1. 数项级数

无穷级数

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

数项级数

所谓无穷级数，就是无穷多个数或函数依次相加的一个形式上的求和。

基本概念与性质

定义 1.
设有数列$a_1, a_2, \cdots, a_n,\cdots$，把它们依次相加，得到形式上的和式：

\[\sum_{n=1}^{\infty}=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots \]

称为数项级数，其中$a_n$称为级数的通项。数列前$n$项和

\[S_n=\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n \]

称为级数的前n项部分和或简称部分和。

例 1. 对$|q|\neq 1$，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}q^n=1+q+\cdots+q^n+\cdots$

部分和

\[S_n=1+q+\cdots+q^n=\frac{1-q^n}{1-q} \]

可以看到

\[\lim_{n\to\infty}S_n=\begin{cases} 0, & |q|< 1 \\ \infty , & |q|>1 \end{cases} \]

定义 2.
对于级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果其前n项部分和$S_n$构成的数列收敛与$S$，即$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=S$， 则称该级数收敛，$S$称为该级数的和，并记为

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n=S \]

如果$S_n$没有极限，则称级数发散。

  • 无穷级数$a_n$的敛散性，就是部分和数列$S_n$的敛散性。
  • 如果有数列$s_n$，则可以取$a_n=s_n-s_{n-1}, n>1$, $a_1=s_1$。这样以$a_n$为通项得到的无穷级数的部分和就是$s_n$。

例 2. 求$\displaystyle0.\dot1=0.1+0.01+0.001+\cdots$

解. 级数的通项为$a_n=0.1^n$，则

\[0.\dot1=\sum_{n=1}^{\infty}1\times 0.1^{i}=\lim_{n\to\infty}\frac{0.1-0.1^n}{1-0.1}=\frac{0.1}{0.9}=\frac19 \]

可以看到，一个十进制的数$\alpha$可以表示为一个无穷级数

\[\alpha=a_0+\frac{a_1}{10}+\cdots+\frac{a_n}{10^n}+\cdots \]

其中$a_0$为整数部分，$a_n(n>0)$是介于0和9的整数。

  • 如果$a_n$只有有限个不为0,或者满足某种循环特性，就是有理数。
  • 而无限不循环小数就是无理数。

由部分和数列$S_n$收敛的Cauchy收敛准则，自然可以得到

定理 1. (Cauchy收敛准则)
级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛的充分必要条件是： $\forall \epsilon>0$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，不等式

\[|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\epsilon , \forall n>N \]

对任意正整数$p$成立。

例 3. 判定级数的敛散性

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{2^n}$ （2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^2}$

（3） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)-\cos(n+1)x}n$

（4） $\displaystyle 1+\frac12-\frac13+\frac14+\frac15-\frac16$

定理 2.
级数收敛，则有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$

  • 若$\{a_n\}$极限不为$0$，则级数不收敛。

    如： $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$, $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n\sin\frac1n$均不收敛

  • 若$\{a_n\}$极限为$0$，并不表明级数就收敛。

    如： $a_n=\ln(1+\frac1n)$

定理 3. (线性)
两个级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$均收敛，则对任意两个常数$\alpha$, $\beta$， $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)$也收敛，且有

\[\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha \sum_{n=1}^{\infty}a_n+\beta \sum_{n=1}^{\infty}b_n \]

定理 4.
修改数项级数的有限项的值，或者增加、删除有限项，不会改变级数的敛散性

正项级数的收敛性及其判别法

定义 3.
如果级数通项$a_n\geq 0, n=1,2,\cdots$，则称级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$为正项级数

显然，正项级数的部分和数列是单调增的。

定理 5. (正项级数的有界判别法)
正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛的充要条件是，其部分和数列$\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$有上界

  1. 若正项级数收敛，则收敛到$S_n$的上确界。
  2. 若正项级数发散，则发散到正无穷。

例 4. (例7.1.1) 证明 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$ 收敛。

定理 6.
对于收敛的正项级数，任意调换求和顺序后得到的新的级数也收敛，并且和不变

交换级数的有限项的次序，不会改变级数的敛散性。但交换无穷项的次序，是可能改变一个一般级数的敛散性的。

定理 7. (正项级数的比较判别法)
设有两个正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$，如果从某项开始有$a_n\leq b_n$，则

（1） 若级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛

（2） 若级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$也发散

例 5. (例7.1.2) 证明调和级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n$发散

例 6. (例7.1.3) 考察$p$级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$的敛散性

例 7. 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a^2_n$，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b^2_n$均收敛，则

