1. 向量与坐标系

空间解析几何

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

向量与坐标系

向量的定义与向量的加法和数乘

定义 1.
 

  • 向量: 既有大小（长度），又有方向的量。
  • 向量用一般用有向线段来表示。空间中以$A$为起点，$B$为终点的向量记为$\overrightarrow{AB}$；或简单记为$\vec a$，或$a$。
  • 向量的大小（长度）是一个非负的实数，记为$|\vec a|$，又称为模。
  • 两个向量，只要大小相等、方向相同，就称两者相等$\vec a=\vec b$。
  • 长度为$0$的向量称为零向量，记为$\vec 0$。零向量没有方向。
  • 与向量大小相等，但方向相反的向量记为$-\vec a$，称为$\vec a$的反向量(负向量)。
  • 空间中的有向线段的平移是指不改变线段的长度和方向的运动。
  • 因此向量的有向线段表示与有向线段的起点无关。
  • 取定一个固定点$O$，则任一向量$\vec a$通过平移，都可以与一个起点为$O$，终点为$A$的向量重合$\vec a=\overrightarrow{OA}$。

向量加法: 两个向量$\vec a$和$\vec b$相加，

平行四边形法则

vec-add-para

$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$

均以$O$为起点，作$\vec a=\overrightarrow{OA}$，作$\vec b=\overrightarrow{OB}$，以$OA$, $OB$为邻边的平行四边形的对角线向量$\vec c =\overrightarrow{OC}$就是两个向量的和。

三角形法则

vec-add-tri

$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}$

以$O$为起点作$\vec a=\overrightarrow{OA}$，再以$A$为起点，作$\vec b=\overrightarrow{AC}$，则向量$\overrightarrow{OC}$就表示两个向量的和

平行四边形法则 三角形法则
vec-add-para vec-add-tri
$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}$
均以$O$为起点，作$\vec a=\overrightarrow{OA}$，作$\vec b=\overrightarrow{OB}$，以$OA$, $OB$为邻边的平行四边形的对角线向量$\vec c =\overrightarrow{OC}$就是两个向量的和。 以$O$为起点作$\vec a=\overrightarrow{OA}$，再以$A$为起点，作$\vec b=\overrightarrow{AC}$，则向量$\overrightarrow{OC}$就表示两个向量的和

向量的减法定义为 $ a-b=a+(-b) $

 

加法的特性：

  1. (交换律) $a+b=b+a$
  2. (结合律) $a+(b+c)=(a+b)+c$
  3. $a+0=a$， $a+(-a)=0$
\begin{tikzpicture}[thick] \coordinate[label=left:$O$] (o) at (0,0) ; \coordinate[label=below:$A$] (a) at (-60:1.8) ; \coordinate (b) at (0:2.4) ; \coordinate (c) at (80:2.8) ; \coordinate[label=below:$B$] (a+b) at ($ (a)+(b) $); \coordinate[label=right:$C$] (a+b+c) at ($ (a)+(b)+(c) $); \coordinate (b+c) at ($ (b)+(c) $); \draw[->] (o) -- node[ below] {$a$} (a); \draw[->] (a) -- node[ below] {$b$} (a+b); \draw[->] (a+b) -- node[ below] {$c$} (a+b+c); \draw[->] (o) -- node[near start,sloped,above] {$a+b$} (a+b); \draw[->] (o) to node[sloped,above] {$a+b+c$} (a+b+c); \draw[->] (a) to node[near end,sloped,below] {$b+c$} (a+b+c); \end{tikzpicture}

定义 2.
实数$\lambda$与向量$\vec a$的数乘$\lambda \vec a$表示一个向量，它的长度为$|\lambda||a|$，它的方向在$\lambda>0$时，指向$a$的方向；在$\lambda<0$时，指向$a$的反方向。

数乘的特性：

  1. $1 \vec{a}=\vec a$
  2. $\lambda(\mu\vec a)=(\lambda \mu)\vec a$
  3. $(\lambda+\mu)\vec a=\lambda\vec a+\mu\vec a$
  4. $\lambda(\vec a+\vec b)=\lambda\vec a+\lambda \vec b$

加法与数乘运算，称为向量的线性运算

模长为$1$的向量称为单位向量。 $\vec e_a=\dfrac{a}{|a|}$表示与$a$同向的单位向量。 向量$\vec a$可以分解为大小和方向两部分

\[\vec a=|\vec a| \vec e_a \]

