1. 积分

单变量函数的积分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

积分

积分的定义

求一个曲边梯形的面积
\usetikzlibrary{arrows} \usetikzlibrary{intersections, calc} \begin{tikzpicture}[scale=0.8,samples=200, >=latex,thick] \fill[fill=yellow!80!black] (2.0,0)--(2.0,1.3)--(2.5,1.3)--(2.5,0); % \clip (0,0) rectangle (5,5);% 切り抜き \draw[thick,->] (-0.5,0) -- (5,0) node[right] {$x$};% x軸 \draw[thick,->] (0,-0.1) -- (0,3) node[below right] {$y$};% y軸 \draw (0,0) node[below left] {O};% 原点 %\draw (0,0) to [out=60,in=120] (3,1); \draw[thin] (0.5,0)--(0.5,1.5); \draw[thin] (4,0) -- (4,2); \draw[name path=fx, thick] (0.5,1.5) .. controls (2,0) and (2,2) .. (4,2); \draw (2,2) node[above] {$y=f(x)$}; \draw (1.0, 0) node[below] {$x_1$}; \draw (2.5, 0) node[below] {$x_i$}; %\draw (3.5, 0) node[below] {$x_{n-1}$}; \draw (0.5, 0) node[below] {$a$}; \draw (4, 0) node[below] {$b$}; \foreach \x in {1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 } { \path[name path=main] (\x,0) -- (\x,2.0); \path[name intersections={of=fx and main}] (intersection-1) coordinate (P); %\coordinate (a) at (intersection-1); \draw[dotted] (\x,0)-- (P); } \end{tikzpicture}
  1. 先在$a$,$b$之间插入分割点$a=x_0<x_1<\cdots$ $<x_{n-1}<x_n=b$，将曲边梯形分成$n$个小“长条”
  2. 将每个“长条”近似为小矩形，则面积为
    \[f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}) \]
    其中$\xi_i$是$[x_{i-1},x_i]$中的任意一点。
\usetikzlibrary{arrows} \usetikzlibrary{intersections, calc} \begin{tikzpicture}[scale=0.8,samples=200, >=latex,thick] \fill[fill=yellow!80!black] (2.0,0)--(2.0,1.3)--(2.5,1.3)--(2.5,0); % \clip (0,0) rectangle (5,5);% 切り抜き \draw[thick,->] (-0.5,0) -- (5,0) node[right] {$x$};% x軸 \draw[thick,->] (0,-0.1) -- (0,3) node[below right] {$y$};% y軸 \draw (0,0) node[below left] {O};% 原点 %\draw (0,0) to [out=60,in=120] (3,1); \draw[thin] (0.5,0)--(0.5,1.5); \draw[thin] (4,0) -- (4,2); \draw[name path=fx, thick] (0.5,1.5) .. controls (2,0) and (2,2) .. (4,2); \draw (2,2) node[above] {$y=f(x)$}; \draw (1.0, 0) node[below] {$x_1$}; \draw (2.5, 0) node[below] {$x_i$}; %\draw (3.5, 0) node[below] {$x_{n-1}$}; \draw (0.5, 0) node[below] {$a$}; \draw (4, 0) node[below] {$b$}; \foreach \x in {1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 } { \path[name path=main] (\x,0) -- (\x,2.0); \path[name intersections={of=fx and main}] (intersection-1) coordinate (P); %\coordinate (a) at (intersection-1); \draw[dotted] (\x,0)-- (P); } \end{tikzpicture}
  1. 把这些矩形面积加起来
    \[S_n=\sum_{i=1}^nf(\xi)(x_i-x_{i-1}) \]
    做为曲边梯形面积的“近似”
  2. 当插入点越来越多时，这个面积和的极限，就是曲边梯形的面积

类似地，可以计算质点作变速直线运动的路程。

把时间段$[\alpha,\beta]$分成多个小段，每个小段上的运动近似为匀速运动。

定义 1. (定积分)
在$[a,b]$中插入$n-1$个点，

\[T:a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b \]

