2. 二阶线性微分方程

常微分方程初步

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

二阶线性微分方程

二阶线性微分方程的标准形式：

\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \]

其中$p(x),q(x),f(x)$在某区间上连续。对应的齐次方程为

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \]
  • 一般来说，方程的解不是唯一的，通常会包含两个独立的任意常数。

定理 1. (二阶线性定解问题的解的存在唯一性)
$p(x), q(x), f(x)$在$(a,b)$上连续，$x_0\in(a,b)$为一定点，$y_0, y_1$为给定的实数。则 初值问题

\[\begin{cases} y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x) \\ y(x_0)=y_0 \\ y'(x_0)=y_1 \end{cases} \]

在$x_0$的邻域内存在唯一的解$y(x)$。

特别，当$f(x)\equiv0$，$x_0=x_1=0$时，解为$y=0$。

证明超出范围。

二阶线性微分方程解的结构

定理 2.
若$y_1(x)$, $y_2(x)$是齐次方程

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \]

的解，$c_1$, $c_2$是任意常数，则$y_1(x)$与$y_2(x)$的线性组合

\[y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x) \]

也是齐次方程的解。

定理 3.
若$y_1(x)$, $y_2(x)$是非齐次方程的两个解，则$y_1(x)-y_2(x)$是齐次方程的解。

若$y_0(x)$是非齐次方程的两个解，则$y(x)$是齐次方程的解，则$\tilde y(x)=y_0(x)+y(x)$仍然是非齐次方程的解。

从这两个定理可以知道，求出非齐次方程的一个解（称为特解）和齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。

如何给出二阶齐次方程的通解？需要引入一些概念

定义 1. (线性相关与线性无关)
设函数$\phi_1(x)$, $\phi_2(x)$在区间$I$上有定义。 如果存在一组不全为0的常数$c_1$, $c_2$，使得线性组合

\[c_1\phi_1(x)+c_2\phi_2(x)\equiv0,\forall x\in I \]

则称函数$\phi_1(x)$, $\phi_2(x)$在区间$I$上线性相关；否则，称它们在区间$I$上线性无关。

定理 4. (线性相关的必要条件)
函数$y_1(x)$, $y_2(x)$在区间$I$上可导，且线性相关，则有

\[y_1(x)y'_2(x)-y_2(x)y'_1(x)\equiv0, \forall x\in(a,b) \]

定义 2. (朗斯基 (Wronski)行列式)
函数$y_1(x)$, $y_2(x)$在区间$I$上可导，

\[W[y_1,y_2](x)=\left|\begin{aligned} y_1(x) & & y_2(x) \\ y_1'(x) & & y'_2(x) \end{aligned}\right| =y_1(x)y'_2(x)-y_2(x)y'_1(x) \]

称为$y_1(x)$与$y_2(x)$的朗斯基 (Wronski)行列式

朗斯基 (Wronski)行列式为$0$是线性相关的必要条件，而不是充分条件。

例 1. $ y_1(x)=\begin{cases} x^2, & x>0 \\ 0, & x\leq 0\end{cases} $与$y_2(x)=\begin{cases} 0, & >0 \\ x^2, &x\leq 0\end{cases}$

解. $x>0$时，

$\left|\begin{aligned} y_1(x) & & y_2(x) \\y_1'(x) & & y'_2(x) \end{aligned}\right|$ $=\left|\begin{aligned} x^2 & & 0 \\2x & & 0 \end{aligned}\right|=0$

$x<0$时，

$\left|\begin{aligned} y_1(x) & & y_2(x) \\y_1'(x) & & y'_2(x) \end{aligned}\right|$ $=\left|\begin{aligned}0 & & x^2 \\0 && 2x \end{aligned}\right|=0$

定理 5. (Liouville公式)
函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是二阶齐次线性微分方程

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \]

在区间$I$上的两个解，则其朗斯基行列式为

\[W(x)=W(x_0)e^{-\int_{x_0}^xp(t)dt} \]

其中$x_0$是$(a,b)$上的任意固定点。

Liouville公式表明，$y_1(x),y_2(x)$的朗斯基行列式要么恒为$0$，要么不等于$0$。

定理 6. (刘维尔定理)
函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是二阶齐次线性微分方程

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \]