定理 1.
设$\vec a$, $\vec b$是两个向量，则有

\[|\vec a+\vec b|\leq |\vec a|+|\vec b| \]

等号成立，当且仅当存在非负实数$\lambda$满足$\vec a=\lambda \vec b$。

解. 由三角形的基本性质：两边之和大于第三边

向量的共线和共面

定义 3.
一组向量，如果通过平移使它们同处一条直线上，那么称它们是共线的。 共线的两个非零向量$\vec a$和$\vec b$也称为是相互平行的，用$\vec a||\vec b$表示。

一组向量，如果通过平移使它们同处一个平面上，那么称它们是共面的。

  • 零向量与任意一个向量共线。
  • 共线的向量的方向要么相同，要么相反。
  • 共线的向量也是共面的。
  • 任何两个向量一定共面。

定理 2.

  1. 两个向量$\vec a$, $\vec b$共线，当且仅当存在不全为零的实数$\lambda$, $\mu$，使得
    \[\lambda\vec a+\mu\vec b=0 \]
  2. 三个向量$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$共面，当且仅当存在三个不全为零的实数$\lambda$, $\mu$, $\nu$，使得
    \[\lambda\vec a+\mu \vec b+\mu\vec c=0 \]

简单来说，向量共线或共面等价于向量线性相关。

向量的点乘和叉乘

定义 4.
向量$\vec a=\overrightarrow{OA}$, $\vec b=\overrightarrow{OB}$的夹角定义为 $\theta=\theta(\vec a,\vec b)$，$\theta$的取值范围为$[0, \pi]$。

vec-angle

易得， $\theta(\vec a,\vec b)=\theta(\vec b,\vec a)$ 和 $\theta(\lambda\vec a,\vec b)=\begin{cases} \theta(\vec a,\vec b), &\lambda >0 \\\pi-\theta(\vec a, \vec b) , & \lambda<0\end{cases}$

定义 5. (点乘)
2个向量$\vec a,\vec b$的点乘 $\vec a\cdot \vec b$为一个数，定义为

\[\vec a\cdot \vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos(\theta(\vec a,\vec b)) \]

若其中一个是零向量，则点乘规定为$0$。点乘也称为数量积或内积。

可以看到，当且仅当$\theta(\vec a,\vec b)=\frac{\pi}2$时，$\vec a\cdot\vec b=0$。 此时，称两个向量相互正交(垂直)，记为 $\vec{a} \perp \vec b$。

点乘的几何含义：

  • 若$\vec b$是单位向量，则$\vec a\cdot\vec b$表示了向量$\vec a$在向量$\vec b$上的投影的长度。因此，对于一般的向量$\vec b$，投影的长度是 $\displaystyle|\vec a_b|=\frac{|\vec a\cdot\vec b|}{|\vec b|}$
  • 因此，向量$\vec a$到向量$\vec b$方向上的投影，就是
    \[\vec a_b=(\vec a\cdot\vec e_b)\vec e_b \]
    其中$\vec e_b=\frac{\vec b}{|\vec b|}$表示$\vec b$的单位向量。

vec-dot

点乘的物理含义：物体在外力$\vec a$的作用下产生了位移$\vec b$，则外力做的功就是$\vec a\cdot\vec b$。

定理 3.
点乘满足如下性质：

  1. (交换律) $\vec a\cdot\vec b =\vec b\cdot\vec a$
  2. (分配律) $(\vec a+\vec b)\cdot\vec c =\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c$, $\lambda$是任意实数
  3. (给合律) $(\lambda\vec a)\cdot\vec b=\lambda(\vec a\cdot\vec b)=\vec a\cdot(\lambda\vec b)$

$\vec a^2=\vec a\cdot\vec a\geq0$，且$\vec a^2=0\Leftrightarrow \vec a=0$

$|\vec a+\vec b|\leq|\vec a|+|\vec b|$

$(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2\leq(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)$

定义 6.
$\{\vec a, \vec b, \vec c\}$是三个不共面向量构成的有序向量组，并有一个共同的起点。 当右手四指顺着$\vec a$, $\vec b$决定的平面，按照从$\vec a$到$\vec b$转动时（小于180度）， 如果拇指与$\vec c$的方向指向平面的同一侧，则称$\{\vec a, \vec b, \vec c\}$为右手系。否则称为左手系。

