2. 函数项级数

无穷级数

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

函数项级数

收敛性

定义 1.
函数列$\{u_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$定义在非空集$E$上，称$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$为函数项级数。如果$\forall x_0\in E$，数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)$收敛，则称$x_0$为收敛点；如果发散，则称$x_0$为发散点。不防设收敛点集合为区间$I$，则称函数项级数在区间$I$上收敛（或逐点收敛）。此时

\[x\in I, x\to S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) \]

定义了$I$上的一个函数，称为函数项级数的和函数。

也就是说，如果存在函数$S(x)$，使得函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$的前n项的部分和

\[S_n(x)=u_1(x)+\cdots+u_n(x) \]

所构成的函数列，对区间$I$上的每一点$x$都收敛到$S(x)$，则称函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在区间$I$上（逐点）收敛到函数$S(x)$，记为

\[S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x), x\in I \]

例 1. 讨论$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} x^n$的和函数$S(x)$

解. 级数中的通项的定义域为$(-\infty,+\infty)$，但只在$x\in(-1,1)$的时候，级数是收敛的，且

\[\sum_{n=1}^{\infty} x^n=\frac1{1-x}, x\in(-1,1) \]

而$|x|\geq 1$时，级数是发散的。

对于无限求和，和函数是否也能继承连续性、可导、可积等这些性质？即

  1. 如果级数的通项$u_n(x)$连续，和函数$S(x)$是否也连续？
  2. 如果级数的通项$u_n(x)$可导，和函数$S(x)$是否也可导？如果可导，是否有(和函数的导数=导函数的和)
    \[S'(x)=\left(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}u'_n(x) \]
  3. 如果级数的通项$u_n(x)$可积，和函数$S(x)$是否也可积？如果可积，是否有(和函数的积分=积分的和)
    \[\int_a^b S(x)dx=\int_a^b\left(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right)dx =\sum_{n=1}^{\infty}\int_a^b u_n(x)dx \]

例 2. (例7.2.2) 考察级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1}(x-1)$，则

\[S_n(x)=x^n \]

因此，

\[S(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)= \begin{cases} 0, & 0\leq x<1 \\ 1, & x=1 \end{cases} \]

因此，虽然通项连续，但和函数可能不连续。

例 3. (例7.2.3) 设$r_1,r_2,\cdots$是$[0,1]$上有理数的全体，在$[0,1]$上定义

\[S_n(x)=\begin{cases} 1, & x=r_1,r_2,\cdots, r_n \\ 0, & x= \mbox{other} \end{cases} \]

则有

\[S(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)= \begin{cases} 1 , & x\in\mathbb{Q} \\ 0, & x\notin\mathbb{Q} \end{cases} \]

则$S_n(x)$在$[0,1]$上只有有限个间断点，因此可积；但$S(x)$不可积。

这样，通项可积，和函数可能不可积。

例 4. (例7.2.4) 设

\[S_n(x)=2n^2xe^{-n^2x^2} , x\in[0,1], \]

则$\displaystyle S(x)=\lim_{n\to\infty} S_n(x) = 0$， 从而有$\displaystyle \int_0^1S(x)dx=0$，但

\[\lim_{n\to\infty}\int_0^1 S_n(x)=\lim_{n\to\infty} (1-e^{-n^2})=1 \]

即，和函数的积分可能不等于函数积分的和。

例 5. (例7.2.5) 设

\[S_n(x)=\frac{\sin(nx)}{\sqrt n} \]

则$S(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n(x)=0$，因此$S'(x)=0$。 但

\[S'_n(x)=\sqrt{n}\cos(nx) \]

而$\forall x$，$n\to\infty$时，$S'_n(x)$不收敛。

即，和函数的微分可能不等于函数微分的和。

问题. 满足什么条件，和函数才可以继承通项的连续性、可导、可积的性质呢？

设$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)=S(x)$，若$u_n(x)$在$I$上连续，现在希望$S(x)$也在$I$上连续。 $\forall \epsilon>0$， 找$\delta>0$，使得

\[|S(x)-S(x_0)|<\epsilon, \forall |x-x_0|<\delta \]

注意到，对任意$n$，

\[\begin{aligned} |S(x)-S(x_0)|\leq |S(x)-S_n(x)|&+|S_n(x)-S_n(x_0)| \\ &+|S_n(x_0)-S(x_0)| \end{aligned} \]

因此，可以找到$N$，满足

\[|S_N(x_0)-S(x_0)|<\epsilon \]

进而，可以找到$\delta$(因为有限个连续函数相加仍然连续)，满足

\[|S_N(x)-S_N(x_0)|<\epsilon, \forall |x-x_0|<\delta \]

