1. 一阶微分方程

常微分方程初步

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

一阶微分方程

例 1. 贷款：贷款50万，年利率5%。计划每月还定额的钱，10年还清。则每个月还多少？

解. 设每个月欠钱$W(t)$，为时间的函数，每个月还款为$k$，则

\[\dfrac{dW(t)}{dt}=r\cdot W-k \]

$r=\dfrac{0.05}{12}$为每 个月的利息。$k$为每个月还的钱。初时$W(0)=500000$，10年后$W(120)=0$为10年后的欠款。

$\dfrac{dW}{dt}$表示了每个月欠款的变化率

定义 1. (微分方程)
含有未知函数的导数或微分的等式

\[F(x,y(x),y'(x),\cdots,y^{(n)}(x))=0 \]

称为微分方程。这里只含有单个自变量，也称为常微分方程。 方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数$n$，称为方程的阶。

定义 2. (线性微分方程)
 若$F(x,y,z_1,\cdots,z_n)$是关于$y,z_1,z_2,\cdots,z_n$的线性函数，且系数仅为$x$的函数，则称微分方程

\[F(x,y(x),y'(x),\cdots,y^{(n)}(x))=0 \]

为线性微分方程。

一个($n$阶)线性微分方程可以表示为

\[\begin{aligned} y^{(n)}(x)&+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots \\ &+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)=f(x) \end{aligned} \]

其中$a_i(x)$为已知函数。 若$f(x)\equiv 0$，则称为齐次线性微分方程。否则，称为非齐次线性微分方程

定义 3.
若$y=\phi(x)$在$I$上有直到$n$阶的连续导数，并且满足

\[F(x,\phi(x),\phi'(x),\cdots,\phi^{(n)}(x))=0 \]

称$y=\phi(x)$为方程的一个解。$I$为$\phi(x)$的定义区间。

例 2. 微分方程的解通常不唯一，

  • $x(t)=\dfrac12gt^2+C_1t+C_2$是$x''(t)=g$的解，其中$C_1$, $C_2$为任意常数。
  • $W(t)=\dfrac{k}{r}+Ce^{rt}$是$\dfrac{dW(t)}{dt}=rW(t)-k$的解，其中$C$为任意常数。

定义 4.
通常称微分方程为泛定方程，含常数的解称为通解，常数称为积分常数。 取常数$C$为某个值，满足定解条件，称为特解。

例 3. 对于自由落体运动问题

\[\begin{aligned} \begin{cases} x(t)=\dfrac12gt^2+C_1t+C_2 \\ x(0)=0 \Rightarrow C_2=0 \\ x'(0)=0 \Rightarrow C_1=0 \end{cases} \end{aligned} \]

可以得到 $x(t)=\dfrac12gt^2$为特解

分离变量法

对微分方程

\[y'(x)=f(x,y)=g(x)h(y) \]
  • 若$h(y)\neq0$，则$\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)$，因此
    \[\begin{aligned} \dfrac{dy}{h(y)}=g(x)dx \end{aligned} \]
    两边积分，可以得到如下的隐式表达的解
    \[\int\dfrac1{h(y)}dy=\int g(x)dx+C \]
  • 若有某个点满足$h(A)=0$，则$y(x)\equiv A$也是解。

分离变量的时候，有可能遗漏常数解

例 4. $\dfrac{dT}{dt}=-k(T-20)$

例 5. $y-xy'=2(y+x^2y)$

例 6. $\tan x \sin^2ydx+\cos^2x\cot ydy=0$

齐次方程

有些方程做适当的变量代换后，可以用分离变量法求解

定义 5.
若$f(tx,ty)=t^n f(x,y), \forall t\neq 0$，则称$f(x,y)$是n次齐次函数。

若$f(x,y)$为0次齐次函数，则对于微分方程

\[y'=f(x,y) \]

可以做变量代换$y(x)=xu(x)$，代入后，得到

\[x u'(x)+u(x)=f(x,xu(x))=f(1,u(x))=\phi(u) \]

可以分离变量

\[\frac{du}{\phi(u)-u}=\frac{dx}x \]

若$\phi(u)-u=0$有根$A$，则$y=A x$也是方程的解。

例 7. $y'=\dfrac{x+y}{x-y}$

例 8. $(y+\sqrt{x^2+y^2})dx-xdy=0$

例 9. $y'=\dfrac1{xy}\dfrac{1}{\sin^2(xy^2)}-\dfrac{y}{2x}$

例 10. $ f(xy)ydx+g(xy)xdy=0 $

对方程

\[\dfrac{dy}{dx}=f\left(\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right) \]

