5. 函数的单调性与凸性

单变量函数的微分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

函数的单调性与凸性

函数的单调性与极值

定理 1.
$f(x)$在$(a,b)$可导，则

  1. 若$f'(x)\geq0(f'(x)>0), \forall x\in(a,b)$，则$f(x)$在$(a,b)$上(严格)单调增
  2. 若$f'(x)<0, \forall x \in (a,b)$， 则$f(x)$在$(a,b)$上严格单调减

定理 2.
设$f(x)$在区间$I$上有定义，$x_0\in I$，且$f(x)$在$x_0$连续。

  1. 若存在$\delta>0$，满足$f'(x)>0, \forall x\in(x_0-\delta,x_0)$；且存在$\delta'>0$，满足$f'(x)<0, \forall x\in(x_0,x_0+\delta')$。则$x_0$为$f(x)$的一个极大值点。
  2. 若存在$\delta>0$，满足$f'(x)<0, \forall x\in(x_0-\delta,x_0)$；且存在$\delta'>0$，满足$f'(x)>0, \forall x\in(x_0,x_0+\delta')$。则$x_0$为$f(x)$的一个极小值点。
  3. 若在$x_0$左边的某个区间和右边的某个区间内，$f'(x)$的符号相同，则$x_0$不是极值点。

$f'(x)=0$的点与导数不存在的点，均为可能的极值点

对导数为$0$的点，有

1. 可能是极大值。$f(x)=-x^2$

\[\begin{cases} f'(x)<0, x>x_0 \\ f'(x)>0, x<x_0 \end{cases} \]

2. 可能是极小值。$f(x)=x^2$

\[\begin{cases} f'(x)>0, x>x_0 \\ f'(x)<0, x<x_0 \end{cases} \]

3. 可能不是极值点。$f(x)=x^3$

\[ f'(x)>0 , x\neq x_0 \]

定理 3.
$f(x)$在$x_0$处满足$f'(x_0)=0, f''(x_0)\neq 0$，则

  1. 若$f''(x_0)>0$，则$x_0$是$f(x)$的极大值点
  2. 若$f''(x_0)<0$，则$x_0$是$f(x)$的极小值点

例 1. (例3.5.2) 求函数 $f(x)=e^{-x^2}$ 的单调区间

例 2. $f(x)=x-\sin x$单调增

例 3. (例3.5.1) $\sin x >\dfrac{2}\pi x, x\in(0,\dfrac\pi2]$

例 4. (例3.5.3) 求函数$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$在区间$[-4,4]$上的最大值和最小值

例 5. $f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}, x>0$ 单调增

例 6. $e<a<b<e^2$，则

\[\ln^2b-\ln^2a>\dfrac{4(b-a)}{e^2} \]

例 7. $x>0, y>0, 0<\alpha<\beta$，则

\[(x^\alpha+y^\alpha)^\frac{1}{\alpha}>(x^\beta+y^\beta)^\frac{1}{\beta} \]

例 8. 证明： $(\sqrt{n})^{\sqrt{n+1}}>(\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}$, $n>8$

例 9. 设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内有界，且有连续导数，$|f(x)-f'(x)|\leq 1$,求证：

\[|f(x)|\leq 1 \]

例 10. (例3.5.4) $x^\alpha-\alpha x\leq 1-\alpha, \alpha\in(0,1), x>0$

例 11. $\sqrt{a_1a_2\cdots a_n}\leq\frac1n(a_1+a_2+\cdots+a_n) , \forall a_i\geq0$

例 12. (Holder不等式) $\forall a_i, b_i$不全为$0$非负数组, $\frac1p+\frac1q=1$, $p>1$, $q>1$

\[\sum_{i=1}^n a_ib_i\leq(\sum_{i=1}^n a_i^p)^{\frac1p}(\sum_{i=1}^n b_i^q)^\frac1q \]

例 13. (Minkowski不等式) $\forall a_i, b_i$不全为$0$非负数组, $p>1$

\[(\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^p)^{\frac1p}\leq(\sum_{i=1}^n a_i^p)^{\frac1p}+(\sum_{i=1}^n b_i^p)^{\frac1p} \]