最后，希望成立

\[|S(x)-S_N(x)|<\epsilon, \forall |x-x_0|<\delta \]

但是，这个性质不是所有的函数列都有。

例 6. 部分和$S_n(x)=x^n$, $x\in(0,1)$。则，和函数为$S(x)=0$。

$\forall \epsilon>0$, 找$N$，使得

\[|x^n|<\epsilon, \forall n>N \]

可以得到$N>\frac{\ln\epsilon}{\ln(x)}$。

也就说，$x$越接近0，$N$也越小。而$x$越接近1，$N$也会越大，而且有

\[\lim_{x\to1-}N=+\infty \]

这里，$N$的取值与$\epsilon$和$x$均相关。

但，若有$0<x<\frac12$，可以取$N=[\frac{\ln\epsilon}{\ln\frac12}]$， 则对所有的$x\in(0,\frac12)$，成立

\[|x^n|<\epsilon, \forall n>N \]

也就说，可以找到一个只与$\epsilon$相关的$N$来适用于所有的$x\in(0,\frac12)$。

一致收敛性

函数列或函数项级数在收敛域上的收敛性，本质上是“点态”的。在各个收敛点有不同的收敛速度。当收敛速度有某种整体的一致性时，称其为一致收敛。

定义 2. (函数列的一致收敛)
设函数列$\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$和函数$f(x)$在$I$上有定义。若对$\forall \epsilon>0$，存在一个仅与$\epsilon$有关的正整数$N=N(\epsilon)$， 满足

\[|f_n(x)-f(x)|<\epsilon, \forall n>N, \forall x\in I \]

则称函数列$\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$在区间$I$上一致收敛到$f(x)$

定义 3.
非一致收敛： $\exists\epsilon_0>0$，对任意的$N$，总存在$n_0>N$和$x_0\in I$，使得

\[|f_{n_0}(x_0)-f(x_0)|\geq \epsilon_0 \]

定义 4.
若函数列级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$的部分和$S_n(x)=\displaystyle\sum_{k-1}^n u_k(x)$一致收敛到$S(x)$，则称级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$一致收敛到$S(x)$。

显然，$\{f_n(x)\}$一致收敛到$f(x)$等价于$\{f_n(x)-f(x)\}$一致趋于0。因此，有

定理 1.
函数列$\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$在区间$I$上一致收敛于$f(x)$的充要条件是

\[\lim_{n\to\infty} \beta_n=0, \]

其中$\displaystyle \beta_n=\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|$

例 7. $\forall a\in(0,1)$，证明函数列$\{x^n\}_{n=1}^{\infty}$在区间$[-a,a]$上一致收敛到$0$

例 8. (例7.2.6) 证明函数列$\{\frac1{x+n}\}_{n=1}^{\infty}$在$[0,+\infty)$上一致收敛

例 9. (例7.2.7) 考察函数列$S_n(x)=x^n$在$[0,1]$上的一致收敛性

例 10. 证明函数列$f_n(x)=x^n-x^{n-1}$在$[0,1]$上一致收敛

定理 2. (Cauchy收敛准则)

  • 函数列$f_n(x)$在区间$I$上一致收敛的充要条件为，对$\forall \epsilon>0$，存在一个仅与$\epsilon$有关的正整数$N=N(\epsilon)$，使得当$n>N$时，
    \[|f_{n+p}(x)-f_n(x)|<\epsilon , \forall p>0, \forall x\in I \]
  • 函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$I$中一致收敛的充要条件为，对$\forall \epsilon>0$，存在一个仅与$\epsilon$有关的正整数$N=N(\epsilon)$，使得当$n>N$时，
    \[|S_{n+p}-S_n|=|\sum_{k=n+1}^{n+p}u_k(x)|<\epsilon , \forall p>0, \forall x\in I \]

推论 1. (必要条件)
函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$I$中一致收敛，则其通项$u_n(x)$在$I$中一致收敛到$0$。

例 11. (例7.2.8) 讨论无穷区间$(0,+\infty)$上的函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ne^{-nx}$的一致收敛性

定理 3. (Weierstrass判别法)
若存在一收敛的正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，使

\[|u_n(x)|\leq a_n, x\in I, n>N \]

则级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$I$中一致收敛

  • 称正项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$为控制级数
  • Weierstrass判别法的条件比较强，但简洁实用

例 12. 判定函数项级数是否一致收敛

（1） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$， $x\in[-1,1]$

（2） $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^2e^{-nx}$， $x\geq 0$

定义 5.
若对定义域$\Omega$内每一个点$x$，函数列$u_n(x)$作为数列是有界的，则称此函数列逐点有界。

若存在一个正数$M$，使得

\[|u_n(x)|<M, \forall n, \forall x\in\Omega \]

