4. 反常积分

单变量函数的积分学

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

反常积分

例：

\[\int_1^b\dfrac1{x^2}dx=\left.\dfrac{-1}x\right|_1^b=1-\dfrac1b \]

则

\[\lim_{b\to+\infty}\int_1^b\dfrac1{x^2}dx=1 \]

可以看到，函数的积分，借助最基本的极限方法，可以推广到区间无穷的情形。

无穷区间上的积分

定义 1. (无穷积分)
 $f(x)$在$[a,+\infty)$上定义，且对任意$b>a$，$f(x)$在$[a,b]$上可积。若

\[\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx \]

存在有限，则称它为$f(x)$在$[a,+\infty)$上的无穷积分。记为

\[\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx \]

此时，称无穷积分收敛；否则称无穷积分发散。

类似地，$(-\infty,b]$上的无穷积分为

\[\int_{-\infty}^b f(x)dx=\lim_{a\to-\infty}\int_a^bf(x)dx \]

定义 2.
前面讨论过的在有界区间上对有界函数的Riemann积分，又称为常义积分。推广后的积分，称为反常积分。包含2类：

  1. 积分区间无限
  2. 被积函数无界

定义 3.
$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上定义，且任何有界区间上可积。若

\[\int_{-\infty}^c f(x)dx, \int_c^{+\infty}f(x)dx \]

对$\forall c\in \mathbb{R}$收敛，则称 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛。且

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx =\int_{-\infty}^c f(x)dx + \int_c^{+\infty}f(x)dx \]

此时，称$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上可积。若有至少一个发散， 则称$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$发散

定理 1. (牛顿-莱布尼茨公式)
$f(x)$在$[a,-\infty)$上可积，且有原函数$F(x)$，则

\[\int_a^{+\infty}f(x)dx=F(+\infty)-F(a) \]

其中，$F(+\infty)=\displaystyle\lim_{b\to+\infty}F(b)$

现在，判断一个无穷积分是否收敛，需要计算积分$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$， 然后研究这个值在$b\to+\infty$时的极限。

后续会介绍一些判别方法来判定无穷积分是否收敛。这些方法只是根据函数自身的性质， 而不必先求积分。

瑕积分

定义 4. (瑕积分)
 $f(x)$在$(a,b]$上定义，且在$a$的任意小邻域内无界，但$\forall \epsilon\in(0,b-a)$，$f(x)$在$[a+\epsilon,b]$上可积。若

\[\lim_{\epsilon\to0+}\int_{a+\epsilon}^bf(x)dx \]

存在有限，则称瑕积分$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$收敛，记为

\[\int_a^b f(x)dx=\lim_{\epsilon\to0+}\int_{a+\epsilon}^bf(x)dx \]

否则，称瑕积分发散。点$a$称为积分的瑕点

$b$为瑕点，则

\[\int_a^b f(x)dx=\lim_{\epsilon\to0+}\int_{a}^{b-\epsilon}f(x)dx \]

$a,b$均为瑕点，$f(x)$在$(a,b)$内可积（无瑕点），

\[\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx , \forall c\in(a,b) \]

$[a,b]$内有瑕点$c$，则

\[\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx \]

定理 2.
若$a$,$b$均为瑕积分的瑕点，$f(x)$在区间上有原函数$F(x)$，则

\[\int_a^bf(x)dx=F(b-)-F(a+) \]

其中

\[\begin{aligned} F(b-)=\lim_{\epsilon\to0+}F(b-\epsilon) \\ F(a+)=\lim_{\epsilon\to0+}F(a+\epsilon) \end{aligned} \]

反常积分的换元与分部积分

定理 3.
设函数$f(x)$在$[a,b)$上连续（$b$可以是$+\infty$），函数$\phi(t)$是$[\alpha,\beta)$上的严格单调函数，$\phi'(t)$连续且不为$0$。且$\phi(\alpha)=a$, $\displaystyle\lim_{t\to\beta}\phi(t)=b$，则$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$与$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(t))\phi'(t)dt$同时敛散，且

\[\int_a^b f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(\phi(t))\phi'(t)dt \]

结论对$(a,b]$上的（反常）积分也适用。

换元公式可以将反常积分转换为常义积分，或者另一种形式的反常积分。

例 1. 对积分$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$, $a>0$，做变量代换

\[x=\frac1t, dx=-\frac1{t^2}dt \]

则有

\[\int_a^{+\infty}f(x)dx=\int_0^{\frac1a}\frac1{t^2}f(\frac1t)dt \]

定理 4.
设$u(x)$, $v(x)$在$[a,b)$上连续可微（$b$可以是$+\infty$），则有

\[\int_a^b u dv = u(x) v(x) \Big|_a^b -\int_a^b v du \]

其中

\[u(x) v(x) \Big|_a^b=\lim_{x\to b}u(x)v(x)-u(a)v(a) \]

例 2. (第一类$p$积分) $\displaystyle\int_a^{+\infty}\dfrac1{x^p}dx$

例 3. $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{xe^x}{(1+e^x)^2}dx$

例 4. $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac1{(1+x^2)(1+x^{\alpha})}dx$，$\alpha$为常数

例 5. $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac1{(a^2+x^2)^{\frac32}}dx$

例 6. $\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac1{x\sqrt{1+x^{\alpha}+x^{2\alpha}}}dx$，$\alpha>0$

例 7. (例4.7.6) (第二类$p$积分) $\displaystyle\int_a^b\dfrac1{(x-a)^p}dx$

例 8. $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\ln x}{1+x^2}dx$

谢谢

在曲线上取两点$M$和$M'$，其横坐标分别为$x$与$x+dx$， 则两点的距离为

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本节读完

例 9. 谢

9.