1. 若$c_1=c_2=0$，则

\[f\left(\dfrac{a_1x+b_1y}{a_2x+b_2y}\right) \]

为零次齐次函数，令$u=\dfrac{y}{x}$

2. 若$c_1$, $c_2$中至少有一个不为$0$，且能够找到$x_0$, $y_0$使得

\[\begin{cases} a_1 x_0 + b_1 y_0+c_1 = 0 \\ a_2 x_0 + b_2 y_0+c_2 = 0 \end{cases} \]

则令 $\begin{cases}u=x-x_0 \\v=y-y_0\end{cases}$， 代入后，有

\[\begin{cases} a_1x+b_1y=a_1 u +b_1 v \\ a_2x+b_2y=a_2 u +b_2 v \end{cases} \]

然后，令$w=\dfrac{v}{u}$即可。

3. 否则，$a_1b_2=a_2b_1$。取$\lambda=\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}$，

\[f\left(\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}\right) =f\left(\dfrac{\lambda(a_2 x+b_2 y)+c_1}{(a_2 x+b_2 y)+c_2}\right) \]

令$z=a_2x+b_2y$，则$dz=a_2dx+b_2dy$，代入微分方程可得

\[\dfrac{dz}{dx}=a_2+b_2f\left(\dfrac{\lambda z+c_1}{z+c_2}\right) \]

可以直接分离变量

例 11. 求$y=f(x)$满足 $y'=\dfrac{2y-x-5}{2x-y+4}$

例 12. 求$y=f(x)$满足 $y'=\dfrac{1-3x-3y}{1+x+y}$

一阶线性方程

一阶线性方程的标准形式：

\[y'(x)+p(x)y(x)=f(x) \]

当$f(x)\equiv0$时，方程称为(一阶)线性齐次方程；

否则，称为(一阶)线性非齐次方程。

对于一阶线性齐次方程

\[y'(x)+p(x)y(x)=0 \]

可以直接分离变量。

当$y\neq0$ 时，有

\[\begin{aligned} \dfrac{dy}{y}=&-p(x)dx \\ \ln|y|=&-\int p(x)dx+C_1 \\ \end{aligned} \]

得到解为

\[y=Ce^{-\int p(x)dx} , C=\pm e^{c_1} \]

另外，$y=0$也是方程的解。

这样，一阶线性齐次微分方程

\[y'(x)+p(x)y(x)=0 \]

的通解为

\[y=Ce^{-\int p(x)dx} , C\in\mathbb{R} \]

对线性非齐次方程，

\[y'(x)+p(x)y(x)=f(x) \]

在方程两边同乘以$e^{\int p(x)dx}$，则有

\[\begin{aligned} \left(y(x)e^{\int p(x)dx}\right)' =&(y'(x)+p(x)y(x))e^{\int p(x)dx} \\ =&f(x)e^{\int p(x)dx} \end{aligned} \]

两端积分，有

\[y(x)e^{\int p(x)dx}=\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx+C \]

即有通解

\[y(x)=e^{-\int p(x)dx}(\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx+C) \]

也可以用常数变异法解线性非齐次方程。

把线性齐次方程解中的常数$C$，变为一个函数因子$C(x)$。设解为

\[y_p(x)=C(x)e^{-\int p(x)dx} \]

代入非齐次线性方程中，可得

\[e^{-\int p(x)dx}\dfrac{dC(x)}{dx}=f(x) \]

可解得$C(x)$的通解为

\[C(x)=\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx+C \]

线性非齐次方程的解为

\[\begin{aligned} y(x)=&e^{-\int p(x)dx}(\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx+C) \\ =&Ce^{-\int p(x)dx}+e^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx \end{aligned} \]

其中

\[y_h(x)=Ce^{-\int p(x)dx} \]

是对应的齐次线性方程的通解，而

\[y_p(x)=e^{-\int p(x)dx}\int f(x)e^{\int p(x)dx}dx \]

则是非齐次线性方程的特解。

例 13. $y'+y\cot x=x^2\csc x, x>0$

例 14. $(y^2-6x)y'+2y=0$

例 15. $(x-2xy-y^2)dy+y^2dx=0$

例 16. $f(x)$为$\mathbb{R}$上的以$T$为周期的连续函数，证明方程

\[y'+y=f(x) \]

有唯一的以$T$为周期的解

Bernoulli方程是一阶非线性的微分方程

\[y'(x)+p(x)y(x)=Q(x)y^n(x) , n\neq 0,1 \]

显然，$y\equiv0$是一个解。

当$y\neq0$时，两边乘$y^{-n}$，有

\[y^{-n}y'+p(x)y^{1-n}=Q(x) \]

令$u=y^{1-n}$，则$\dfrac{du}{dx}=(1-n)y^{-n}\dfrac{dy}{dx}$，即有

\[\begin{aligned} \frac1{1-n}\dfrac{du}{dx}+p(x)u = Q(x) \end{aligned} \]

这样，Bernoulli方程就化为如下的一阶线性微分方程

\[\dfrac{du}{dx}+(1-n)p(x)u=(1-n)Q(x) \]

例 17. $ 3xy'-y-3xy^4\ln x=0$

例 18. $xy'\ln x\sin y+(1-x\cos y)\cos y=0$

观察法

例 19. $(3x^2+2xy-y^2)dx+(x^2-2xy)dy=0$

求$f(x)$?