称为区间$[a,b]$的一个分割。 记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$, $i=1,2,\cdots,n$， 则$\displaystyle \|T\|=\max_{1\leq i\leq n}\Delta x_i$称为分割$T$的模或宽度。

在$[x_{i-1},x_i]$中任取一点$\xi_i$，和式

\[S_n(T)=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i \]

称为函数$f(x)$在$[a,b]$上对应分割$T$和一个Riemann和(或积分和)。

若$\displaystyle \lim_{\|T\|\to0}S_n(T)=I$存在，且与$T$,$\xi_i$取法无关，则称函数$f(x)$在$[a,b]$上可积，并称$I$为$f(x)$在$[a,b]$上的积分(或定积分)，记为

\[I=\int_a^b f(x)dx \]

$f(x)$称为被积函数 ； $a$为积分下限 ； $b$为积分上限； $f(x)dx$为被积表达式； $x$为积分变量。

也称函数为Riemann可积； 称积分为Riemann积分。

注意，积分定义中的两个任意： 分割的任意性、点$\xi_i$的任意性

integ-2

  • 积分与变量名称无关，如
    \[\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(u)du=\int_a^bf(t)dt \]
  • $\epsilon-\delta$描述： $\forall \epsilon>0, \exists \delta>0$，只要分割满足$\|T\|<\delta$，无论点$\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$怎样取，都有
    \[|\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i-I|<\epsilon \]
    则$\displaystyle\int_a^bf(x)dx=I$

可积函数类

问题. 什么样的函数可积？

定理 1. (可积则有界)
 若$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$f(x)$在$[a,b]$上有界

推论 1.
函数无界则不可积

例 1. (有界，也未必可积)证明函数

\[D(x)=\begin{cases} 1, x=\frac{p}{q} \\ 0, x\notin Q \end{cases} \]

不可积

定理 2.
$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$可积

定理 3.
$f(x)$在$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$可积

定理 4.
$f(x)$在$[a,b]$上单调有限，则$f(x)$可积

积分的初等例子

例 2. $\displaystyle\int_0^a x^k dx$，$k\in\mathbb{Z}, a\in\mathbb{R}$

例 3. $\displaystyle\int_a^b x^\mu dx$，$\mu\in\mathbb{R}, b>a>0$

例 4. $\displaystyle\int_a^b \sin xdx$

例 5. $\displaystyle\int_1^2 \ln x dx$

例 6. (例5.1.5) 设$a\leq c\leq b$, $a<b$，函数

\[J(x)=\begin{cases} 0, &x\in[a,b], x\neq c \\ 1, & x=c \end{cases} \]

证明$\int_a^b J(x)=0$

例 7. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}((\dfrac1{\sqrt{4n^2-1}}+\cdots+\dfrac1{\sqrt{4n^2-n^2}}))$

例 8. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\dfrac1{\sqrt{n^2}}+\dfrac1{\sqrt{n^2-1}}+\cdots+\dfrac1{\sqrt{n^2-(n-1)^2}})$

例 9. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\dfrac{\ln(1+\frac{1}{n})}{n+1}+\dfrac{\ln(1+\frac{2}{n})}{n+2}+\cdots+\dfrac{\ln(1+\frac{n}{n})}{n+n})$

例 10. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^n\dfrac{i}{n\sqrt{n^2+i^2}}$

例 11. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^n(1+\dfrac{i}n)\sin\dfrac{i\pi}{n^2}$

积分的基本性质

定理 5. (区间可加性)
设$a<c<b$，

  1. 若$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$f(x)$在$[a,c]$, $[c,b]$上也可积，且
    \[\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx \]
  2. 若$f(x)$在$[a,c]$和$[c,b]$可积，则$f(x)$在$[a,b]$上可积，且
    \[\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx \]

定理 6.
若$f(x)$在$[a,b]$可积，则$f(x)$在任一子区间$[a_1,b_1]$上可积（$a\leq a_1<b_1\leq b$）

为方便起见，定义积分限$a=b$时，

\[\int_a^af(x)dx=0 \]

