6. Taylor 展开

单变量函数的微分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

Taylor 展开

Taylor公式

当函数$f(x)$在$x_0$可微时，有

\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o((x-x_0)) , x\to x_0 \]

也就是说，在$x_0$附近，$f(x)$可以用一个一次多项式来近似。

自然地，希望能够用高阶的n次多项式在$x_0$附近去近似$f(x)$，且余项$R(x)$当$x\to x_0$时，是$(x-x_0)^n$的高阶无穷小量。即找

\[T_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+\cdots+a_n(x-x_0)^n \]

满足

\[f(x)=T_n(x)+o((x-x_0)^n), x\to x_0 \]

即

\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-T_n(x)}{(x-x_0)^k} =\lim_{x\to x_0}\frac{o((x-x_0)^n)}{(x-x_0)^k} =0, k=0,1,\cdots,n \]
  1. k=0时，有
    \[0=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-T_n(x)}{(x-x_0)^0}=f(x_0)-T_n(x_0)=f(x_0)-a_0 \]
    则$a_0=f(x_0)$
  2. k=1时，利用L'Hospital法则
    \[0=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-T_n(x)}{(x-x_0)^1} =f'(x_0)-T'_n(x_0)=f'(x_0)-a_1 \]
    即$a_1=f'(x_0)$
  3. 类似地，对任意k$\leq n$，用$k$次L'Hospital法则，有
    \[0=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-T_n(x)}{(x-x_0)^k} =\frac{f^{(k)}(x_0)-T^{(k)}_n(x_0)}{k!}=f^{(k)}(x_0)-a_k k! \]
    即$a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$, $k=0,1,\cdots,n$

定义 1.
若$f(x)$在$x_0$的邻域$(x_0-\delta, x_0+\delta)$内$n$阶可导，称

\[\begin{aligned} T_n(x)=f(x_0)&+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 \\ &+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \end{aligned} \]

为函数$f(x)$在点$x_0$处的n次Taylor多项式

$f(x)-T_n(x)$在$x_0$处直到$n$阶导数都为$0$，

\[f(x_0)-T_n(x_0)=0, \cdots, f^{(n)}(x_0)-T_n^{(n)}(x_0)=0 \]

称$f(x)$与$T_n(x)$具有n阶接触。也称$T_n(x)$为$f(x)$的密切抛物线。

定理 1.
$f(x)$在$x_0$的邻域$(x_0-\delta, x_0+\delta)$内$n$阶可导，则

\[f(x)=T_n(x)+o((x-x_0)^n), x\to x_0 \]

上式称为函数$f(x)$在$x_0$处的带Peano余项的Taylor公式。

定义 2.
函数$f(x)$在$x_0$的邻域内$n$阶可导，则Taylor公式

\[f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n), x\to 0 \]

称为函数$f(x)$的n次Peano余项的Maclaurin公式

余项的表示与估计

定理 2.
设$f(x)$在区间$I$内具有$n+1$阶导数，$x$, $x_0$是$I$内任意两点，存在$x$与$x_0$之间的数$\xi$，满足

\[\begin{aligned} f(x)=f(x_0)&+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots \\ &+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \end{aligned} \]

其中

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \]

$R_n(x)$称为Lagrange余项。上式称为具有Lagrange余项的Taylor公式。

Lagrange余项也可以表示为

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_0+\theta(x-x_0))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} , \theta\in(0,1) \]

$n=0$时，带Lagrange余项的Taylor公式就是

\[f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0) \]

即Lagrange中值定理

推论 1.
函数$f(x)$在$I$内有有界的$n+1$阶导数，则

\[|f(x)-T_n(x)|\leq\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1} , \forall x\in I \]

其中$T_n(x)$是$f(x)$在$x_0$处的Taylor多项式，$M$是$n+1$阶导数的界，即

\[|f^{(n+1)}(x)|\leq M , \forall x\in I \]

定理 3. (Peano余项)
 $f(x)$在$x_0$有直到$n$阶的导数，在含$x_0$的区间$I$内有直到$n-1$阶的导数，则

\[\begin{aligned} f(x)=f(x_0)&+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots \\ &+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \\ \end{aligned} \]

其中，

\[R_n(x)=o((x-x_0)^n), x \to x_0 \]

例 1. 初等函数的Maclaurin展开

1. $e^x$

2. $\sin(x)$

3. $\cos(x)$

4. $(1+x)^\alpha$

5. $\ln(1+x)$

\[\begin{aligned} e^x=&1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+ \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{n+1} \\ \ln(1+x)=& x-\dfrac{x^2}{2}+\cdots+(-1)^n\dfrac{x^n}{n}+ \frac{(-1)^n}{(n+1)(1+\xi)^{n+1}}x^{n+1} \\ \sin(x)=& x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\frac{(-1)^n\cos\xi}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\ \cos(x)=&1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}+\frac{(-1)^n\cos\xi}{(2n)!}x^{2n} \\ (1+x)^{\alpha}=&1+\alpha x+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n \\ &+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n)(1+\xi)^{\alpha-n-1}}{(n+1)!}x^{n+1} \\ \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} (1+x)^m=& 1+mx+\dfrac{m(m-1)}{2!}x^2+\cdots \\ &+\dfrac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}x^n+o(x^n) \\ \dfrac{1}{1+x}=&1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n) \\ \dfrac{1}{(1+x)^2}=&1-2x+3x^3-\cdots+(-1)^n(n+1)x^n+o(x^n) \\ \sqrt{1+x}=&1+\displaystyle\frac12 x-\displaystyle\frac18 x^2+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{(2n-3)!!}{(2n)!!}x^n+o(x^n) \\ \dfrac{1}{\sqrt{1+x}}=&1-\displaystyle\frac12 x+\dfrac{3}{8}x^2+\cdots+(-1)^n\dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n+o(x^n) \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \arctan x=&x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{2n-1}+o(x^{2n}) \\ \arcsin x=&x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3x^5}{40}+\cdots+\dfrac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!(2n-1)}x^{2n-1}+o(x^{2n}) \end{aligned} \]