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_n b_n|$ ， $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)^2$ ， $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|a_n|}n$ 也收敛

例 8. 考察级数的敛散性

（1） $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1\cdot3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}+\cdots$

（2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{a+(n-1)d}$

定理 8. (正项级数的比较判别法的极限形式)
设有两个正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$，如果$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=A$，则

（1） 当$0<A<+\infty$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$与级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$同敛散

（2） 当$A=+\infty$且级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也发散

（3） 当$A=0$且级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛

例 9. 若$a_n$满足$\displaystyle\lim_{n\to\infty} na_n=a>0$，判定$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的敛散性。

例 10. 考察级数的敛散性

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln n}$ （2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n^2}$ （3） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{\ln^2(\sin\frac1n)}$

（4） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n+2}{\sqrt{n^5+1}}$ （5） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2n-1}$

定理 9. (Cauchy根值判别法)
设有正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$,

(1) 若从某项起有$\sqrt[n]{a_n}\leq q<1$，则级数收敛。

(2) 若有无穷多个$n$满足$\sqrt[n]{a_n}\geq 1$，则级数发散。

(3) 若有$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{a_n}=q$，则

  • 当$q<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛；
  • 当$q>1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散。

定理 10. (d'Alembert比值判别法)
设有正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$,

(1) 若从某项起有$\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq q<1$，则级数收敛。

(2) 若从某项起有$\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1$，则级数发散。

(3) 若$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$，则

  • 当$q<1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛
  • 当$q>1$时，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散

$q=1$时，两种判别法的敛散性都是不一定的。

如 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$和$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n}$

例 11. 考察级数的敛散性

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$ （2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^nn!}{n^n}$

（3） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{(2+\frac1n)^n}$ （4） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n+\frac1n}}{(n+\frac1n)^n}$

定理 11. (Cauchy积分判别法)
设$f(x)$是定义在无穷区间$[a,+\infty)$上的非负单调减的连续函数，则级数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(a+nT)$与无穷积分 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)dx$同敛散，其中$T>0$。

对于$a=T=1$，有$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$与积分$\displaystyle\int_1^{+\infty}f(x)dx$同敛散。

例 12. 考察级数的敛散性

（1）(例7.1.9) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n\ln^p n}$

（2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n\ln n(\ln\ln n)^p}$

定理 12.
(习题) 设有正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$, 有$\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq\frac{b_{n+1}}{b_n}$，

（1） 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛

（2） 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散

定理 13. (Raabe判别法)
设有正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, 则

（1） 若从某项起$n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\geq\gamma>1$，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛

（2） 若从某项起$n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)\leq 1$，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散

（3） 若$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=\alpha$，则$\alpha>1$时，级数收敛；当$0<\alpha<1$时，级数发散。

例 13. 考察级数的敛散性

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac1{2n+1}$

（2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{(x+1)\cdots(x+n)} , x>0$

由Stoltz公式可以证明，

若$\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$的极限存在，则$\lim \sqrt[n]{a_n}=\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}$

因此，用d'Alembert判别法判定收敛的，用Cauchy判别法也可以判定收敛。

例 14. 级数是否收敛？

\[1+a+ab+a^2b+a^2b^2+\cdots+a^nb^{n-1}+a^nb^n+\cdots \]

解. d'Alembert比较判别法和Cauchy判别法，

\[\frac{a_{n+1}}{a_n}= \begin{cases} b, & n=2m \\ a, & n=2m-1 \end{cases} \]
\[\sqrt[n]{a_n}= \begin{cases} \sqrt[2m]{a^mb^{m-1}}, & n=2m \\ \sqrt[2m-1]{a^{m-1}b^{m-1}}, & n=2m-1 \end{cases} \to \sqrt{ab}, n\to\infty \]

因此，由d'Alember判别法，$a<1, b\leq 1$或$a=1, b<1$时，级数收敛。$a>1, b>1$时，级数发散。

由Cauchy判别法，$ab<1$时，级数收敛。$ab>1$时，级数发散。

  • 正项级数收敛判别的基本思想是看$a_n$趋向于$0$的速度。若比已知收敛的某个级数快，则收敛；若比已知发散的某个级数慢，则发散。
    1. d'Alember判别法和Cauchy判别法都是根几何级数$q^n$比较。
    2. Raabe判别法是跟$p$级数$\frac1{n^p}$比较。
    3. 还可以根其它级数比较。如：Kummer判别法， Bertrand判别法， Gauss判别法等
  • 不存在收敛“最慢”的级数