当$a>b$时，定义

\[\int_a^b f(x)=-\int_b^a f(x) \]

这样，若$f(x)$在$[\alpha,\beta]$内可积，则不论$[\alpha,\beta]$内的三个点$a$, $b$, $c$的大小关系如何，都成立

\[\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx \]

定理 7.
函数$f(x)$, $g(x)$在$[a,b]$上可积，则

  1. 对任意常数$\alpha$, $\beta$，函数$\alpha f(x)+\beta g(x)$也在$[a,b]$上可积，且
    \[\int_a^b (\alpha f(x)+\beta g(x)) dx=\alpha \int_a^b f(x)dx+\beta \int_a^b g(x)dx \]
  2. 函数$f(x)g(x)$也在$[a,b]$上可积。

定理 8.
函数$f(x)$, $g(x)$在$[a,b]$上可积，则

  1. 若$f(x)\geq0$，$\forall x\in[a,b]$，则$\displaystyle\int_a^b f(x)dx\geq 0$
  2. 若$f(x)\geq g(x)$，$\forall x\in[a,b]$， 则$\displaystyle\int_a^b f(x)dx\geq \int_a^b g(x)dx$
  3. $f(x)$在$[a,b]$上连续，$f(x)\geq 0$且$f(x)\neq 0$，则$\displaystyle\int_a^b f(x)dx>0$
  4. $f(x)$, $g(x)$在$[a,b]$上连续， $f(x)\geq g(x)$且$f(x)\neq g(x)$，则$\displaystyle\int_a^b f(x)dx> \int_a^b g(x)dx$

定理 9.
$f(x)$在$[a,b]$上可积，且$m\leq f(x)\leq M$，则

\[m(b-a)\leq\displaystyle\int_a^b f(x)dx\leq M(b-a) \]

例 12. 比较大小 $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{10}xdx$，$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}xdx$

例 13. 比较大小 $\displaystyle\int_0^1 e^{-x}dx$，$\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}dx$

例 14. 估值 $\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^9}{\sqrt{1+x}}dx$

例 15. 估值 $\dfrac{2}{\sqrt[4]e}\leq \displaystyle\int_0^2 e^{x^2-x}dx\leq 2e^2$

定理 10. (积分中值定理)
$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in(a,b)$，使得

\[\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a) \]

定理 11. (推广的积分中值定理)
$f(x)$在$[a,b]$上连续，$g(x)$可积且不变号，则存在$\xi\in(a,b)$，使得

\[\int_a^b f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^b g(x)dx \]

例 16. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_n^{n+p}\dfrac{\sin x}{x}dx, p>0$

例 17. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^{\frac{\pi}2}\sin^nxdx$

微积分基本定理

定义 2. (变上限积分)
 $f(x)$在$[a,b]$上可积，则$\forall x\in[a,b]$，有一个积分值$\displaystyle\int_a^xf(t)dt$，则记

\[\Phi(x)=\int_a^x f(t)dt, a\leq x\leq b \]

称为$f(x)$的变上限积分(或积分上限函数)

定理 12.
$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$\Phi(x)$在$[a,b]$上连续

定理 13. (微积分基本定理)
 $f(x)$在$[a,b]$上可积，在$x_0\in[a,b]$处连续，则$\Phi(x)$在$x_0$处可导，且

\[\Psi'(x_0)=f(x_0) \]

定理 14.
若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则变上限积分$\Phi(x)$在$[a,b]$上可导，且

\[d\Phi(x)=\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)dx \]

定义 3.
若函数$F(x)$， $f(x)$满足

\[F'(x)=f(x), x\in[a,b] \]

则称$F(x)$是$f(x)$的一个原函数。

显然，对任意常数$C$，$F(x)+C$均为$f(x)$的原函数。

定理 15.
连续函数一定有原函数

定理 16. (Newton-Leibniz公式)
 $f(x)$在$[a,b]$上连续，$F(x)$是$f(x)$在$[a,b]$上任一原函数，则

\[\int_a^b f(x)dx=\left.F(x)\right|_a^b=F(b)-F(a) \]