容易看出，若$\{\vec a, \vec b, \vec c\}$为右手系，则

  1. $\{\vec b, \vec c, \vec a\}$, $\{\vec c, \vec a, \vec b\}$均为右手系。
  2. $\{\vec b, \vec a, \vec c\}$, $\{\vec a, \vec b, -\vec c\}$为左手系。

定义 7. (叉乘)
2个向量$\vec a,\vec b$的叉乘记为$\vec a\times\vec b$，为一个向量。 方向与$\vec a,\vec b$均垂直，且使$\vec a, \vec b , \vec a\times \vec b$构成右手系。 模等于$\vec a, \vec b$为边构成的平行四边形的面积，即$|\vec a\times\vec b|=|\vec a||\vec b|\sin\theta$, $\theta$为$\vec a, \vec b$的夹角。 叉乘也称为外积或 向量积。

若$\vec a$和$\vec b$中有一个是零向量，则两者的叉乘定义为零向量。

如果两个向量平行，则它们的叉乘是零向量。

\begin{tikzpicture}[thick] \coordinate (o) at (0,0) ; \coordinate[label=below:$a$] (a) at (2,0) ; \coordinate[label=above left:$b$] (b) at (30:1.3) ; \coordinate (axb) at (0, 1.5); \coordinate (d) at ($ (a)+(b) $); \draw[->] (o) -- (a); \draw[->] (o) -- (b); \draw[->] (o) -- node[auto] {$a\times b$} (axb); \draw[dashed] (a) -- (d) -- (b); \end{tikzpicture}

叉乘的力学含义： $O$是物体上一个固定的点，力$\vec a$作用在物体的另一个点$P$， 则$\vec a$可使物体沿通过$O$点的轴旋转。 向量$\vec c=\overrightarrow{OP}\times \vec a$称为力矩。

vec-cross-phys

定理 4.
叉乘的特性：

  1. (反称性) $\vec a\times\vec b =-\vec b\times\vec a$
  2. (分配律) $(\vec a+\vec b)\times\vec c = \vec a\times\vec c+\vec b\times\vec c$
  3. $(\lambda\vec a)\times\vec b =\lambda(\vec a\times\vec b) = \vec a\times(\lambda\vec b)$, $\lambda$是任意实数

例 1. 问题：若$\vec a\times\vec c=\vec b\times\vec c$，其中$\vec c\neq 0$，是否一定有$\vec a=\vec b?$

定义 8.
三个向量$\vec a, \vec b, \vec c$的混合积定义为$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$。这是一个数。

混合积$(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$的绝对值是以$\vec a$, $\vec b$, $\vec c$为棱的平行六面体的体积。
\begin{tikzpicture}[thick] \coordinate (o) at (0,0) ; \coordinate[label=below:$a$] (a) at (2,0) ; \coordinate[label=above left:$b$] (b) at (30:1.8) ; \coordinate[label=above left:$c$] (c) at (60:1.6) ; \coordinate (axb) at (0, 2.0); \coordinate (d) at ($ (a)+(b) $); \coordinate (e) at ($ (a)+(b)+(c) $); \coordinate (f) at ($ (b)+(c) $); \coordinate (g) at ($ (a)+(c) $); \draw[->] (o) -- (a); \draw[->, dashed] (o) -- (b); \draw[->] (o) -- (c); \draw[->] (o) -- node[auto] {$a\times b$} (axb); \draw[dashed] (d) -- (b) -- (f); \draw[thin] (c) -- (g) -- (a) (c) -- (f) -- (e) -- (d) -- (a) (g) -- (e); \end{tikzpicture}

向量的坐标表示

空间向量全体构成的集合记为$V$，在$V$上定义数乘和加法后，可以验证$V$是一个向量空间(或线性空间)

$V$中任意三个不共面的向量组$\{\vec a, \vec b, \vec c\}$称为空间的一组基向量，简称为基。

定理 5.
向量组$\{\vec a, \vec b, \vec c\}$是$V$中的一组基向量，则$V$中任一向量$\vec x$都 可以表示为基向量$\{\vec a, \vec b, \vec c\}$的线性组合

\[\vec x=x_1\vec a+x_2\vec b+x_3\vec c \]

