4. 未定式的极限

单变量函数的微分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

未定式的极限

$\frac{0}0$型未定式的极限

定理 1. ($\frac00$型L'Hospital法则)
 $f(x)$,$g(x)$在$x_0$ 的去心邻域内可导，且$g'(x)\neq 0$。又$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=0$, $\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=0$。若

\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=l \]

则有

\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=l \]

结论对$l$为$\infty$,$x_0$为$\pm\infty$，或单侧极限情况均成立

例 1. $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x-\sin(x)}{x^3}$

例 2. $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{a^x-a^{\sin x}}{x^3}$, $a>0$

$\frac{\infty}{\infty}$型未定式的极限

定理 2.
( $\frac{\infty}{\infty}$洛必达法则 ) $f(x)$,$g(x)$在$x_0$的去心邻域内可导，且满足：

（1）$g'(x)\neq0$在$x_0$的去心邻域内成立, 且$\displaystyle\lim_{x\to x_0}g(x)=\infty$;

（2）$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=l$,

则有

\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=l \]

结论对$l$为$\infty$,$x_0$为$\pm\infty$，或单侧极限情况均成立

例 3. (例3.4.3) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^\mu} , \mu>0$

例 4. (例3.4.4) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^\mu}{e^x} , \mu>0$

例 5. $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(\sin ax)}{\ln(\sin bx)} $

其它类型未定式的极限

$0\cdot\infty$型： 若$f(x)\to 0, g(x)\to \infty$，则

\[f(x)g(x)=\dfrac{f(x)}{\dfrac{1}{g(x)}}=\dfrac{g(x)}{\dfrac{1}{f(x)}} \]

$\infty-\infty$型： 若$f(x)\to\infty, g(x)\to \infty$，则

\[f(x)-g(x)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{f(x)}}-\dfrac{1}{\dfrac{1}{g(x)}} =\dfrac{\dfrac{1}{g(x)}-\dfrac{1}{f(x)}}{\dfrac{1}{f(x)}\cdot\dfrac{1}{g(x)}} \]

例 6. $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\displaystyle\frac1{x^2}-\cot^2x\right)$

例 7. $\displaystyle\lim_{x\to 1-}\ln x\cdot\ln(1-x)$

例 8. $\displaystyle\lim_{x\to0+}x^\mu \ln x , \mu>0$

例 9. $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{e^x-1}\right)$

$1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ 型 ： 取对数

例 10. $\displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{\dfrac{1}{1-\cos(x)}}$

例 11. $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(\frac{\pi}2-\arctan(x)\right)^{\dfrac{1}{\ln x}}$

例 12. (例3.4.8) $\displaystyle \lim_{x\to 0+}x^x $

例 13. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}\right)^{\frac{1}{x}}$

例 14. 若函数$f(x)$的二阶导数$f''(x)$存在，则

\[f''(x)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2} \]

例 15. 设函数$f(x)$在$x=0$有二阶导数，$f(0)=1$， $f'(0)=0$，求$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(f(\dfrac{1}{\sqrt x})\right)^x$

例 16. 求极限

\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{-n^2}e^n \]

不能使用洛必达法则的例子

例 17. $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x^2\sin(\frac1{x})}{\sin x}$

例 18. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x-\sin x}{x+\sin x}$

例 19. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{-2x}(\cos x+2\sin x)+e^{-x^2}\sin^2x}{e^{-x}(\cos x+\sin x)}$

例 20. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1+x+\sin x\cos x}{(x+\sin x \cos x )e^{\sin x}}$

谢谢

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本节读完

例 21. 谢

21.