定理 17. (弱条件Newton-Leibniz公式)
函数$f(x)$在$[a,b]$上可积，函数$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可微，且

\[F'(x)=f(x), x\in(a,b) \]

则

\[\int_a^b f(x)dx=\left.F(x)\right|_a^b=F(b)-F(a) \]

例 18. (原函数存在，函数未必可积)

\[\begin{aligned} F(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1{x^2}, & x\neq 0 \\ 0, &x=0 \end{cases} \end{aligned} \]

则$F(x)$可导，但$F'(x)$在$[-1,1]$上不可积。

例 19. (函数可积，原函数未必存在)

\[\begin{aligned} f(x)=\begin{cases}1, & x>0 \\ 0, &x=0 \\ -1, & x<0 \end{cases} \end{aligned} \]

则$f(x)$在$[-1,2]$可积，但$f(x)$没有原函数。

积分上限为函数的变上限积分的导数

定理 18.
$f(x)$在$[a,b]$上连续，$u(x)$, $v(x)$在$(\alpha,\beta)$上可导，且$u(x), v(x)\in[a,b], x\in[\alpha,\beta]$，则有

\[\Phi(x)=\displaystyle\int_{v(x)}^{u(x)}f(t)dt \]

在$(\alpha,\beta)$内可导，且

\[\Phi'(x)=f(u(x))u'(x)-f(v(x))v'(x) \]

例 20. 求导数 $\Phi(x)=\displaystyle\int_0^x\dfrac{1-t+t^2}{1+t+t^2}dt$

例 21. 求导数 $g(x)=\displaystyle\int_{\sin x}^{\cos x}\cos(\pi t^2)dt$

例 22. 求导数 $\begin{cases}x=\displaystyle\int_1^t u\ln u dt \\ y=\displaystyle\int_t^1 u^2\ln udu \end{cases}, t>0$

例 23. 求导数 $\displaystyle(\int_0^x(\int_0^{u^2}\arctan(1+t)dt)du)''$

例 24. $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\int_0^{1-\cos x}\sin(t^2)dt}{e^{x^8-2x^6}-1}$

例 25. $f(x)$为$[0,+\infty)$上的正的连续函数，

\[G(x)=\dfrac{\int_0^x tf(t)dt}{\int_0^x f(t)dt} \]

证明：$G(x)$在$(0,+\infty)$中严格增

例 26. $f(x)$在$[0,+\infty)$上连续，且$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x^2}=1$，求

\[\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{-2x}\int_0^xe^{2t}f(t)dt}{f(x)} \]

例 27. $f(x)$在$[a,b]$上连续，则$\exists \xi\in(a,b)$，满足

\[\int_{\xi}^bf(x)dx=(\xi-a)f(\xi) \]

例 28. $f(x)$, $g(x)$在$[a,b]$上连续，递增。证明：

\[\int_a^bf(x)dx \int_a^bg(x)dx\leq(b-a)\int_a^bf(x)g(x)dx \]

积分的计算

首先，当然是Newton-Leibniz公式

例 29. $\displaystyle\int_{-2}^2|x^2+2|x|-3|dx$

定理 19.
若$f(x)$在$[a,b]$上可积，在$(a,b)$内有原函数$F(x)$，且$F(a+)$, $F(b-)$存在，则

\[\int_a^b f(x)dx=F(b-)-F(a+) \]

例 30. $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1-r^2}{1-2r\cos x+r^2}dx, r\in(0,1)$

例 31. $\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{\sec^2x}{2+\tan^2x}dx$

例 32. $\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^4+1}{x^6+1}dx$

换元

定理 20. (换元)
设$f(x)$在$[a,b]$上连续，$x=\phi(t)$满足

  1. $\phi(t)$在$[\alpha,\beta]$上有连续导数
  2. $\phi(\alpha)=a, \phi(\beta)=b$，且$a\leq\phi(t)\leq b, t\in[\alpha,\beta]$