函数的凸性与拐点

  1. 一阶导数提供的信息只是一个大概
  2. 借助函数的二阶导数讨论函数的凸性、拐点与曲率

若连接曲线$L$上的任意两点的直线，总是位于曲线的上方，则称曲线为凸的。

定义 1. (凸函数)
 设$f(x)$是区间上的函数，若对$I$中任意两点$x_1$, $x_2$，以及对任意$\lambda\in(0,1)$，有

\[f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) \]

则称$f(x)$为$I$上的凸函数。若不等号改为$<$，则称为严格凸函数。

定理 4.
几个等价的表达（Jensen不等式）

1. $\forall x_1\neq x_2$, $\forall 0<\lambda<1$，

\[f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)<\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) \]

2. $\forall x_i\neq x_j$, $\lambda_i>0, \displaystyle \sum_{i=1}^n\lambda_i=1$,

\[f(\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i)<\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \]

3. $\forall x_1<x<x_2$,

\[\dfrac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}<\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<\dfrac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x} \]

定理 5.
若函数$f$对任意的$0<\lambda<1$和$x_1\neq x_2$，满足

\[f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)<\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) \]

则函数$f$连续

定理 6.
设$f(x)$是区间$I$上的连续函数

  1. 若$f(x)$在$I$内部可微，则$f(x)$在$I$上是(严格)凸函数，当且仅当其导函数$f'(x)$在$I$内(严格)单调递增。
  2. 若$f(x)$在$I$内二阶可导，则$f(x)$在$I$内是凸函数，当且仅当在$I$内部$f''(x)\geq0$。而严格凸的充要条件是$f''(x)\geq0$且在任何子区间上不恒为零。

定义 2.
设$y=f(x)$在包含点$x_0$的区间上连续。如果点$x_0$是$f(x)$的凸、凹区间的一个分界点，则称$x_0$是函数$f(x)$的一个拐点（或称为扭转点）。有时也称函数图像上的点$(x_0, f(x_0))$是曲线的拐点

定理 7.
设$f(x)$在$x_0$连续，在$x_0$附近（不包含$x_0$）可导。若在$x_0$的左侧某个区间$(x_0-\delta, x_0)$内$f'(x)$严格单调增（或减），而在$x_0$右侧某个区间$(x_0,x_0+\delta)$内$f'(x)$严格单调减（或增），则$x_0$是$f(x)$的拐点。

定理 8.
若$f(x)$在$x_0$处二阶可导，$x_0$是$f(x)$的拐点，则$f''(x_0)=0$

可以看出，拐点在二阶导数为$0$的点，或二阶导数不存在的点

拐点 极值点
分割凹、凸区间的点 局部最值点
在$x_0$二阶可导，且为拐点，则$f''(x_0)=0$ 在$x_0$可导，且为极值点，则$f'(x_0)=0$
在$x_0$有$f''(x_0)=0$，未必为拐点。如$x^4$ 在$x_0$有$f'(x_0)=0$，未必为极值点。如$x^3$
在$x_0$二阶导数不存在，但可能是拐点 在$x_0$不可导，但可能是极值点

例 14. $f(x)=x^4$ (二阶导数为$0$的点，不是拐点。这是个凸函数)

例 15. $f(x)$在$[a,b]$上二阶可导，$f(a)=a$, $f(b)=b$, $f''(x)<0$，则 $f(x)>x, \forall x\in(a,b)$

例 16. 证明平均不等式

\[\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}\leq\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n} \]

定义 3.
当曲线上的点沿曲线$y=f(x)$运动，与某条直线的距离趋于$0$，就称这条直线是$y=f(x)$的渐近线

  1. 若$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$，或$\displaystyle\lim_{x\to x_0-}f(x)=\infty$，或$\displaystyle\lim_{x\to x_0+}f(x)=\infty$，称$x=x_0$为$y=f(x)$的垂直渐近线
  2. 若$\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)=a$，或$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=a$，或$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=a$，称$y=a$为$y=f(x)$的水平渐近线
  3. 若有实数$a\neq0$，$f(x)$满足$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac{f(x)}{x}=a$，$\displaystyle\lim_{x\to \infty}(f(x)-ax)=b$，则称$y=ax+b$为$f(x)$的斜渐近线

