2. 平面与直线

空间解析几何

张瑞
中国科学技术大学数学科学学院

平面与直线

平面方程

平面的一般方程

设平面过定点$P_0(x_0, y_0, z_0)$并与向量$\vec n=(a,b,c)$垂直， 称这个与平面垂直的方向为法向，表示法向的向量为法向量。

对平面任意点$P(x,y,z)$，有$\overrightarrow{PP_0}\perp\vec n$， 或者$\overrightarrow{PP_0}\cdot\vec n=0$。 记$\vec r=\overrightarrow{OP}$， $\vec r_0=\overrightarrow{OP_0}$，则有

\[(\vec r-\vec r_0)\cdot\vec n=0 \]

因此，平面任意点$P(x,y,z)$满足如下方程

\[a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 \]

或

\[a x + by +cz +d =0, \quad d=-(ax_0+by_0+cz_0) \]

称上述方程为平面的一般方程。

平面方程的一些特殊情形：

  1. $d=0$时， 方程退化为$ax+by+cz=0$。可以看到，平面过原点。
  2. $c=0$时， 法向量$(a,b,0)$垂直于z轴，则平面平行于z轴。 同样，平面$ax+cz+d=0$平行于y轴，平面$by+cz+d=0$平行于x轴。
  3. $a=b=0$时，法向量$(0,0,c)$平行于z轴，此时平面平行于Oxy平面。 同理，平面$ax+d=0$平行于Oyz平面，平面$by+d=0$平行于Ozx平面。

三点决定的平面

设平面过给定的三个点$P_1(x_1,y_1,z_1$, $P_2(x_2, y_2,z_2)$, $P_3(x_3, y_3, z_3)$。 因为$\overrightarrow{P_1P_2}$与$\overrightarrow{P_1P_3}$在平面上， 因此，$\overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3}$为法向量。 则对平面上任意一点$P(x,y,z)$，有

\[\overrightarrow{P_1P}\cdot(\overrightarrow{P_1P_2} \times \overrightarrow{P_1P_3})=0 \]

即有

\[\left|\begin{matrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_3-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \\ \end{matrix}\right| =0 \]

若三个点在三个坐标轴上$(\alpha,0,0)$, $(0,\beta,0)$, $(0,0,\gamma)$，则有

\[\left|\begin{matrix} x-\alpha & y & z \\ -\alpha & \beta & 0 \\ -\alpha & 0 & \gamma \\ \end{matrix}\right| =0 \]

即

\[(x-\alpha)\beta\gamma+y\alpha\gamma+z\beta\alpha=0 \]

整理后，有

\[\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}=1 \]

称为平面的截距式方程。$\alpha$, $\beta$, $\gamma$是平面在$x$轴, $y$轴, $z$轴的截距。

例 1. (例8.2.1) 求过点$P_0(3,2,1)$及$x$轴的平面

解. 平面过$x$轴，因此方程可以写为

\[by+cz=0 \]

又点$P_0$在平面上，因此

\[2b+z=0 \]

取$b=1$，得到$c=-2$。因此，平面方程是

\[y-2z=0 \]

解. 平面的法向量$\vec n$与$\overrightarrow{OP_0}$及$(1,0,0)$垂直，因此

\[\vec n=(3,2,1)\times(1,0,0) \]

两平面的关系

设有两个平面

\[\begin{aligned} \pi_1: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 \\ \pi_2: a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0 \\ \end{aligned} \]

它们的法向量分别是$\vec n_1=(a_1, b_1, c_1)$和 $\vec n_2=(a_2, b_2, c_2)$。 两平面的关系有如下情形：

  1. 两平面平行： 有$\vec n_1 || \vec n_2$。此时，存在$\lambda\neq 0$，有 $\vec n_1=\lambda \vec n_2$。若同时有$d_1=\lambda d_2$，则两平面重合。
  2. 两平面相交： 两向量$\vec n_1$, $\vec n_2$的夹角$\theta$为两平面相交的二面角。 则有
    \[\cos\theta=\frac{\vec n_1\cdot\vec n_2}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|} \]
    特别，当$\vec n_1\perp\vec n_2$时，两平面也垂直。