则有

\[\int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)dt \]
  1. 不用换回$t$到$x$，而是直接在$t$上积分
  2. 积分限也发生变化
\[\begin{aligned} \int\dfrac{\ln x}{x}dx=&\int\ln xd(\ln x) (\ln x=t)\\ =&\int t dt=\dfrac{t^2}{2} =\dfrac{(\ln x)^2}{2} \end{aligned} \]
\[\begin{aligned} \int_1^2\dfrac{\ln x}{x}dx=&\int_1^2\ln xd(\ln x) (\ln x=t) \\ =&\int_0^{\ln 2}t dt=\left.\dfrac{t^2}{2}\right|_0^{\ln 2} =\dfrac{(\ln 2)^2}2 \end{aligned} \]

例 33. $\displaystyle\int_{-1}^1 x^2dx$

解. 令$t=x^2$，有$dt=2xdx$，则

\[\int_{-1}^1 x^2dx=\int_1^1 t\dfrac1{2\sqrt t}dt=0 \]

不符合定理条件： $t=x^2, x\in[-1,1]$的值域为$[0,1]$，超过了$[1,1]$

\[\begin{aligned} \int_{-1}^1 x^2dx=&\int_{-1}^0 x^2 dx+\int_0^1 x^2 dx \\ =&\int_1^0\frac{-\sqrt{t}}2dt+\int_0^1\frac{\sqrt t}2dt \\ %=&\int_0^1{\sqrt t}dt=\left. \frac{2}3 t^{\frac32} \right|_0^1=\frac23 \end{aligned} \]

例 34. $\displaystyle\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}dx, a>0$

解. 取$x=a\sin(t)$，则 $\begin{cases}x=0 & \Rightarrow t=-\frac{\pi}2 \\x=a & \Rightarrow t=\frac{\pi}2 \ \ (+{2\pi}?)\end{cases}$

\[\begin{aligned} &\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}a\cos(t) a \cos(t) dt \\ =&\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}a^2\cos^2tdt =\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}a^2\left(\dfrac{1+\cos2t}{2}\right)dt \\ =&\left.\dfrac{a^2}2\left(t+\dfrac12\sin(2t)\right)\right|_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} =\dfrac12\pi a^2 \end{aligned} \]

不能在变量代换后，将积分区间变为$[-\frac{\pi}2,\frac{\pi}2+2\pi]$

因为，在不同区间，被积函数表达式不对。事实上，

\[\begin{aligned} &\int_{-a}^a\sqrt{a^2-x^2}dx=\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2+2\pi}a|\cos(t)| a \cos(t) dt \\ =&\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}a^2\cos^2tdt +\int_{\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2+\pi}(-a^2\cos^2t)dt +\int_{\frac{\pi}2+\pi}^{\frac{\pi}2+2\pi}(a^2\cos^2t)dt \\ =&\left.\dfrac{a^2}2\left(t+\dfrac12\sin(2t)\right)\right|_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2} =\dfrac12\pi a^2 \end{aligned} \]

例 35. 比较积分的大小

$\displaystyle\int_0^\pi e^{-x^2}\cos^2xdx$，$\displaystyle\int_\pi^{2\pi} e^{-x^2}\cos^2xdx$

例 36. 判定积分的符号 $\displaystyle\int_0^{2\pi}\dfrac{\sin x}{x}dx$, $\displaystyle\int_{-2}^2x^3e^xdx$

例 37. $\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{x}{\sqrt{5-4x}}dx$

当$f(x)$在$[0,a]$上连续，则

\[\int_0^af(x)dx=\int_a^0f(a-t)d(a-t)=\int_0^af(a-t)dt \]

特别地，当$f(x)$连续，则有

\[\int_0^{\frac{\pi}2}f(\sin x)dx=\int_0^{\frac{\pi}2}f(\sin (\dfrac{\pi} 2-x))dx=\int_0^{\frac{\pi}2}f(\cos x)dx \]