这里系数$(x_1, x_2, x_3)$称为向量$\vec x$在基$\{\vec a, \vec b, \vec c\}$下的 坐标。

通过基，可以建立向量$\vec x$和坐标之间的一一对应关系。 因此，可以把向量记为

\[\vec x=x_1\vec a+x_2\vec b+x_3\vec c=(x_1, x_2, x_3) \]
  1. 关于向量的加法 和 数乘， 可以转换成对应坐标的运算。 若$\vec x$和$\vec y$的坐标分别为$(x_1, x_2, x_3)$和$(y_1, y_2, y_3)$，则
    \[\vec x+\vec y=(x_1+y_1, x_2+y_2, x_3+y_3) \]
    \[\lambda \vec x=(\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3) \]
  2. 要用坐标计算向量的长度、角度、点乘、叉乘，则会很复杂。

加法：

\[\begin{aligned} \vec x+\vec y&= x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3 +y_1\vec e_1+y_2\vec e_2+y_3\vec e_3 \\ &=(x_1+y_1)\vec e_1+(x_2+y_2)\vec e_2+(x_3+y_3)\vec e_3 \\ &=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3) \end{aligned} \]

数乘：

\[\begin{aligned} \lambda \vec x&=\lambda(x_1\vec e_1+x_2\vec e_2+x_3\vec e_3) \\ &=\lambda x_1\vec e_1+\lambda x_2\vec e_2+\lambda x_3\vec e_3) \\ &=(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3) \end{aligned} \]

定义 9.
若向量组$\{\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3\}$满足，

  1. $\vec e_1$, $\vec e_2$, $\vec e_3$是两两正交的单位向量。即满足
    \[\vec e_i \cdot \vec e_j=\delta_{ij}, i=1,2,3, j=1,2,3 \]
    其中，当$i=j$时，$\delta_{ij}=1$，当$i\neq j$时，$\delta_{ij}=0$。
  2. $\{\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3\}$构成右手系。即有
    \[\vec e_1\times\vec e_2\cdot\vec e_3=1 \]
    则称向量组$\{\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3\}$为$V$的标准正交基

在标准正交基下，向量$\vec x$的坐标就是向量在这个基向量上的投影。

\[\vec x=(\vec x\cdot\vec e_1)\vec e_1+(\vec x\cdot\vec e_2)\vec e_2 +(\vec x\cdot\vec e_3)\vec e_3 \]

在标准正交基$\{\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3\}$下，有向量

\[\vec a=(a_1, a_2, a_3), \quad \vec b=(b_1, b_2, b_3) \]
  • 数乘：
    \[\begin{aligned} \vec a\cdot\vec b =&(a_1\vec e_1+ a_2 \vec e_2+ a_3\vec e_3)\cdot (b_1\vec e_1+ b_2\vec e_2+ b_3\vec e_3) \\ =&a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \end{aligned} \]
  • 长度：
    \[|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \]
  • 两向量的夹角：
    \[\theta(\vec a, \vec b)=\arccos\left(\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3} {\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}\right) \]

注意到标准正交基构成右手系，因此有

\[\vec e_1\times\vec e_2=\vec e_3, \, \vec e_2\times\vec e_3=\vec e_1, \, \vec e_3\times\vec e_1=\vec e_2 \]
  • 数乘：
    \[\begin{aligned} \vec a\times \vec b =&(a_1\vec e_1+ a_2 \vec e_2+ a_3\vec e_3)\times (b_1\vec e_1+ b_2\vec e_2+ b_3\vec e_3) \\ =&(a_2 b_3 - a_3 b_2 )\vec e_1 + (a_3 b_1 - a_1 b_3 )\vec e_2 \\ &+ (a_1 b_2 - a_2 b_1 )\vec e_3 \\ =& \left|\begin{matrix} \vec e_1 & \vec e_2 & \vec e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}\right| \end{aligned} \]

写成坐标的形式，有

\[\begin{aligned} \vec a\times \vec b =&(a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1 ) \\ =& \left( \left|\begin{matrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{matrix}\right|, \left|\begin{matrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{matrix}\right|, \left|\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{matrix}\right| \right) \end{aligned} \]

若向量$\vec c=(c_1, c_2, c_3)$，则 混合积:

\[\vec a\times\vec b\cdot\vec c= \left|\begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{matrix}\right| \]

例 2. (例8.1.1) 设$\vec a=a_1\vec e_1+a_2\vec e_2$, $\vec b=b_1\vec e_1+b_2\vec e_2$为两个平面向量，则有

\[\vec a\times\vec b =\left|\begin{matrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{matrix}\right|\vec e_3 \]