在区间$I$上的两个解， 则$y_1(x)$与$y_2(x)$在区间$(a,b)$上线性无关的充要条件是朗斯基行列式处处不为$0$。

结合刘维尔定理和刘维尔公式，判断二阶齐次线性微分方程的两个特解线性无关，只需要判断其朗斯基行列式在一点处是否为$0$即可

定理 7. (基本解组的存在性)
二阶齐次线性微分方程存在2个线性无关的解$y_1(x)$与$y_2(x)$。且通解可以表示为

\[y=c_1y_1(x)+c_2y_2(x) , \forall c_1,c_2\in\mathbb{R} \]

定义 3.
称二阶齐次线性微分方程的2个线性无关的特解$y_1(x)$和$y_2(x)$为该方程的基本解组

  • 一般来说，没有求解方程通解的通用方法，特别是变系数的方程
  • 如果知道方程的一个解，则可以得到另一个解

定理 8.
设函数$y_1(x)$是二阶齐次线性微分方程

\[ y''+p(x)y'+q(x)y=0 \]

的一个非零解，则函数

\[y_2(x)=y_1(x)\int\dfrac1{y_1^2(x)}e^{-\int p(x)dx}dx \]

是另一个解，且与$y_1(x)$线性无关

例 2. $\sin x$，$\cos x$是齐次线性方程$y''+y=0$的基本解组

例 3. $y=\dfrac{\sin x}x$是方程

\[y''+\dfrac2xy'+y=0 \]

的一个特解，求方程的通解

例 4. 求方程的通解

\[xy''-y'=0 \]

非齐次方程的常数变易法

二阶非齐次线性微分方程

\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) \]

的解为

\[y=y_h+y_p \]

其中$y_h$是对应齐次方程的通解，$y_p$是方程的一个特解。

如何得到$y_p$？

定理 9. (常数变易法)
函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是二阶齐次线性微分方程

\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \]

的两个线性无关解，则非齐次方程有特解

\[y_p(x)=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x) \]

其中

\[c_1(x)=-\int\dfrac{y_2(x)f(x)}{W(x)}dx, c_2(x)=\int\dfrac{y_1(x)f(x)}{W(x)}dx \]

这里，$W(x)$是$y_1(x)$与$y_2(x)$的朗斯基行列式

例 5. 求方程

\[(1+x^2)y''+2xy'-6x^2-2=0 \]

的泛定解。并给出满足定解条件

\[y(-1)=0, y'(-1)=0 \]

的解。

二阶常系数齐次线性微分方程

  • 对于一般的变系数的二阶线性微分方程，求解它的通解与特解，仍然非常困难。
  • 对于常系数的二阶线性微分方程，则要容易得多。

下面，我们讨论如下的二阶常系数齐次线性微分方程

\[y''+py'+qy=0 \]

的通解$y_h$，和二阶常系数非齐次线性微分方程

\[y''+py'+qy=f(x) \]

的一个特解$y_p$，其中$p,q$为常数

对方程

\[y''+py'+qy=0 \]

令$y=e^{\lambda x}$，代入可得

\[(\lambda^2+p\lambda+q)e^{\lambda x}=0 \]

由$e^{\lambda x}\neq0$，所以有

\[\lambda^2+p\lambda+q=0 \]

称这个代数方程为微分方程的特征方程，特征方程的根称为微分方程的特征根。

(1)、 若特征方程有2个互异的实特征根$\lambda_1, \lambda_2$。

由

\[\begin{aligned} W(x)=&\left|\begin{aligned}e^{\lambda_1x} && e^{\lambda_2x} \\ \lambda_1e^{\lambda_1x} && \lambda_2e^{\lambda_2x}\end{aligned}\right| \\ =&(\lambda_2-\lambda_1)e^{(\lambda_1+\lambda_2)x} \neq0 , \forall x \end{aligned} \]

可以看到函数$e^{\lambda_1x}$, $e^{\lambda_2x}$线性无关，且它们都是方程的解。 因此，方程的通解为

\[y_h(x)=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x} \]

(2)、 若特征方程有1个实特征重根$\lambda=\dfrac{-p}2$。

显然，

\[y_1(x)=e^{\frac{-p}2x} \]

为方程的一个解。可以计算出另一解为

\[\begin{aligned} y_2=&y_1(x)\int\dfrac1{y^2_1(x)}e^{-\int p(x)dx}dx \\ =&e^{\frac{-p}2x}\int e^{px}e^{-\int p(x)dx}dx =x e^{\frac{-p}2x} \end{aligned} \]