定理 21. (分部积分)
 设$u(x),v(x)$在$[a,b]$上具有连续的一阶导数$u'(x), v'(x)$，则有

\[\int_a^b u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)|_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)dx \]

或

\[\int_a^b u(x)d(v(x))=u(x)v(x)|_a^b - \int_a^b v(x)d(u(x)) \]

例 38. $\displaystyle\int_0^{\sqrt 3}x\arctan(x)dx$

例 39. $\displaystyle\int_0^3\arcsin\sqrt{\dfrac{x}{1+x}}dx$

周期函数的积分

定理 22.
$f(x)$以$T$为周期的连续函数，则

\[\int_{\alpha}^{\alpha+T}f(x)dx=\int_0^Tf(x)dx \]

例 40. $f(x)$在$[0,1]$上连续，且$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}2}f(|\cos(x)|)dx=2$。求

\[\displaystyle\int_0^{2\pi}f(|\cos(x)|)dx \]

例 41. 若

\[f(x)=\displaystyle\int_x^{x+2\pi}(1+e^{\sin t}-e^{-\sin t})dt+\dfrac1{1+x}\int_0^1f(t)dt \]

试求$\displaystyle\int_0^1f(x)dx$

对称函数的积分

定理 23.
$f(x)$在$[-l,l]$上连续，则

  1. 若$f(x)$为奇函数，则$\displaystyle\int_{-l}^l f(x)dx=0$
  2. 若$f(x)$为偶函数，则$\displaystyle\int_{-l}^l f(x)dx=2\int_0^l f(x)dx$

例 42. $\displaystyle\int_{-1}^1 (x+\sqrt{1-x^2})^2dx$

例 43. $\displaystyle\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} \dfrac{(1-x)^2\cos^3x}{1+x^2}dx$

例 44. $\displaystyle\int_{-2}^{2} \ln(x+\sqrt{1+x^2})\ln(1+x^2)dx$

  1. $f(x)$在$[a,b]$上连续，若$f(a+b-x)=-f(x)$（称$f(x)$关于$\dfrac{a+b}2$奇对称），则$\displaystyle\int_a^b f(x)=0$
  2. $f(x)$在$[a,b]$上连续，若$f(a+b-x)=f(x)$（称$f(x)$关于$\dfrac{a+b}2$偶对称），则$\displaystyle\int_a^b f(x)=2\int_a^{\frac{a+b}2} f(x)dx=2\int_{\frac{a+b}2}^b f(x)dx$

对于积分$\int_a^b f(x)dx$，可以用替换$t=a+b-x$来试试$f(x)$是否具有对称性

例 45. $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}4}\ln(1+\tan x)dx$

例 46. $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}4}\dfrac{x}{\cos^2x+\sin x\cos x}dx$

定理 24.
$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续，且

  1. $f(a+b-x)=f(x)$，即$f(x)$关于$\dfrac{a+b}2$偶对称；
  2. $g(a+b-x)+g(x)=A$，$A$为常数

则有

\[\begin{aligned} \int_a^b f(x)g(x)dx=\dfrac{A}2\int_a^bf(x)dx \\ =A\int_a^{\frac{a+b}2}f(x)dx =A\int_{\frac{a+b}2}^b f(x)dx \end{aligned} \]

当$f(x)$在$[0,1]$上连续，则有

\[\int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\dfrac{\pi}2\int_0^{\pi}f(\sin x)dx \]

例 47. $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\dfrac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx$

对于积分$\displaystyle\int_{\frac1a}^a f(x)dx$，可以用替换$x=\frac1t$来测试$f(x)$的对称性

定理 25.
$a>1$，$f(x)$,$g(x)$在$[\frac1a,a]$上连续，且

\[f(x)=f(\dfrac1x), \ \ \, g(x)+g(\dfrac1x)=A \]