例 2. (例8.2.2) 过$z$轴且与平面$x-2y+5=0$垂直的平面

例 3. (例8.2.3) 过点$P_1(8, −3, 1)$和 $P_2 (4, 7, 2)$且与平面$3x+5y-7z+21=0$垂直的平面

例 4. (例8.2.4) 求两平面$x-y+z=0$和 $x+y-z=0$的夹角

点到平面的距离

\begin{tikzpicture} \coordinate[label=below:$P_1$] (p1) at (1,1,1); \coordinate[label=above:$P_0$] (p0) at ($ (p1)+(1,1,1) $); \coordinate[label=above:$\vec n$] (n) at ($ (p1)+2.0*(1,1,1) $); \coordinate[label=below:$P$] (p) at ($ (p1)+0.6*(-2,1,1) $); \coordinate (A) at ($ (p1)+0.7*(-2,1,1)+0.6*(0,-1,1) $); \coordinate (B) at ($ (p1)+0.7*(-2,1,1)-0.6*(0,-1,1) $); \coordinate (D) at ($ (p1)-0.7*(-2,1,1)+0.6*(0,-1,1) $); \coordinate (C) at ($ (p1)-0.7*(-2,1,1)-0.6*(0,-1,1) $); \draw (A)--(B)--(C)--(D)--cycle; \draw[thick, ->] (p1) -- (p0); \draw[->>] (p1) -- (n); \draw[thick, dotted] (p1)--(p); \draw[thick, ->] (p) -- (p0); \draw[->] (0,0,0)--(1,0,0); \draw[->] (0,0,0)--(0,1,0); \draw[->] (0,0,0)--(0,0,1); \end{tikzpicture}

给定平面

\[\pi: ax+by+cz+d=0 \]

以及平面外一点$P_0(x_0, y_0, z_0)$。 过$P_0$做平面$\pi$的垂线，垂足为$P_1$，则$|P_0P_1|$即为点$P_0$到平面$\pi$的距离。 在平面上任取点$P(x,y,z)$，则$|P_0P_1|$就是$\overrightarrow{PP_0}$到法向量$\vec n$ 上的投影。

\[|P_0P_1|=\left|\frac{\vec n}{|\vec n|}\cdot\overrightarrow{PP_0}\right| \]

因此

\[\begin{aligned} |P_0P_1|=\left|\frac{\vec n}{|\vec n|}\cdot\overrightarrow{PP_0}\right| =\frac{|a(x_0-x)+b(y_0-y)+c(z_0-z)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \end{aligned} \]

因为$P(x,y,z)$在平面上，因此有

\[ax+by+cz=-d \]

最终，点$P_0$到平面$\pi$的距离为

\[|P_0P_1|=\frac{|a x_0+b y_0+c z_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \]

点$P_0(x_0, y_0, z_0)$与平面$\pi: ax+by+cz+d=0$的关系：

  1. $P_0$在$\pi$的上半部分： $ax_0+by_0+cz_0+d>0$
  2. $P_0$在$\pi$的下半部分： $ax_0+by_0+cz_0+d<0$
  3. $P_0$在$\pi$上： $ax_0+by_0+cz_0+d=0$

直线方程

直线有两种定义方式：

  1. 过定点，并且沿给定的方向
  2. 两个不平行平面的交线。

点向式方程

直线$L$过已知点$P_0(x_0, y_0, z_0)$，且与非零向量（称为直线的方向向量） $\vec v=(l,m,n)$平行。则直线上任意一点$P(x,y,z)$， 有$\overrightarrow{PP_0}$与$\vec v$平行，即存在实数$t$满足

\[(x-x_0, y-y_0, z-z_0)=t(l,m,n) \]

或

\[\vec r-\vec r_0=l\vec v \]