所以有通解

\[y_h(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)=(c_1+c_2x)e^{\frac{-p}2x} \]

(3)、 若特征方程有2个共轭的复数特征根。

设$\lambda_1=\alpha+i\beta,\lambda_1=\alpha-i\beta$，则

\[\begin{aligned} \tilde y_1(x)=e^{\lambda_1x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x) \\ \tilde y_2(x)=e^{\lambda_2x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x-i\sin\beta x) \\ \end{aligned} \]

满足方程。因此

\[\begin{aligned} y_1(x)=\dfrac12(\tilde y_1+\tilde y_2)=e^{\alpha x}\cos\beta x \\ y_2(x)=\dfrac1{2i}(\tilde y_1-\tilde y_2)=e^{\alpha x}\sin\beta x \end{aligned} \]

也为方程的解，而且它们线性无关。这样，通解为

\[\begin{aligned} y_h(x)&=c_1y_1(x)+c_2y_2(x) \\ &=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x) \end{aligned} \]

通解与特征根的关系

$\lambda^2+p\lambda+q=0$ $y''+py'+q=0$
特征方程的根 微分方程的通解
两个互异的实根$\lambda_1,\lambda_2$ $y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2 x}$
实的重根$\lambda=-\dfrac{p}2$ $y=(c_1+c_2 x)e^{-\frac{p}2x}$
共轭复根$\lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta$ $y=e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x)$

例 6. $y''+y=0$

例 7. $y''-2y'-3y=0$

例 8. $y''+2y'+y=0$

二阶常系数非齐次线性微分方程

\[y''+py'+qy=f(x) \]
  • 可以由常数变异法解出它的一个特解
  • $f(x)$比较特殊时，也可以用待定系数法
    1. $f(x)=P_n(x)$为多项式
    2. $f(x)=P_n(x)e^{ax}$
    3. $f(x)=P_n(x)e^{ax}\cos(\beta x)$或$f(x)=P_n(x)e^{ax}\sin(\beta x)$

一、 $f(x)=P_n(x)$为$n$次多项式。

A. 若$\lambda=0$不是特征根（此时，$q\neq0$），令

\[y_p=Q_n(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \]

B. 若$\lambda=0$为单根（此时，$q=0, p\neq0$），令

\[y_p=xQ_n(x)=x(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n) \]

C. 若$\lambda=0$为重根（此时，$p=q=0$），令

\[y_p=x^2Q_n(x)=x^2(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n) \]

二、 $f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$，$\alpha$为非$0$实数

A. 若$\lambda=\alpha$不是特征根（此时，$q\neq0$），令

\[y_p=Q_n(x)e^{\alpha x}=(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)e^{\alpha x} \]

B. 若$\lambda=\alpha$为单根（此时，$q=0, p\neq0$），令

\[y_p=xQ_n(x)e^{\alpha x}=x(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)e^{\alpha x} \]

C. 若$\lambda=\alpha$为重根（此时，$p=q=0$），令

\[y_p=x^2Q_n(x)e^{\alpha x}=x^2(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n)e^{\alpha x} \]

三、 $f(x)=P_n(x)e^{ax}\cos(\beta x)$ 或 $f(x)=P_n(x)e^{ax}\sin(\beta x)$

统一为形态 $f(x)=P_n(x)e^{ax+i\beta x}$。取实部或虚部。

利用(二)，可得

A. 若$\lambda=a+i\beta$不是特征根，令

\[y_p=Q_n(x)e^{a x+i\beta x} \]

B. 若$\lambda=a+i\beta$为根，令

\[y_p=xQ_n(x)e^{a x+i\beta x} \]

例 9. $y''-3y'+2y=4x+e^{2x}+10e^{-x}\cos x$

例 10. $f(x)$二阶可导，以$2\pi$为周期，且满足

\[f(x)+2f'(x+\pi)=\sin x \]

求$f(x)$

例 11. $y''+\alpha y'+\beta y=\gamma e^x $的一个特解为

\[y=e^{2x}+(1+x)e^x \]

求$\alpha,\beta,\gamma$，并求通解

谢谢

在曲线上取两点$M$和$M'$，其横坐标分别为$x$与$x+dx$， 则两点的距离为

目录

本节读完

例 12. 谢

12.