二类间断点。

定理 8.
函数$f(x)$在$[a,b]$上可导，且$f'_{+}(a)f'_{-}(b)<0$，则存在点$\xi\in(a,b)$，满足

\[f'(\xi)=0 \]

定理 9. (Darboux定理)
$f(x)$在$[a,b]$上可微，则$f'(x)$可以取到$f'_+(a)$和$f'_-(b)$之间的任何值

定理 10.
若函数$f(x)$的导数$f'(x)\neq 0$，则$f(x)$严格单调。

例 18. 奇函数$f(x)$在$[-1,1]$上有2阶导数，$f(1)=1$。证明

  1. 存在$\xi\in(0,1)$，满足$f'(\xi)=1$
  2. 存在$\eta\in(-1,1)$，满足$f''(\eta)+f'(\eta)=1$

谢谢

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本节读完

例 19. 谢

19.