1. 不定积分及其基本计算方法

不定积分

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

不定积分及其基本计算方法

基本概念

定义 1. (原函数)
 区间$I$上，$F'(x)=f(x), \forall x\in I$，或$dF(x)=f(x)dx$，则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的一个原函数。

  1. 区间$I$可以是开、或闭，有限、或无穷。端点处为单侧导数
  2. $F'(x)=f(x)$，则$(F(x)+c)'=f(x), \forall c\in \mathbb{R}$。所以原函数不唯一
  3. 若$F'(x)=G'(x)=f(x)$，则$(F(x)-G(x))'=0$，所以$G(x)=F(x)+c$。

综上所述，$F(x)+c$为所有$F'(x)=f(x)$的函数。

定义 2.
称$f(x)$在区间$I$上的全体原函数$\{F(x)+c\}$为函数$f(x)$在$I$上的不定积分，记为

\[\int f(x)dx \]

$\int$为积分符号，$f(x)$为被积函数， $x$为积分变量，$f(x)dx$为被积表达式，

积分符号$\int$更确切地表示是求一个函数$F(x)$，它的微分是$f(x)dx$。因此， 函数$f(x)$的不定积分，应该更确切地称为微分$f(x)dx$的不定积分。

不定积分是微分的逆运算

几何意义：

求$f(x)$的原函数，就是找一个函数$y=F(x)$，它在$x$处的切线斜率为$f(x)$。这样的一条曲线称为$f(x)$的一条积分曲线。而将一条积分曲线沿$y$方向作平移，就可以得到所有的积分曲线。因此，不定积分$\int f(x)dx$表示包含全部这些积分曲线的曲线族。

\usetikzlibrary{arrows} \usetikzlibrary{intersections, calc} \begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,>=latex'] \def\tangentlength{1.2cm}; % code for draw a coordinate axes \node(O) at (0,0) [below left]{$\mathrm{O}$}; \draw[->] (-0.2,0) -- (4.2,0) node[below]{$x$}; \draw[->] (0,-0.2) -- (0,2.6) node[left]{$y$}; \tikzset{ integration/.pic={ % Code for a curve with tangent \draw[name path=graph, thick] (0.1,0.1) .. controls (2,0) and (2,2) .. (4,2); \path[name path=main] (2.8,0) -- (2.8,2); \path[name path=sub] ($(2.8,0)+(1pt,0)$) -- ($(2.8,2)+(1pt,0)$); \path[name intersections={of=graph and main}]; \coordinate (a) at (intersection-1); \path[name intersections={of=graph and sub}]; \coordinate (b) at (intersection-1); \draw ($(a)!-\tangentlength/2!(b)$)--($(a)!\tangentlength/2!(b)$); } } \draw (0,0.5) pic {integration}; \draw (0,0) pic {integration}; \draw[dashed,help lines] ($(0,0)!(a)!(0,1)$)-| ($(0,0)!(a)!(1,0)$); \end{tikzpicture}
\[\int f(x)dx=F(x)+C \]

若要求出过定点$(x_0,y_0)$的积分曲线，则需要确定积分常数$C$的值。通常称确定常数$C$的条件

\[y(x_0)=y_0 \]

为初值条件。带有初值条件的问题

\[\begin{cases} y'(x)=f(x) \\ y(x_0)=y_0 \end{cases} \]

为初值问题。

  1. 什么样的函数有原函数？

    至少有第一类间断点的函数不会有原函数

  2. 一个初等函数的原函数会仍然是初等函数吗？

    不一定。如
    \[\int e^{-x^2}dx, \ \ \int\frac1{\ln x}dx, \ \ \ \int\sin(x^2)dx \]
  3. 如何计算出原函数？

基本的积分公式

\[\begin{aligned} &\int k dx=kx+C & \\ &\int x^\alpha dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C , \alpha\neq -1 & &\int \dfrac{1}{x} dx=\ln(|x|)+C \\ &\int\dfrac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C && \int\dfrac{1}{\sin^2x}=-\cot x+C \\ &\int\sin xdx=-\cos x+C && \int \cos xdx=\sin x+C \\ &\int e^xdx=e^x+C && \int a^x dx=\dfrac{1}{\ln a}a^x+C \\ \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} &\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x + C&& \\ &\int\dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x +C && \\ &\int\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\ln(x+\sqrt{1+x^2}) + C && \\ \end{aligned} \]

积分的基本性质

  1. $\displaystyle\left(\int f(x)dx\right)'=f(x)$ , $\displaystyle d\left(\int f(x)dx\right)=f(x)dx$
  2. $\displaystyle\int dF(x)=\int f(x) dx=F(x)+c$, $\displaystyle\int f'(x) =f(x)+c$
  3. $\displaystyle\int\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx=\alpha \int f(x)dx+\beta\int g(x)dx$, 其中$\alpha$, $\beta$为不全为0的实数

直接计算积分

例 1. $\displaystyle\int 2^x e^x dx$

例 2. $\displaystyle\int\dfrac{x^2+1}{\sqrt x}dx$

例 3. $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}dx$

例 4. (例4.1.2) $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2x\cos^2x}dx$