例 2. (例3.6.1) Maclaurin展开 $e^{-x^4}$

例 3. (例3.6.2) 展开 $\cos^2(x)$

例 4. $\tan(x)$ 展开到$x^5$项

例 5. $\sin(\sin(x))$展开到$x^3$项

例 6. (例3.6.4) 求$\frac1x$在$x=2$处的Taylor公式

例 7. $f(x)=\frac1{2x^2-1}$，求$f^{(2018)}(0)$。

例 8. (习题) 若$x_0$是$f(x)$的驻点(即$f'(x_0)=0$)，则

\[\begin{aligned} f(x)-f(x_0)=&\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\cdots \\ &+\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \end{aligned} \]

其中$k\geq 2$。若$k$为偶数，则$x_0$是极值点，若$k$是奇数，则$x_0$不是极值点。

求极限

例 9. $\displaystyle\lim_{x\to0+}\dfrac{a^x+a^{-x}-2}{x^2} , a>0$

例 10. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}(x-x^2\ln(1+\dfrac{1}{x}))$

例 11. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}(x(x+1)\ln(1+\dfrac{1}{x})-x)$

例 12. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(n(n+1)\ln(1+\dfrac{1}{n})-n)$

例 13. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{(1+\dfrac{1}{n})^{n(n+1)}}{e^n}$

如何求

\[\lim_{x\to0}\dfrac{a_nx^n+o(x^n)}{b_mx^m+o(x^m)}=? \]

例 14. $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x\cos2x}{1-\cos x}$

例 15. $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x\sqrt{\cos2x}\sqrt[3]{\cos3x}}{x^2}$

例 16. $\displaystyle\lim_{x\to0}(\dfrac{1}{x}-\displaystyle\frac1{\sin x})$

例 17. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\arcsin(x)-\arctan x}{\sin x-\tan x}$

近似计算

\[f(x_1)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x+\cdots+\dfrac{f^{(n)}}{n!}\Delta x^n \]

误差不超过

\[\dfrac{M|\Delta x|^{n+1}}{(n+1)!} \]

$M$为$|f^{(n+1)}|$的上界，$\Delta x=x_1-x_0$

例 18. 求近似值 $\log_{10}(11)=?$

例 19. 求近似值 $\sqrt 5=?$

例 20. (例3.6.5) 计算$e$的值，使误差不超过$10^{-5}$

例 21. 设$f(x)$有二阶导数连续，且 $f(0)=f'(0)=0$, $f''(0)=6$。求

\[\lim_{x\to0}\frac{f(\sin^2x)}{x^4} \]

例 22. $f(x)$在$a$处二阶可导，求

\[\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+2h)-3f(a)+2f(a-h)}{h^2} \]

证明

例 23. $f(x)$在$x_0$的某邻域内有连续的$n+1$阶导数，

\[f(x_0+h)=f(x_0)+hf'(x_0)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(x_0+\theta h)}{n!}h^n, \theta\in(0,1) \]

且$f^{(n+1)}(x)\neq0$，证明：

\[\lim_{h\to0}\theta=\dfrac{1}{n+1} \]

例 24. $f(x)$在$\mathbb{R}$中满足$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x}=1$，且$f''(x)>0$，证明：

\[f(x)\geq x, \forall x\in\mathbb{R} \]

例 25. $f(x)$在$(1,+\infty)$上定义，且$f'(x), f''(x)$存在。又$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f''(x)=0$， 证明：

\[\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0 \]

例 26. $f(x)$在$[0,+\infty)$上定义，且有连续的二阶导数。又$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$存在, $f''(x)$在$[0,+\infty)$上有界， 证明：

\[\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0 \]

例 27. $f(x)$在$[0,2]$有连续的三阶导数，$f(0)=1$， $f(2)=2$，$f'(1)=0$，证明： $\exists \xi\in(0,2)$，满足

\[f'''(\xi)=3 \]

例 28. $f(x)$在$[a,b]$上有连续的二阶导数，$f'(a)=f'(b)=0$，证明： $\exists \xi \in(a,b)$， s.t.

\[|f''(\xi)|\geq\dfrac{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)| \]

例 29. (例3.6.7) 函数$f(x)$在$[0,1]$区间上二阶可导，且对任意$x$，有$|f''(x)|\leq M$。 又$f(0)=f(1)=0$。证明

\[|f(x)|\leq\frac{M}8 , \forall x\in[0,1] \]

例 30. $f(x)$在$[a,b]$上三次可导，证明：$\exists \xi\in(a,b)$，满足

\[f(b)=f(a)+f'(\frac{a+b}2)(b-a)+\dfrac{1}{24}f'''(\xi)(b-a)^3 \]

谢谢

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目录

本节读完

例 31. $\sqrt{\cos(2x)}$展开到$x^2$项

例 32. $\sqrt{\cos(2x)}\sqrt[3]{\cos(3x)}$展开到$x^2$项

[#ex-2-1-0].