例 20. $f(x)$满足

\[f(x)\cos x+2\int_0^xf(t)\sin tdt=x+1 \]

例 21. $f(x)$在$[0,\infty)$上可导，$g(x)$为其反函数；$f(0)=0$，且

\[\int_0^xtf(t)dt+\int_0^{f(x)}g(t)dt=x^2e^x \]

例 22. $f(x)$有连续导数，且

\[\int_0^1f(xt)dt=\dfrac12f(x)+1 \]

例 23. $f(x)$有连续导数，且

\[f(x)=-1+x+2\int_0^xtf(x-t)f'(x-t)dt \]

例 24. $f(x)$满足

\[f(x+y)=\dfrac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}, \]

且$f'(0)$存在, 求$f(x)$?

例 25. $f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内有连续导数，$f'(0)=1$，且

\[f(x+y)=\dfrac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}, \]

求$f(x)$?

可降阶微分方程

二阶微分方程的一般形式：

\[F(x,y(x),y'(x),y''(x))=0 \]
  • 一般来说，二阶微分方程比一阶微分方程要复杂得多，求解起来也困难得多。
  • 对于几类特殊类型的二阶微分方程，可以通过代换化为一阶方程求解。

不显含未知函数$y(x)$的二阶微分方程

对于如下形式的微分方程

\[F(x,y'(x),y''(x))=0 , \mbox{ or } y''(x)=f(x,y'(x)) \]

可以做变量代换$p(x)=y'(x)$，则微分方程变为

\[F(x,p(x),p'(x))=0 , \mbox{ or } p'(x)=f(x,p(x)) \]

是一阶微分方程。设有通解

\[\phi(x,p(x),C_1)=0 \]

其中$C_1$是任意常数。再由$y'(x)=p(x)$，可得另一个一阶的方程

\[\phi(x, y'(x),C_1)=0 \]

例 26. $\begin{aligned}\begin{cases}mx''(t)=mg-kx'(t) \\x(0)=0 , x'(0)=0\end{cases}\end{aligned}$

例 27. $\begin{aligned}\begin{cases}y''+2x(y')^2=0 \\y(0)=1, y'(0)=\dfrac{-1}2\end{cases}\end{aligned}$

例 28. $\begin{aligned}\begin{cases}y''(x+y'^2)=y' \\y(1)=1, y'(1)=1\end{cases}\end{aligned}$

例 29. $(\sin x)y''-(\cos x)y'=\sin^2x+1$

不含自变量$x$的二阶方程

对于如下形式的微分方程

\[F(y,y',y'')=0 , \mbox{ or } y''=f(y,y') \]

可以做变量代换$p(x)=y'(x)$，将$p$看做$y$的函数，则有

\[\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{dp}{dx} =\dfrac{dp}{dy}\dfrac{dy}{dx}=p\dfrac{dp}{dy} \]

则微分方程变为一阶方程

\[F(y,p,p\dfrac{dp}{dy})=0 , \mbox{ or } p\dfrac{dp}{dy}=f(y,p) \]

若能得到通解$p=\phi(y,C_1)$，$C_1$为任意常数。再由

\[\dfrac{dy}{dx}=p=\phi(y,C_1) \]

可得隐式解

\[\int\dfrac{1}{\phi(y,C_1)}dy=x+C_2 \]

例 30. 求$y(x)$，

\[\begin{cases} 2yy''=1+(y')^2 \\ y(0)=1, y'(0)=0 \end{cases} \]

例 31. $y y''-(y')^2=0$

例 32. $f(x)$在$[0,+\infty)$上可导，$f(0)=1$，且满足

\[f'(x)+f(x)-\dfrac1{x+1}\int_0^xf(t)dt=0 \]

求$f'(x)$，并证明$e^{-x}\leq f(x) \leq 1, \forall x\geq 0$

谢谢

在曲线上取两点$M$和$M'$，其横坐标分别为$x$与$x+dx$， 则两点的距离为

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本节读完

例 33. 谢

33.

谢谢