则称此函数列是一致有界。

定理 4. (Dirichlet判别法)
乘积项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$在$I$上一致收敛，若满足

（1） 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$的部分和函数列$\{S_n(x)\}$在$I$上一致有界；

（2） 函数列$\{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$对于每个$x\in I$都是单调的，且在$I$上一致趋于$0$。

定理 5. (Abel判别法)
乘积项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)b_n(x)$在$I$上一致收敛，若满足

（1） 级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$在$I$上一致收敛；

（2） 函数列$\{b_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$对于每个$x\in I$都是单调的，且在$I$上一致有界。

例 13. (例7.2.10) $\{a_n\}$单调趋于$0$，考察函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin(nx)$和$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)$在区间$[\epsilon,2\pi-\epsilon]$上的一致收敛性。（$\epsilon\in(0,\pi)$）

例 14. (例7.2.11) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，考察函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nn^{-x}$在$[0,+\infty)$的一致收敛性

一致收敛级数的性质

定理 6. (逐项求极限)
若函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在区间$I$上一致收敛于$S(x)$，并且通项$u_n(x)$在$I$上连续， 则和函数$S(x)$在$I$上也连续

推论 2.
若逐点收敛的连续函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$的和函数$S(x)$在区间$I$上不连续， 则$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在$I$上非一致连续

推论 3.
若$u_n(x)$在$I$上连续，且函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在区间$I$的任意一个闭子区间上一致收敛， 则级数在$I$上收敛，并且和函数$S(x)$在$I$上也连续。

例 15. 已知级数$S(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} ne^{-nx}$, $x>0$。 证明：它在任意闭子区间$[\alpha,\beta]$, $\beta>\alpha>0$上一致收敛， 但在区间$(0,\infty)$上非一致收敛。 从而和函数$S(x)$在任意$x_0>0$处是连续的。

例 16. $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^3}$在$x\in\mathbb{R}$中的连续性

例 17. $\{x^n\}_{n=1}^{\infty}$, $x\in[0,1]$的极限函数的连续性？(非一致收敛函数列的极限函数不连续)

例 18. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}[nxe^{-nx}-(n-1)xe^{-(n-1)x}]$的和函数在$[0,1]$上连续，但级数不一致收敛。

定理 7. (逐项积分公式)
若函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在有界闭区间$[a,b]$上一致收敛于$S(x)$，并且通项$u_n(x)$在$[a,b]$上连续， 则有逐项积分公式

\[\int_a^bS(x)dx=\int_a^b\left[\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right]dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_a^bu_n(x)dx \]

定理中，级数的通项$u_n(x)$在$[a,b]$上可积，也有相同的结论

定理 8. (逐项微分公式)
若函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在有界闭区间$[a,b]$上收敛于$S(x)$，其通项$u_n(x)$在$[a,b]$上有连续的微分$u'_n(x)$， 并且级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u'_n(x)$在$[a,b]$上一致收敛，则和函数$S(x)$在$[a,b]$上有连续的导数，并且有逐项求导公式

\[S'(x)=\left[\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right]'=\sum_{n=1}^{\infty}u'_n(x) \]

例 19. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(2n^2xe^{-n^2x^2}-2(n-1)^2xe^{-(n-1)^2x^2})$在$[0,1]$上的积分是否与逐项积分后的级数相等？

例 20. $\{f_n(x)=nx(1-x)^n\}_{n=1}^{\infty}$在$[0,1]$上是否一致收敛？该函数列的极限函数在$[0,1]$上的积分，是否与函数列各项的积分的极限相等？

例 21. $\{f_n(x)=\frac1n\arctan(x^n) \}_{n=1}^{\infty}$，$x\in\mathbf{R}$是否一致收敛？该函数列的极限函数的导数与各函数项导数的极限是否一样？

定理 9. (Dini定理)
(习题) 若函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在区间$[a,b]$上逐点收敛到$S(x)$，且通项$u_n(x)$在区间$[a,b]$上连续且非负， 则和函数$S(x)$连续的充分必要条件是级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在区间$[a,b]$上一致收敛。

定理 10.
设$u_n(x)$连续，且函数项级数$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$在开区间$(a,b)$中一致收敛于$S(x)$， 如果对每个$n\geq 1$，$\displaystyle\lim_{x\to b^-}u_n(x)$存在有限， 则$\displaystyle\lim_{x\to b^-}S(x)$存在，且

\[\lim_{x\to b^-}S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\lim_{x\to b^-}u_n(x) \]

谢谢

在曲线上取两点$M$和$M'$，其横坐标分别为$x$与$x+dx$， 则两点的距离为

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本节读完

例 22. 谢

22.