其中$A$为常数。则有

\[\begin{aligned} \int_{\frac1a}^a\dfrac{f(x)g(x)}xdx=\dfrac{A}2\int_{\frac1a}^a\dfrac{f(x)}x dx =A\int_1^a\dfrac{f(x)}xdx %=A\int_{\frac1a}^1\dfrac{f(x)}xdx \end{aligned} \]

递推公式

例 48. $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}2}\sin^m(x)dx$ (例：5.1.10)

例 49. $\displaystyle\int_0^1x^k\ln^mxdx , k>0, m\in\mathbb N$

例 50. $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}(\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!})^2\dfrac1{2n+1}$ (Wallis公式)

例 51. $f(x)$连续，$f(0)\neq 0$，求

\[\lim_{x\to0}\dfrac{\int_0^x(x-t)f(t)dt}{x\int_0^xf(x-t)dt} \]

例 52. $f(x)$连续，$f'(0)$存在，求

\[\lim_{h\to0}\dfrac1{h^2}\int_0^h(f(x+h)-f(x-h))dx \]

例 53. $f(x)$连续，且$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)}x=2$，$\phi(x)=\displaystyle\int_0^1f(xt)dt$，求$\phi'(x)$

  • 如何求$\displaystyle\int_a^b\left(f(x)\int_c^xg(y)dy\right)dx$型的积分？

若$F'(x)=f(x)$， 则分部积分

\[\begin{aligned} \int_a^b\left(f(x)\int_c^xg(y)dy\right)dx=\int_a^b(\int_c^xg(y)dy)d(F(x)) \\ =\left.F(x)\int_c^xg(y)dy\right|_a^b-\int_a^bF(x)g(x)dx \end{aligned} \]

例 54. 计算$\displaystyle\int_0^1(\int_x^1\arctan(t^2)dt)dx$

例 55. 证明 $\displaystyle\int_0^1x^2(\int_1^xe^{-y^2}dy)dx=\dfrac16(\dfrac2e-1)$

例 56. $f(x)$以$T$为周期的函数，且在$[0,T]$上可积。则

\[\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x\int_0^xf(t)dt=\dfrac1T\int_0^Tf(x)dx \]

例 57. 求$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x\int_0^x|\sin t|dt$

例 58. 设$f(x)$在$[0,2]$连续，且$\displaystyle\int_0^2f(x)dx=0$，则$\exists\xi\in(0,2)$，满足

\[f(2-\xi)+f(\xi)=0 \]

例 59. $f(x)$在$[0,1]$上连续，$\displaystyle\int_0^1f(x)dx=\displaystyle\int_0^1xf(x)dx$，则$\exists\xi\in(0,1)$，满足

\[\int_0^{\xi}f(x)dx=0 \]

例 60. $f(x)$在$[0,\pi]$上连续，且

\[\int_0^{\pi}f(x)dx=0, \ \ \, \displaystyle\int_0^{\pi}f(x)\cos xdx=0 \]

证明： $\exists\xi_1\neq\xi_2\in(0,\pi)$，满足

\[f(\xi_1)=f(\xi_2)=0 \]

例 61. $f(x)$在$[0,1]$上有二阶连续函数，$f'(0)=f'(1)=0$，证明： $\exists\xi\in(0,1)$，满足

\[\int_0^1f(x)dx=\dfrac12(f(0)+f(1))+\dfrac1{24}f''(\xi) \]

例 62. $f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f''(x)\geq0, x\in(a,b)$，则有

\[\int_a^bf(x)dx\leq\dfrac{f(a)+f(b)}2(b-a) \]

用积分定义函数

虽然有大量的例子表明，初等函数的积分仍然是初等函数。但不少的初等函数的积分不能用初等函数表示，如

\[\begin{aligned} \int e^{-x^2}dx , \int\frac1{\ln x}dx, & \int\frac{\sin x}xdx, \int \sin(x^2)dx \\ \int \frac1{\sqrt{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n}}dx, & \int\sqrt{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n}dx \end{aligned} \]