例 15. 设$a_n>0$，且级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛。记

\[r_n=\sum_{k=n}^{\infty}a_n, \quad b_n=\frac{a_n}{\sqrt{r_n}+\sqrt{r_{n+1}}} \]

则$\displaystyle\lim r_n=0$， $a_n=r_n-r_{n+1}$。易得

\[\sum_{n=1}^{\infty}b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{r_n-r_{n+1}}{\sqrt{r_n}+\sqrt{r_{n+1}}} =\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{r_n}-\sqrt{r_{n+1}})=\sqrt{r_1} \]
\[\lim \frac{b_n}{a_n}=\lim \frac1{\sqrt{r_n}+\sqrt{r_{n+1}}}=+\infty \]

因此，级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，且$b_n$是$a_n$的低阶无穷小。

一般级数的收敛性及其判别法

级数的各项可以是正数，也可以是负数

交错级数

定义 4.
若$a_n>0$，则级数

\[a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots+(-1)^{n-1}a_n+\cdots \]

称为交错级数

定理 14. (Leibniz判别法)
数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$单调递减趋于$0$，则交错级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$收敛。

绝对收敛与条件收敛

定义 5.
对于一般级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，将其通项取绝对值后所得到的正项级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=|a_1|+\cdots+|a_n|+\cdots \]

称为级数的绝对值级数。若绝对值级数收敛，则称级数绝对收敛。

定理 15.
如果绝对值级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$收敛，则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛。

定义 6.
若级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛， 但其绝对值级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$发散， 则称级数称条件收敛

例 16. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$绝对收敛。

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$条件收敛。

记$a_n$的正部与负部为： $a^+_n=\frac{|a_n|+a_n}2, a^-_n=\frac{|a_n|-a_n}2$

引理 1.
对于级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，

  • 级数绝对收敛的充要条件是 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a^+_n$和$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a^-_n$均收敛。
  • 若级数条件收敛，则 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a^+_n$和$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a^-_n$均发散到$+\infty$。

定理 16. (绝对收敛级数的交换律)
级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$绝对收敛，则任意交换级数的各项顺序后所得到的新的级数也绝对收敛，且其和不变。

定理 17. (Riemann重排定理)
级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$条件收敛，则无论取怎样的数$B$（有限或$\pm\infty$），都可以重排$a_n$中的项，使新的级数收敛到$B$。

例 17. 判定级数的收敛性 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(\frac1n-\ln\frac{n+1}n)$

例 18. 计算 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac1n$

例 19. 计算级数

(1) $1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\cdots$

(2) $1+\frac13-\frac12+\frac15+\frac17-\frac14+\cdots$

(3) $1+\frac13+\cdots+\frac1{2p-1}-\frac12-\frac14-\cdots-\frac1{2q}+\cdots$

一般级数收敛的判别法

  • 对于一般级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，最一般的判别法则当然是Cauchy收敛准则。但不好用。
  • 正项级数的判别法，只能判断级数是否绝对收敛。

需要其它的更直接的判别方法。

引理 2. (Abel引理)
设有两组实数$a_1, \cdots, a_n$和$b_1, \cdots, b_n$，记$\displaystyle S_k=\sum_{i=1}^ka_i$，则有

  1. $\displaystyle\sum_{i=1}^na_ib_i=S_nb_n+\sum_{i=1}^{n-1}S_i(b_i-b_{i+1})$ （分部求和公式）

  2. 当$\{b_i\}_{i=1}^n$为单调的，且$|S_k|\leq M$，则有

    \[|\sum_{i=1}^na_ib_i|\leq M(|b_1|+2|b_n|) \]

    特别地，若$b_1\geq b_2\geq\cdots\geq b_n\geq0$，则有

    \[|\sum_{i=1}^na_ib_i|\leq Mb_1 \]

定理 18. (Dirichlet判别法)
乘积级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$收敛，若它满足

（1） 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的部分和数列$\{S_n\}_{n=1}^{\infty}$有界；

（2） 数列$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$单调趋于零。

定理 19. (Abel判别法)
乘积级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$收敛，若它满足

（1） 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛；

（2） 数列$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$单调有界。

例 20. 判定级数的敛散性

(1) (例7.1.14) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$，其中$b_n$单调递减趋于$0$。