对参数曲线$\begin{cases} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases}$，有

  1. 若$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\psi(x)=a$存在有限，$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\phi(t)=\infty$，则有水平渐近线$y=a$
  2. 若$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\phi(x)=a$存在有限，$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\psi(t)=\infty$，则有垂直渐近线$x=a$
  3. 若$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\phi(t)=\infty$，$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\psi(t)=\infty$，则可能有斜渐近线。若$\displaystyle\lim_{t\to t_0}\dfrac{\psi(t)}{\phi(t)}=a$，$\displaystyle\lim_{t\to t_0}(\psi(t)-a\phi(t))=b$，则称$y=ax+b$为$f(x)$的斜渐近线

函数作图

  1. 定义域、奇偶性、周期性、对称性
  2. 间断点、驻点、导数不存在的点
  3. 单调性、极值点
  4. 凹凸性区间、捌点
  5. 渐近线
  6. 与坐标轴的交点

例 17. 作图 $f(x)=\dfrac{x^4}{(1+x)^3}$

解. 定义域$x\neq -1$，且

\[\lim_{x\to -1}f(x)=\infty \]

驻点与拐点

\[f'(x)=\frac{x^3(x+4)}{(x+1)^4} \]
\[f''(x)=\frac{12x^2}{(1+x)^5} \]

例 18. 作图 $f(x)=(x+6)e^{\frac{1}{x}}$

解. 1. 定义域$x\neq 0$，且

\[\lim_{x\to0+}(x+6)e^{\frac1x}=+\infty \]
\[\lim_{x\to0-}(x+6)e^{\frac1x}=0 \]

$x=0$也是垂直渐近线

2. 渐近线

\[\lim_{x\to+\infty}(x+6)e^{\frac1x}=+\infty,\ \ \ \lim_{x\to-\infty}(x+6)e^{\frac1x}=-\infty, \]
\[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac{x+6}x e^{\frac1x}=1 \]
\[\lim_{x\to\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\to\infty}(\frac{e^{\frac1x}-1}{\frac1x}+6)=7 \]

这样，有斜渐近线$y=x+7$

3. 驻点和拐点

\[f'(x)=e^{\frac1x}(1+(x+6)\frac{-1}{x^2})=e^{\frac1x}\frac{x^2-x-6}{x^2} \]
\[f''(x)=e^{\frac1x}\frac{13x+6}{x^4} \]

因此，可能有驻点$x=-2$, $x=3$。 可能有拐点$x=\frac{-6}{13}$

区间 $(-\infty,2)$ $(2,\frac{-6}{13})$ $(\frac{-6}{13},0)$ $(0,3)$ $(3,+\infty)$
$f'(x)$ $>0$ 增 $<0$ 减 $<0$ 减 $<0$ 减 $>0$ 增
$f''(x)$ $<0$ 凹 $<0$ 凹 $>0$ 凸 $>0$ 凸 $>0$ 凸

$-\frac{6}{13}$是拐点，$-2$是极大值点，$3$是极小值点

\begin{tikzpicture} \begin{axis}[axis lines=middle,width=8cm, height={}, %axis equal=true, variable=t] \addplot[domain=-8:-0.001, samples=100, red] % 设置函数的定义域 {(t+6)*exp(1/t)}; % 输入显式函数 \addplot[domain=1:8, samples=100, red] % 设置函数的定义域 {(t+6)*exp(1/t)}; % 输入显式函数 %\addlegendentry{$(x+6)e^{\frac1x}$} \addplot[domain=-8:8, samples=10, blue] % 设置函数的定义域 {t+7}; % 输入显式函数 \newcommand\MU{exp(-0.5)*4.0} \addplot [sharp plot,green] coordinates { (-2,0) (-2, \MU) }; \renewcommand\MU{exp(-13/6.0)*(6-6.0/13)} \addplot [sharp plot,green] coordinates { (-6.0/13,0) (-6.0/13, \MU) }; \renewcommand\MU{exp(1.0/3)*(6+3)} \addplot [sharp plot,green] coordinates { (3,0) (3, \MU) }; \end{axis} \end{tikzpicture}