例 3. (例8.1.2) $\vec a$, $\vec b$为单位向量，它们的夹角$\theta=\frac{\pi}{3}$， 求向量$\vec a-\vec b$与$3\vec a+2\vec b$的夹角$\phi$的余弦。

例 4. (例8.1.3) 证明Cauchy不等式

\[(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2\leq(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^3) \]

等号成立当且仅当存在实数$\lambda$满足

\[\lambda a_i=b_i, i=1,2,3 \]

空间坐标系

  • 空间中取定点$O$，则空间中任意点$P$对应的向量$\overrightarrow{OP}$， 称为点$P$的位置向量。这样建立了空间点与向量空间$V$中向量的一一对应。
  • 再取$V$中一组标准正交基$\{\vec i, \vec j, \vec k\}$，就可以建立空间点与坐标的一一对应
    \[P \leftrightarrow \overrightarrow{OP}=x\vec i+y\vec j+z \vec k \leftrightarrow (x,y,z) \]

称点$O$与$\{\vec i, \vec j, \vec k\}$为空间的直角坐标系，记为$[O; \vec i, \vec j, \vec k]$。 称$O$为坐标原点， $\{\vec i, \vec j, \vec k\}$为坐标向量。

三元数组$(x,y,z)$可以表示为点$P$的坐标，记为$P(x,y,z)$；也可以表示为一个位置向量

\[\vec r=\vec r(P)=x\vec i+y \vec j+z \vec k=(x,y,z) \]

特别地，有

  • 原点的坐标$O(0,0,0)$
  • 基向量的坐标$\vec i=(1,0,0)$, $\vec j=(0,1,0)$, $\vec k=(0,0,1)$
  • 过原点与$\vec i$平行的直线称为x轴, $\vec i$的正向指向为$x$轴的正向。
  • 同样可以定义y轴， z轴以及它们的正向。 三者统称为空间的坐标轴。
  • 通常也用$Oxyz$表示空间直角坐标系。
  • $x$轴和$y$轴所在的平面称为$Oxy$平面，类似有$Oyz$平面和$Ozx$平面。
  • 三个平面将空间分割为8个区域，这些区域称为卦限。

记三元数组的全体为

\[\mathbb{R}^3=\{(x,y,z)| x,y,z\in\mathbb{R}\} \]

通过坐标系$[O; \vec i, \vec j, \vec k]$，向量空间$V$与$\mathbb{R}^3$一一对应， 因此，也将向量空间记为$\mathbb{R}^3$。

空间中两点$P(x_1, x_2, x_3)$和$Q(y_1,y_2,y_3)$之间的距离

\[|PQ|=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+(x_3-y_3)^2} \]

定义 10. (方向余弦)
有空间点$P(x,y,z)$，设向量$\overrightarrow{OP}$与$\vec i ,\vec j, \vec k$夹角为$\alpha, \beta, \gamma$，这些夹角称为向量$\overrightarrow{OP}$的方向角。 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$称为方向余弦。

易得，

  • $x=|OP|\cos\alpha$, $y=|OP|\cos\beta$, $z=|OP|\cos\gamma$
  • $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$
  • $\overrightarrow{OP}$的方向余弦$(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$指明了$P$点的方向。

例 5. $P(1,2,3)$，$Q(2,4,-1)$求$\vec{PQ}$的方向余弦

例 6. (例8.1.4) 设$A(x_1, y_1, z_1)$和$B(y_1, y_2, z_2)$是空间上的两个点， 线段$\bar{AB}$上的点$P$将线段分成定比$\lambda$，即

\[\frac{|AP|}{|PB|}=\lambda \]

求$P$的坐标。

例 7. (例8.1.4) 已知三角形的顶点$A(1,2,3$, $B(3,4,5)$, $C(-1,-2,7)$。 求三角形的面积。

谢谢

在曲线上取两点$M$和$M'$，其横坐标分别为$x$与$x+dx$， 则两点的距离为

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本节读完

例 8. 谢

8.

\begin{tikzpicture} \draw[help lines] (0,0) grid (3,2); \draw (0,0) rectangle (1,0.5); \begin{scope}[xshift=1cm] \draw[red] (0,0) rectangle (1,0.5); \draw[yshift=1cm] [blue] (0,0) rectangle (1,0.5); \draw[rotate=30] [orange] (0,0) rectangle (1,0.5); \end{scope} \end{tikzpicture}