试图用初等函数来表示积分的结果是不可能的

  • 如果一个初等函数的积分可以用初等函数$f(x)$来表示，则表明函数$f(x)$也可以用积分来定义
  • 如果一个函数的积分不能用初等函数来表示，就可以用这个积分来表示一个新的函数

例 63. 定义函数$f(x)=\displaystyle\int_1^x\frac1u du$, $x>0$。

  1. 由$\frac1u$连续，因此$f(x)$可导。
  2. $f(1)=0$
  3. 对任意$x>0$, $y>0$，有
    \[\begin{aligned} \int_1^{xy}\frac1u du =&\int_1^x\frac1udu+\int_x^{xy}\frac1udu =\int_1^x\frac1udu+\int_1^{y}\frac1{xt}xdt \\ =&\int_1^x\frac1udu+\int_1^{y}\frac1{t}dt \\ \end{aligned} \]
    即有$f(xy)=f(x)+f(y)$, $\forall x, y>0$

由$f(xy)=f(x)+f(y)$，可以得到

  • $f(x^2)=2f(x)$
  • $f(x)+f(\frac1x)=0$，即$f(\frac1x)=-f(x)$
  • $f(x^n)=nf(x)$, $\forall n\in\mathbb{Z}^+$
  • $nf(\sqrt[n]{x})=f(x)$，进而$f(x^{\frac1n})=\frac1nf(x)$
  • $f(x^\alpha)=\alpha f(x)$, $\forall \alpha\in\mathbb{Q}^+$
  • 由$e=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n$，可以得到$f(e)=1$

可以把$f(x)$记作$\ln x$

定义 4.
椭圆积分是一种积分类型。这里列出两类不同形式的椭圆积分

\[u(s)=\int_0^s\frac1{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}dx \]

其中$k$是一个参数。

\[u(s)=4a\int_0^s\frac{\sqrt{1-e^2u^2}}{\sqrt{1-u^2}}du \]

其中$e$是椭圆的离心率。

Taylor余项的积分表示

设$f(x)$在区间中具有直到$n+1$阶的连续导函数。函数在$x=a$处的Taylor展开为

\[f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n \]

余项$R_n$可以表示为

\[R_n(a)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-\cdots-\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

将$a$看作变量，则$R_n(x)=0$，且$R'_n(a)$为

\[\begin{aligned} R'_n(a)=-f'(a)&-\left[f''(a)(x-a)-f'(a)\right] \\ &-\left[\frac{f'''(a)}{2!}(x-a)^2-{f''(a)}(x-a)\right] -\cdots\\ &-\left[\frac{f^{(n+1)}(a)}{n!}(x-a)^n-\frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}\right] \end{aligned} \]

整理后，有

\[R'_n(a)=-\frac{f^{(n+1)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

积分，并且注意到$R_n(x)=0$，可得

\[R_n(a)=\int_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt \]

定理 26. (积分余项的Taylor展开)
设$f(x)$在区间中具有直到$n+1$阶的连续导函数。函数在$x=a$处的带积分余项的Taylor展开为

\[\begin{aligned} f(x)=&f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots \\ &+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\int_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt \end{aligned} \]

由微分中值定理

\[\frac{R_n(a)-R_n(x)}{x-a}=\frac{R_n(a)}{x-a}=-R'_n(\xi)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-\xi)^n \]

整理后，可得Taylor展开的Cauchy余项表示

\[R_n(a)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!}(x-a)(x-\xi)^n \]

记$h=x-a$, $\xi=a+\theta h$, $\theta\in(0,1)$，则Cauchy余项可以表示为

\[R_n(a)=\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{n!}h^{n+1}(1-\theta)^n \]

谢谢

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目录

本节读完

例 64. 谢

例 65. $\displaystyle f(x)=\begin{cases}x, 0\leq x\leq 1 \\ 2-x, 1<x\leq 2\end{cases}$， 求

\[\displaystyle\int_{2n}^{2n+2}f(x-2n)e^{-x}dx \]

64.