平面曲线的曲率

定义： 取$\Delta s$为弧长，$\Delta \alpha$为转过的角度差，则 $\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta s}$叫作平均曲率。 $\displaystyle\lim_{\Delta s\to0}\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta s}$若存在，就表示点$A$的曲率，记为

\[k=\lim_{\Delta S\to0}\dfrac{\Delta\alpha}{\Delta S} \]

Fig
curv

设曲线为$y=f(x)$，且$f(x)$二阶可导。过$x$的切线与$x$轴的正向平角为$\alpha$，则有

\[\tan(\alpha)=y'(x) , \alpha=\arctan(y'(x)) \]

则

\[d\alpha=\frac1{1+(y'(x))^2}y''(x)dx \]

又，微分弧长为$ds=\sqrt{1+(y'(x))^2}dx$，代入曲率公式，有

\[k=\lim_{\Delta s\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s} =\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s} =\frac{d\alpha}{d s}=\frac{y''(x)}{(1+(y'(x))^2)^{\frac32}} \]

若曲线由参数方程$\displaystyle\begin{cases} x=\phi(t) \\ y=\psi(t) \end{cases} , t\in[\alpha,\beta]$表示。若曲线为正则曲线($\phi'(t)$, $\psi'(t)$连续，且不同时为$0$)，则

\[f'(x)=\frac{\psi'(t)}{\phi'(t)}, \ \ f''(x)=\frac{\psi''(t)\phi'(t)-\psi'(t)\phi''(t)}{(\phi'(t))^3} \]

进而可以得到曲率为

\[k(t)=\frac{\phi'(t)\psi''(t)-\psi'(t)\phi''(t)}{(\phi'^2(t)+\psi'^2(t))^\frac32} \]

易得，直线的曲率为0；半径为$R$的圆的曲率为$\frac1R$

定义 4.
设曲线为$y=f(x)$在点$A$处的曲率$k\neq0$。过$A$做曲线的法线，在法线上曲线凹的一侧取点$C$，使$|AC|=\frac1k$，以$C$为圆心，$|AC|$为半径的圆，称为曲线在点$A$的曲率圆或密切圆，它的半径$\frac1{|k|}$称为曲率半径，圆心称为曲率中心。

在$A$点，曲率圆与曲线具有相同的切线、凹凸性和曲率。

例 19. 求极坐标形式下，曲线$r=r(\phi)$的曲率半径

例 20. (例3.5.9) 计算椭圆

\[x=a\cos t ,\ \ \ y=b \sin t, t\in[0,2\pi] \]

任意一点的曲率

例 21. 求圆的渐伸线的曲率，曲率半径，曲率圆心

\[\begin{cases} x=a(\cos t+t \sin t), \\ y=a(\sin t-t \cos t) \end{cases} \]

例 22. 求双纽线$r^2=a^2\cos2\phi$的曲率半径

例 23. 在曲线$y=\ln x$上求曲率最大的点

$a=1$时，圆的渐伸线

\begin{tikzpicture} \begin{axis}[axis lines=middle,width=6cm, height={}, scale only axis=true,axis equal=true, trig format plots=rad,variable=t] \addplot[red,thick,domain=0:2*pi,samples=200] ({cos(t)+t*sin(t)},{sin(t)-t*cos(t)}); % 画图 \addplot[blue,domain=0:2*pi,samples=200] ({cos(t)},{sin(t)}); % 画个圆 \addplot+ [sharp plot,green] coordinates { (0,1) (0.5*pi,1) }; \addplot+ [sharp plot,green] coordinates { (-1,0) (-1,pi) }; %\addplot+ [sharp plot,green] % coordinates { % (1,0) (cos(1.75*pi), sin(1.75*pi)) % }; %\draw (0,1) -- (0,-1) (-1,0) -- (1,0); \end{axis} \end{tikzpicture}

谢谢

vertical slide 2

\begin{tikzpicture} \begin{axis}[axis lines=middle,width=6cm, height={}, scale only axis=true,axis equal=true, trig format plots=rad,variable=t] \end{axis} \end{tikzpicture}

目录

本节读完

例 24. 谢

24.