其中$\vec r$表示向量$\overrightarrow{OP}$， $\vec r_0$表示向量$\overrightarrow{OP_0}$。

写成分量的形式，就是

\[\begin{cases} x=x_0+t l, \\ y=y_0+t m, \\ z=z_0+t n, \\ \end{cases} \quad t\in\mathbb{R} \]

称为直线$L$的参数方程。

消去参数$t$后，得到

\[\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n \]

称为直线$L$的点向式方程。它与可以看成是两个平面

\[\begin{aligned} \pi_1: \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}m \\ \pi_2: \frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n \\ \end{aligned} \]

的交线。$\pi_1$平行于$z$轴，$\pi_2$平行于$x$轴。

如果方向向量有一个分量为$0$，如$l=0$，则直线方程应该理解为

\[x-x_0=0, \frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n \]

如果$l=0$, $m=0$，则方程为

\[x-x_0=0, y-y_0=0 \]

若直线过两个定点$P_1(x_1, y_1, z_1)$, $P_2(x_2, y_2, z_2)$， 则方向向量为$\vec v=\overrightarrow{P_1P_2}$，因此方程为

\[\vec r=\vec r_1+t(\vec r_2-\vec r_1) \]

其中$\vec r$表示向量$\overrightarrow{OP}$， $\vec r_1$表示向量$\overrightarrow{OP_1}$， $\vec r_2$表示向量$\overrightarrow{OP_2}$。 或

\[\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} \]

两平面交线

任意两个不平行的平面，交线$L$上的点同时满足两个方程，

\[\begin{cases} a_1 x+ b_1 y + c_1 z+ d_1=0 \\ a_2 x+ b_2 y + c_2 z+ d_2=0 \\ \end{cases} \]

这个方程称为直线的一般方程。它的方向向量与两个平面的法向量都垂直， 即

\[\vec v=\vec n_1\times\vec n_2=(a_1, b_1, c_1)\times(a_2, b_2, c_2) \]

再解出直线上的任意一个点$P_0$，就可以得到点向式的方程。

两直线的位置关系

给定两条直线

\[\begin{aligned} L_1: \vec r=\vec r_1+t \vec v_1, r_1=(x_1, y_1, z_1), \vec v_1=(l_1, m_1, n_1) \\ L_2: \vec r=\vec r_2+t \vec v_2, r_2=(x_2, y_2, z_2), \vec v_2=(l_2, m_2, n_2) \\ \end{aligned} \]

它们的位置关系可分为“共面”和“异面”。

直线$L_1$, $L_2$共面，等价于向量$\vec v_1$, $\vec v_2$, $\vec r_1-\vec r_2$共面。 即有$(r_1-r_2)\cdot\vec v_1\times \vec v_2=0$，

\[\left|\begin{matrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \\ \end{matrix}\right| =0 \]

同理，异面的充要条件是

\[\left|\begin{matrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \\ \end{matrix}\right| \neq 0 \]

当$L_1$与$L_2$共面时，两方向向量$\vec v_1$与$\vec v_2$的夹角$\theta$，就是两直线的夹角，

\[\cos\theta=\frac{\vec v_1\cdot\vec v_2}{|\vec v_1|\cdot|\vec v_2|} \]

当$\cos\theta=\pm1$时，$\vec v_1||\vec v_2$。可得，两直线平行的充要条件是

\[\vec v_1||\vec v_2, \quad \frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2} \]

当$\cos\theta=0$时，$\vec v_1\perp \vec v_2$。可得，两直线垂直的充要条件是

\[\vec v_1\cdot\vec v_2=0, \quad l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0 \]

例 5. (例8.2.5) 直线$L$通过点$(1,1,1)$，并且和直线

\[L_1: \frac{x}1=\frac{y}2=\frac{z}3, \quad L_2: \frac{x-1}2=\frac{y+2}1=\frac{z-3}4 \]

均相交，求$L$的方程。

点到直线的距离

直线$L: \vec r= \vec r_0+t\vec v$和直线外一点$P_1(x_1, y_1, z_1)$，如何求点到直线的距离？

在$L$上任取一点$P_0(x_0, y_0, z_0)$，向量$\overrightarrow{P_0P_1}$与$\vec v$的夹角为$\theta$，则点到线的距离$d$为

\[d=|\overrightarrow{P_0P_1}|\sin(\theta) =\frac{|\vec v\times\overrightarrow{P_0P_1}|}{|v|} \]