例 5. $\displaystyle\int\dfrac{1}{1-x^4}dx$

拼接

例 6. 证明$(-\infty,1),(-1,1),(1,+\infty)$上$\dfrac{1}{\sqrt2}\arctan\dfrac{\sqrt2 x}{1-x^2}$是$\dfrac{1+x^2}{1+x^4}$的原函数。并求出$\dfrac{1+x^2}{1+x^4}$在$(-\infty,+\infty)$上的原函数

例 7. $\displaystyle\int\max\{x^2,x^4\}dx, x\in\mathbb{R}$

例 8. $\displaystyle\int e^{|x|}dx , x\in\mathbb{R}$

换元积分法

换元积分法与复合函数的微分法则相对应。它通过引入新的变量，来改变被积函数的形式，使不定积分易于求解。

定理 1. (第一换元)
设$F(u)$是$f(u)$的一个原函数， $u=\phi(x)$可微，则

\[\int f(\phi(x))\cdot\phi'(t)dx=F(\phi(x))+C \]

即，$f(\phi(x))\cdot\phi'(x)$的一个原函数是$F(\phi(x))$。

定理 2. (第二换元)
设函数$x=\phi(t)$是严格单调的可微函数，且$\phi'(t)\neq0$。若

\[\int f(\phi(t))\phi'(t)dt=G(t)+C \]

则有

\[\int f(x)dx=G(\phi^{-1}(x))+C \]

即，$f(x)$有一个原函数$G(\phi^{-1}(x))$。

第一换元法，又叫做凑微分法。在被积表达式中，正好看到了某个微分式。 如，注意到$\cos xdx=d(\sin x)$

\[\begin{aligned} \int \cos x\sin x dx=&\int \sin x d(\sin x) \\ (t=\sin x)=&\int t dt=\frac{1}2t^2+c=\frac{1}2\sin^2x+c \end{aligned} \]

第二换元法则是主动用表达式替换$x$，如 令$t=\sin x$，则$dt=\cos x dx$，即$dx=\dfrac{1}{\cos x}dt$，则有

\[\begin{aligned} \int \cos x \sin x dx=\int \cos(x) t dx=\int t \cos x \dfrac{1}{\cos x}dt \\ =\int t dt=\frac{1}2t^2+c=\frac{1}2\sin^2x+c \end{aligned} \]

例 9. $\displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{4+(ax+b)^2}}dx$

例 10. $\displaystyle\int\dfrac{1}{(1+x)\sqrt{x}}dx$

例 11. $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}}dx$

例 12. $\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin x}dx$, $\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos x}dx$

例 13. $\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x^4+1}dx$, $\displaystyle\int\frac{x^2-1}{x^4+1}dx$

分部积分法

定理 3. (分部积分)
 设$u(x),v(x)$可导，$\displaystyle\int u'(x)v(x)dx$存在，则 $\displaystyle \int u(x)v'(x)dx$也存在，且

\[\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx \]

例 14. (例4.1.12) $\displaystyle\int\ln xdx$, $\displaystyle\int\arctan x dx$, $\displaystyle\int\arcsin x dx$

例 15. $\displaystyle\int\sin x\ln(\tan x)dx$

例 16. 求积分$\displaystyle\int\frac{e^x(1+\sin x)}{1+\cos x}dx$

例 17. $\displaystyle\int x^2\sin(2x)dx$

例 18. $\displaystyle\int(\dfrac{\ln x}{x})^2dx$

对积分$\displaystyle\int p_n(x) f(x) dx$，其中$p_n(x)$为多项式，

  • $f(x)$为$\sin(x), \cos(x), e^x$，则可以采用降幂的方法
    \[\int p_n(x)\sin xdx=-\int p_n(x)d\cos x \]
  • $f(x)$为$\ln x,\arctan x, \arcsin x$，可以采用升幂的方法
    \[\int p_n(x)\ln xdx=\int \ln x dp_{n+1}(x) \]

循环

例 19. $\displaystyle\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx$

例 20. $\displaystyle\int \sqrt{x^2+A}dx$

例 21. $\displaystyle\int e^{ax}\cos(bx)dx , a,b\neq 0$

递推

例 22. $\displaystyle\int \sec^n xdx=I_n$

例 23. $\displaystyle\int\tan^n xdx=I_n$

例 24. (例4.1.14) $\displaystyle\int\dfrac1{(x^2+a^2)^n}dx$

谢谢

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目录

本节读完

例 25. $f(x)$在$I$上定义，有原函数$F(x)$，则

  1. 若$f(x)$为奇函数，则$F(x)$为偶函数
  2. 若$f(x)$为偶函数，则$F(x)$中只有唯一一个奇函数

25. 证： 设$F'(x)=f(x)$为其中一个原函数

1. 由$(F(x)-F(-x))'=f(x)+f(-x)=0$，可知

\[F(x)-F(-x)=c \]

又$F(0)-F(-0)=0$，可知$c=0$，即有

\[F(x)=F(-x) \]

2. 由$(F(x)+F(-x))'=f(x)-f(-x)=0$，则

\[F(x)+F(-x)=c \]
  • 若$F(0)=0$，则$c=0$。这时，有$F(x)=-F(-x)$，此时$F(x)$为奇函数
  • 若$F(0)\neq0$，则$F(x)$不是奇函数

[#ex-2-1-0].