2. 函数的可积性

单变量函数的积分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

函数的可积性

函数的可积性

定义 1. (达布和)
$f(x)$在$[a,b]$上有上确界$M$和下确界$m$，记$f(x)$在每个小区间$[x_{i-1},x_i]$, $i=1,2,\cdots,n$中的上确界和下确界为$M_i$和$m_i$，则称

  • $\omega_i=M_i-m_i$为函数$f(x)$在区间$[x_{i-1}, x_i]$上的掁幅。
  • $\omega=M-m$为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的掁幅。
  • $S(T)=\displaystyle\sum_{i=1}^nM_i\Delta x_i$ 为达布上和。
  • $s(T)=\displaystyle\sum_{i=1}^nm_i\Delta x_i$ 为达布下和。

达布和的性质

定理 1.
对于给定的分割$T$，Riemann和$S_n(T,\xi)$，有

\[m(b-a)\leq s(T)\leq S_n(T,\xi) \leq S(T)\leq M(b-a) \]
\[S(T)=\sup_{\xi_i}\{S_n(T,\xi_i)\} , s(T)=\inf_{\xi_i}\{S_n(T,\xi_i)\} \]

定理 2.
若在给定分割$T$中加入$l$个新的节点得到$T'$，则

\[\begin{aligned} &S(T)\geq S(T')\geq S(T)-l\omega\|T\| \\ &s(T)\leq s(T')\leq s(T)+l\omega\|T\| \\ &S(T)-s(T)\leq S(T')-s(T')+2l\omega\|T\| \end{aligned} \]

即达布上和不增，达布下和不减。

定理 3.
对任意两个分割$T_1$和$T_2$，有

\[s(T_1)\leq S(T_2) \]

进而易知（上和的下确界不小于下和的上确界），即

\[l=\sup_{T}(s(T))\leq\inf_{T}(S(T))=L \]

其中$l$称为函数的下积分，$L$称为函数的上积分。

定理 4.
对于区间$[a,b]$上的任意一个有界函数$f(x)$，有

\[\lim_{\|T\|\to 0}S(T)=L, \ \ \ \lim_{\|T\|\to 0}s(T)=l \]

定积分存在的条件

定理 5. (定积分存在的判别准则)
$f(x)$在$[a,b]$有界，则 $f(x)$可积，当且仅当，

\[\lim_{\|T\|\to0+}(S(T)-s(T)) =\lim_{\|T\|\to0+}\sum_{i=1}^n\omega_i\Delta x_i=0 \]

可积函数类有关定理和性质的证明

定理 6.
$f(x)$在$[a,b]$上连续，则$f(x)$可积

定理 7.
$f(x)$在$[a,b]$上有界，且只有有限个间断点，则$f(x)$可积

定理 8.
$f(x)$在$[a,b]$上单调有限，则$f(x)$可积

例 1. 改变函数$f(x)$在有限个点处的函数值，不改变可积性与积分值

例 2. (无穷个间断点的函数是否就不可积？) 证明

\[Riemann(x)=\begin{cases} \dfrac1n ,& x=\dfrac{m}{n} \\ 0 ,& x\notin\mathbb{Q} \end{cases} \]

为$[0,1]$上的可积函数

例 3. (绝对可积性) (习题) $f(x)$在$[a,b]$上可积，则$|f(x)|$在$[a,b]$上可积，且

\[|\int_a^b f(x)dx|\leq \int_a^b |f(x)|dx \]

例 4. (习题) 设$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，且$f(x)\geq c>0$。证明： $\frac1{f(x)}$在$[a,b]$上也可积

定理 9. (区间可加性)
设$a<c<b$，

  1. 若$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$f(x)$在$[a,c]$, $[c,b]$上也可积，且
    \[\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx \]
  2. 若$f(x)$在$[a,c]$和$[c,b]$可积，则$f(x)$在$[a,b]$上可积，且
    \[\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx \]

定理 10.
若$f(x)$在$[a,b]$可积，则$f(x)$在任一子区间$[a_1,b_1]$上可积（$a\leq a_1<b_1\leq b$）

定理 11. (例5.2.5)
两个可积函数的乘积函数仍然是可积的

谢谢

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例 5. 谢

5.