异面直线间的距离

\begin{tikzpicture} [scale=0.7] \coordinate[label=left:$l_2$] (l2) at (0,0); \coordinate (v2) at (10:1.8); \coordinate[label=above:$D$] (d) at ($ (l2)+(v2) $); \coordinate[label=above:$P_2$] (r2) at ($ (l2)+2*(v2) $); \coordinate[label=above:$\vec v_2$] (v22) at ($ (l2)+3*(v2) $); \coordinate[label=left:$l_1$] (l1) at (1,-1); \coordinate (v1) at (-35:1.3); \coordinate[label=below:$B$] (b) at ($ (l1)+(v1) $); \coordinate[label=below:$P_1$] (r1) at ($ (l1)+2*(v1) $); \coordinate[label=right:$\vec v_1$] (v11) at ($ (l1)+3*(v1) $); \coordinate (l21) at ($ (b)-(v2) $); \coordinate (r21) at ($ (b)+(v2) $); \coordinate (v21) at ($ (b)+2*(v2) $); \draw[thick] (l2)--(d)--(r2); \draw[thick, ->] (r2)--(v22); \draw[thick] (l1)--(b)--(r1); \draw[thick, ->] (r1)--(v11); \draw[thick] (d)--(b); \draw[thick] (r1)--(r2); \draw[dashed] (l21)--(b)--(v21); \draw[dashed] (r1)--(r21)--(r2); \end{tikzpicture}

当$l_1$, $l_2$异面时， $BD\perp l_2$, $BD\perp l_1$，称$BD$为公垂线，称$|BD|$为$l_1, l_2$的距离。

在$L_1$, $L_2$上任取两点$P_1$, $P_2$。 可以看到，$|BD|$就是向量$\overrightarrow{P_1P_2}$在$\overrightarrow{BD}$方向上的投影的长度。

因此，有

\[|\overrightarrow{BD}| =\frac{|\vec v_1\times\vec v_2\cdot\overrightarrow{P_1P_2}|}{|\vec v_1\times\vec v_2|} \]

直线与平面的位置关系

给定直线和平面

\[\begin{aligned} L:\vec r=\vec r_0+t\vec v, \vec v=(l,m,n) \\ \pi: (\vec r-\vec r_1)\cdot\vec n=0, \vec n=(a,b,c) \end{aligned} \]

直线与平面的夹角定义为直线与它在平面上的投影线所形成的锐角。 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为$\theta$， 则直线与平面的夹角$\phi=\frac{\pi}2-\theta$或$-\frac{\pi}2+\theta$。 由

\[\sin\phi=\pm\sin(\frac{\pi}2-\theta)\pm\cos\theta=|\cos\theta| \]

得到，直线与平面的夹角$\phi$满足

\[\sin\phi=\frac{|\vec n\cdot\vec v|}{|\vec n|\cdot|\vec v|} \]
  1. 直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量平行，因此有
    \[\frac{l}a=\frac{m}b=\frac{n}c \]
  2. 直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，因此有
    \[\vec v\cdot\vec n=la+mb+nc=0 \]
  1. 直线与平面相交。设为点$\vec p$，则它同时满足
    \[(\vec p-\vec r_1)\cdot\vec n=0, \quad \vec p=\vec r_0+t'\vec v \]
    所以有
    \[(\vec r_0+t'v-\vec r_1)\cdot\vec n=0 \]
    得到
    \[t'=-\frac{(\vec r_0-\vec r_1)\cdot\vec n}{\vec v\cdot\vec n} \]
    将$t'$代入直线方程，即可得到交点$\vec p$的坐标。

谢谢

在曲线上取两点$M$和$M'$，其横坐标分别为$x$与$x+dx$， 则两点的距离为

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本节读完

例 6. 谢

6.