(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac1{2n}$

(3) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)$, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin(nx)$， 其中$a_n$单调减趋于$0$

(4) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos(2n)}{2n}$ (5) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\cos(nx)}{n^\alpha}$

(6) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac{\sin^2n}{n}$

例 21. 判定级数是否条件收敛？是否绝对收敛？

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$ （2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n^2}$ （3） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n n^2}{e^n}$

（4）（例7.1.13） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n \cos(n)}{n}$

（5）$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p+\frac1n}}$, $p>0$

例 22. (正项级数的判别法不能用到一般级数上) 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，且

\[\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=1 \]

是否有 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛？ （结论对正项级数是成立的）

级数的乘积

把两个级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$和$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n$相乘，把所有可能的乘积$a_ib_j$,$i=1,\cdots$,$j=1,\cdots$ 排列如下

\[\begin{matrix} a_1b_1,& a_1b_2,& a_1b_3,& \cdots \\ a_2b_1,& a_2b_2,& a_2b_3,& \cdots \\ a_3b_1,& a_3b_2,& a_3b_3,& \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \\ \end{matrix} \]

把这些数据相加，通常办法为：按方块相加，或者按斜对角相加。

按方块相加，得到

\[a_1b_1+(a_1b_2+a_2b_2+a_2b_1)+\cdots \]

定义 7.
按斜对角相加，得到

\[a_1b_1+(a_2b_1+a_1b_2)+\cdots+(a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_{n-1}b_1)+\cdots \]

称为级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$的Cauchy乘积。它的通项为

\[c_n=a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_{n-1}b_1 \]

问题. 若$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n=A$，$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} b_n=C$，则它们的Cauchy乘积$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} c_n$会收敛到$AB$吗？

例 23. (例7.1.15) 考察级数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$。它与自己做的Cauchy乘积通项为$\displaystyle c_n=(-1)^{n+1}\sum_{i+j=n+1}\frac1{\sqrt{ij}}$， 而

\[|c_n|\geq \sum_{i+j=n+1}\frac2{i+j}=\frac{2n}{n+1}\geq 1 \]

因此，$c_n$不收敛到0，从而Cauchy乘积发散。

定理 20. (Mertens)
设级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$都收敛，且收敛到$A$与$B$。若其中至少有一个是绝对收敛，则它们的Cauchy乘积收敛，且

\[\sum_{n=1}^{\infty}c_n=AB \]

定理 21. (Abel)
设$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n=A$和 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n=B$是两个收敛级数。 若它们的Cauchy乘积$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_n=C$收敛，则有 $C=AB$

定理 22.
若级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n$都绝对收敛，且收敛到$A$与$B$，则它们各项的乘积$a_ib_i$按任意顺序依次相加所得到的级数也绝对收敛，且其和为$AB$。

例 24. 求级数乘积

(1) $\displaystyle(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!})\cdot(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!})$

(2) $\displaystyle(\sum_{n=0}^{\infty}{q^n})^2$, $|q|<1$

例 25. (非绝对收敛) $\displaystyle(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}})^2$

无穷乘积

定义 8.
无穷个数$p_1$, $p_2$, $\cdots$, 称

\[\prod_{n=1}^{\infty}p_n=p_1p_2\cdots p_k\cdots \]

为无穷乘积。它的前n项部分乘积

\[P_n=\prod_{k=1}^{\infty}p_k=p_1p_2\cdots p_n \]

构成一个数列。若有$p_i=0$，则数列$P_n$为0序列，所以不防设$p_n\neq 0,\forall n$。则若 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} P_n$存在，则称无穷乘积收敛，否则称其发散。

定理 23.
无穷乘积$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}p_n$收敛的必要条件是 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}p_n=1$

定理 24.
无穷乘积$\displaystyle\prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n)$收敛的充分必要条件是 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ln(1+a_n)$收敛。 并且，若无穷级数的和为$S$，则有

\[\prod_{n=1}^{\infty}(1+a_n)=e^S \]

谢谢

在曲线上取两点$M$和$M'$，其横坐标分别为$x$与$x+dx$， 则两点的距离为

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本节读完

例 26. 谢

26.

例 27.

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p+\frac1n}} \]

例 28.

\[1+\frac{1}{3^p}-\frac1{2^p}+\frac1{5^p}+\frac1{7^p}-\frac1{4^p}+\cdots \]